15. “行” 列式

前面, 我们学习了行列式的一些公式与性质. 它们至少有一个共同点: 它们都是关于列的命题. 毕竟, 行列式的定义就是按列 $1$ 展开. 利用定义, 我们得到了按任何一列展开行列式的公式. 然后, 我们得到了行列式的一些 (关于列的) 性质.

自然地, 我们问: 行列式是否也有关于行的公式与性质? 此事的回答是 “是”. 为此, 我们先按行 $1$ 展开行列式.

定理 15.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$

我们无妨先用小级阵验证此命题.

设 $A$ 是 $1$ 级阵. 显然 (我作过一个关于 “$0$ 级阵” 及其 “行列式” 的约定).

设 $A$ 是 $2$ 级阵 (也就是, 取 $n=2$). 则$$\begin{array}{rl}\det (A)=& [A{]}_{1,1}\det [[A{]}_{2,2}]-[A{]}_{2,1}\det [[A{]}_{1,2}]\\ =& [A{]}_{1,1}\det [[A{]}_{2,2}]-[A{]}_{1,2}\det [[A{]}_{2,1}]\\ =& (-1{)}^{1+1}[A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+(-1{)}^{1+2}[A{]}_{1,2}\det (A(1|2)).\end{array}$$所以, $n=2$ 时, 命题是正确的.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, $$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

我们已知 $P(1)$, $P(2)$ 都是正确的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的. 我们要证 $P(m)$ 也是正确的. 任取一个 $m$ 级阵 $A$. 为方便, 我们写 $(-1{)}^{1+1}[A{]}_{1,1}\det (A(1|1))$ 为 $f$. 于是$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& f+\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& f+\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\sum _{j=2}^m(-1{)}^{1+j-1}[A{]}_{1,j}\det (A(i,1|1,j))\\ =& f+\sum _{i=2}^m\sum _{j=2}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}(-1{)}^{1+j-1}[A{]}_{1,j}\det (A(i,1|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}(-1{)}^{1+j-1}[A{]}_{1,j}\det (A(i,1|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m\sum _{i=2}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}(-1{)}^{i-1+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i,1|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\sum _{i=2}^m(-1{)}^{i-1+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i,1|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

我想, 适当地解释这几步, 是有好处的.

第 1 个等号是行列式的定义.

第 2 个等号利用了假定. 设 $i>1$. 我们假定可按行 $1$ 展开任何 $m-1$ 级阵的行列式. $A(i|1)$ 不就是 $m-1$ 级阵吗? 那么, 我们就按 $A(i|1)$ 的行 $1$ 展开. $A(i|1)$ 的行 $1$ 正好对应 $A$ 的行 $1$. 最后, 注意到, $A$ 的 $(1,j)$-元恰是 $A(i|1)$ 的 $(1,j-1)$-元.

第 3 个等号利用了分配律 (还有加法的结合律与交换律).

第 4 个等号利用了加法的结合律与交换律. (通俗地, 就是 “求和号的次序可换”.)

第 5 个等号利用了 $-1$ 的整数次方的性质 (我在前面说过). 当然, 我还利用了乘法的结合律与交换律.

第 6 个等号又用了一次分配律 (还有加法的结合律与交换律). 不过, 跟第 3 个等号对比, 这次是反过来用.

第 7 个等号用到了行列式的定义. 注意到, $i>1$ 时, $A$ 的 $(i,1)$-元恰是 $A(1|j)$ 的 $(i-1,1)$-元.

证毕.

不难看到, 按行 $1$ 展开行列式的公式跟按列 $1$ 展开行列式的公式是类似的. 为方便说话, 我作如下定义.

定义 15.2 (“行” 列式). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 定义 $A$ 的 “行” 列式$$\begin{array}{r}{\det }^{\prime }(A)=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}{\det }^{\prime }(A(1|j)),& n⩾2.\end{array}\end{array}$$

由上个定理, 不难用数学归纳法证明, “行” 列式就是行列式. 作命题 $P(n)$: 对任何 $n$ 级阵 $A$, $A$ 的 “行” 列式等于 $A$ 的行列式. $P(1)$ 显然是正确的. 假定 $P(m-1)$ 正确. 任取一个 $m$ 级阵 $A$. 则$$\begin{array}{rl}{\det }^{\prime }(A)=& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}{\det }^{\prime }(A(1|j))\\ =& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& \det (A).\end{array}$$

若我用 “行” 列式 ${\det }^{\prime }$ 作行列式的定义, 那么, 我可用完全类似的方法, 根据新的定义, 证明按一行展开行列式的公式 (见本章, 节 7):$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne j\end{array}}(-1{)}^{(i-1)+(\ell -\rho (\ell ,j))}[A{]}_{i,\ell }\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{j=1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽m\\ \ell \ne j\end{array}}(-1{)}^{(i-1)+(\ell -\rho (\ell ,j))}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}[A{]}_{i,\ell }\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{(i-1)+(\ell -\rho (\ell ,j))}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}[A{]}_{i,\ell }\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne \ell \end{array}}(-1{)}^i(-1{)}^{\ell }(-1{)}^{\rho (\ell ,j)}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}[A{]}_{i,\ell }\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{\ell =1}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{i+\ell }(-1{)}^{1+j-\rho (j,\ell )}[A{]}_{1,j}[A{]}_{i,\ell }\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{\ell =1}^m(-1{)}^{i+\ell }[A{]}_{i,\ell }\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne \ell \end{array}}(-1{)}^{1+j-\rho (j,\ell )}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|j,\ell ))\\ =& \sum _{\ell =1}^m(-1{)}^{i+\ell }[A{]}_{i,\ell }\det (A(i|\ell )),\end{array}$$其中, 对整数 $i$, $j$,$$\begin{array}{r}\rho (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i<j;\\ 1,& i⩾j.\end{array}\end{array}$$不过, 我们换个思路.

