14. 用行列式的性质确定行列式

本节, 我们研究如何用行列式的一些性质确定行列式.

假定, 您熟悉一些人 (而不只是知道他们的存在). 自然地, 您也知道他们的一些特征. 我从这些人里选一个. 我想, 您可以说出此人的几个特征. 不过, 反过来, 若我说出某人的几个特征, 您能确定此人吗? 那一般是不一定的. 不过, 若我给出某些特别的特征, 那是有可能的.

抽象地, $n$ 级阵的行列式就是一个定义在全体 $n$ 级阵上的函数. 就像一个人有多的特征那样, 行列式也有多的特征 (或者, 性质), 无论是有名的 (有名字的), 还是无名的. 注意, 一些特征并不是行列式特有的: 比如, 零函数 $z(A)=0$ (其中 $A$ 是任何的 $n$ 级阵) 适合多线性、交错性、反称性, 且恒取 $1$ 的函数 $u(A)=1$ 适合规范性, 但它们都不是行列式. 不过, 若我们联合行列式的几个特征, 则它们可确定行列式.

定理 14.1. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) (多线性) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& f([a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n])\\ =& sf([a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n])+tf([a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n]).\end{array}$$

(2) (交错性) 若 $n$ 级阵 $A$ 有二列相同, 则 $f(A)=0$.

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)\det (A)$.

特别地, 若 $f(I)=1$ (规范性), 则 $f$ 就是行列式.

证. 我们设 $g(A)=f(A)-f(I)\det (A)$. 不难验证, $g$ 也有多线性、交错性、反称性. (具体地, 设交换 $n$ 级阵 $A$ 的列 $p$ 与列 $q$ 后得到的阵为 $B$, 且 $p<q$, 则 $g(B)=-g(A)$; 这是前二个性质的推论.) 不难看出, $g(I)=0$. 我们的目标是: 证 $g$ 是零函数 (即, 恒为 $0$).

任取一个 $n$ 级阵 $A$. 设 $n$ 级单位阵的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $e_1$, $e_2$, $\dots$, $e_n$. 设 $A$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. 于是$$\begin{array}{r}{a}_k=[A{]}_{1,k}{e}_1+[A{]}_{2,k}{e}_2+\cdots +[A{]}_{n,k}{e}_n=\sum _{i_k=1}^n[A{]}_{i_k,k}{e}_{i_k}.\end{array}$$从而, 利用多线性, $$\begin{array}{rl}g(A)=& g([a_1,a_2,\dots ,a_n])\\ =& g\left(\left[\sum _{i_1=1}^n[A{]}_{i_1,1}{e}_{i_1},a_2,\dots ,a_n\right]\right)\\ =& \sum _{i_1=1}^n[A{]}_{i_1,1}g([e_{i_1},a_2,\dots ,a_n])\\ =& \sum _{i_1=1}^n[A{]}_{i_1,1}g\left(\left[e_{i_1},\sum _{i_2=1}^n[A{]}_{i_2,2}{e}_{i_2},\dots ,a_n\right]\right)\\ =& \sum _{i_1=1}^n\sum _{i_2=1}^n[A{]}_{i_1,1}[A{]}_{i_2,2}g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,a_n])\\ =& \dots \\ =& \sum _{i_1=1}^n\sum _{i_2=1}^n\cdots \sum _{i_n=1}^n[A{]}_{i_1,1}[A{]}_{i_2,2}\dots [A{]}_{i_n,n}g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}]).\end{array}$$

利用交错性, 不难看出, 若存在整数 $p$, $q$ 使 $1⩽p<q⩽n$, 且 $i_p=i_q$, 则 $[e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}]$ 有二列相同, 故 $g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}])=0$. 所以, $$\begin{array}{r}g(A)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}[A{]}_{i_1,1}[A{]}_{i_2,2}\dots [A{]}_{i_n,n}g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}]).\end{array}$$

我们用反称性证明每一个 $g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}])$ (其中 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同) 都是 $0$. 适当地交换 $[e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}]$ 的列, 可变其为 $[e_1,e_2,\dots ,e_n]$, 即 $n$ 级单位阵. 从而$$\begin{array}{r}g([e_{i_1},e_{i_2},\dots ,e_{i_n}])=\pm g(I)=0.\end{array}$$

所以 $g(A)=0$. 故 $f(A)=f(I)\det (A)$. (反过来, 不难验证, 若我们定义 $f(A)=f(I)\det (A)$, 则 $f$ 适合多线性与交错性.)

证毕.

定理 14.2. 若定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合规范性、多线性、交错性, 则 $f$ 就是 ($n$ 级阵的) 行列式 (函数).

由此, 理论地, 我们可用行列式的这三条性质定义行列式:

定义 14.3. 设 $f$ 是定义在全体 $n$ 级阵上的函数. 若 $f$ 适合如下三条, 则说 $f$ 是 ($n$ 级阵的) 一个行列式函数 (自然地, 若 $A$ 是 $n$ 级阵, 则 $f(A)$ 是 $A$ 的一个行列式):

(1) (规范性) 若 $I$ 是 $n$ 级单位阵, 则 $f(I)=1$.

(2) (多线性) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& f([a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n])\\ =& sf([a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n])+tf([a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n]).\end{array}$$

(3) (交错性) 若 $n$ 级阵 $A$ 有二列相同, 则 $f(A)=0$.

不过, 我没有这么作, 因为, 若我们如此定义行列式, 则我们要证明 ($n$ 级阵的) 行列式函数存在且唯一, 而这可能是难的.