定理 15.3. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 则 $A$ 的转置, $A^{\mathrm{T}}$, 的行列式等于 $A$ 的行列式.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, $$\begin{array}{r}\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A).\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是正确的.

$P(1)$ 是正确的. 毕竟, $1$ 级阵的转置就是自己.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是正确的. 我们要证 $P(m)$ 也是正确的. 任取一个 $m$ 级阵 $A$. 注意到 $[A{]}_{i,j}=[A^{\mathrm{T}}{]}_{j,i}$. 于是, 可以验证, $A(i|k)=(A^{\mathrm{T}}(k|i){)}^{\mathrm{T}}$. 则$$\begin{array}{rl}\det (A^{\mathrm{T}})=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{1+i}[A^{\mathrm{T}}{]}_{1,i}\det (A^{\mathrm{T}}(1|i))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{1+i}[A^{\mathrm{T}}{]}_{1,i}\det ((A^{\mathrm{T}}(1|i){)}^{\mathrm{T}})\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& \det (A).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是正确的. 由数学归纳法原理, 待证命题成立.

证毕.

此性质是重要的: 利用它, 我们可译行列式的关于列的命题为关于行的命题. 我用一个例助您理解; 它是按行 $i$ 展开行列式的公式.

定理 15.4. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $i$ 为整数, 且 $1⩽i⩽n$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

证. 基本的思路: 先转置, 施关于列的命题于转置, 再转置回来. 回想, $A^{\mathrm{T}}$ 的列 $i$ 跟 $A$ 的行 $i$ 对应, 故我们按列 $i$ 展开 $A^{\mathrm{T}}$ 的行列式. 则$$\begin{array}{rl}\det (A)=& \det (A^{\mathrm{T}})\\ =& \sum _{j=1}^n(-1{)}^{j+i}[A^{\mathrm{T}}{]}_{j,i}\det (A^{\mathrm{T}}(j|i))\\ =& \sum _{j=1}^n(-1{)}^{j+i}[A{]}_{i,j}\det ((A(i|j){)}^{\mathrm{T}})\\ =& \sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

证毕.

为方便, 我译前面的行列式的关于列的性质为关于行的性质. 不过, 我不证它们. 我留它们的论证为您的习题.

定理 15.5 (多线性). 行列式 (关于行) 是多线性的. 具体地, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 任何 $n-1$ 个 $1\times n$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{i-1}$, $a_{i+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $1\times n$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ sx+ty\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=s\det \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ x\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]+t\det \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ y\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right].\end{array}$$(若 $i=1$, 则 $a_1$ 不出现; 若 $i=n$, 则 $a_n$ 不出现. 下同.)

定理 15.6 (交错性). 行列式 (关于行) 是交错性的. 具体地, 若 $n$ 级阵 $A$ 有二行相同, 则 $\det (A)=0$.

定理 15.7 (反称性). 行列式 (关于行) 是反称性的. 具体地, 设 $A$ 是 $n$ 级阵, 设交换 $A$ 的行 $p$ 与行 $q$ 后得到的阵为 $B$ ($p<q$). 则 $\det (B)=-\det (A)$. (通俗地, 交换方阵的二行, 则其行列式变号.)

定理 15.8. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) (多线性) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 任何 $n-1$ 个 $1\times n$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{i-1}$, $a_{i+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $1\times n$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{r}f\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ sx+ty\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right)=sf\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ x\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right)+tf\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ y\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right).\end{array}$$

(2) (交错性) 若 $n$ 级阵 $A$ 有二行相同, 则 $f(A)=0$.

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)\det (A)$.

特别地, 若 $f(I)=1$ (规范性), 则 $f$ 就是行列式.

定理 15.9. 若定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合规范性、(关于行的) 多线性、(关于行的) 交错性, 则 $f$ 就是 ($n$ 级阵的) 行列式 (函数).

由此, 理论地, 我们也可如此定义行列式:

定义 15.10. 设 $f$ 是定义在全体 $n$ 级阵上的函数. 若 $f$ 适合如下三条, 则说 $f$ 是 ($n$ 级阵的) 一个行列式函数 (自然地, 若 $A$ 是 $n$ 级阵, 则 $f(A)$ 是 $A$ 的一个行列式):

(1) (规范性) 若 $I$ 是 $n$ 级单位阵, 则 $f(I)=1$.

(2) (多线性) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 任何 $n-1$ 个 $1\times n$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{i-1}$, $a_{i+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $1\times n$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{r}f\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ sx+ty\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right)=sf\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ x\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right)+tf\left(\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_{i-1}\\ y\\ a_{i+1}\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\right).\end{array}$$

(3) (交错性) 若 $n$ 级阵 $A$ 有二行相同, 则 $f(A)=0$.