A.2. 准备

本节, 我们为研究   次式作准备.

定义 A.2.1. (, , ; , , ) 是数. 定义可用此法助记此式. 此式含  项, 其的每一项都是不同行不同列的  个数的积. 我们在原   列的数表的右侧复写它, 作成一个   列的数表. 由左上至右下的对角线 (实线) 上的数的积的和减由右上至左下的对角线 (虚线) 上的数的积的和即为得数.

例 A.2.2., , 是数. 则

定理 A.2.3., , 是复数, 且 . 则特别, 取 , 知

证.

证完.

定理 A.2.4., 是复数. 则

证. 最后, 换 , 得另一个公式.

证完.

定理 A.2.5.. 则 , 且 .

证. 注意, . 平方, 可知整理, 即知.

最后, 注意, , 且 , 故证完.

定理 A.2.6., 是复数. 则

证. 最后, 换 , 得另一个公式.

证完.

定理 A.2.7., , 是复数. 设 . 则

证. 注意,

证完.

定理 A.2.8., , 是复数. 设 . 则

证. 代上个定理的 , , , , .

证完.

上个定理允许我们解缺  次项的   次方程.

具体地, 设 是缺  次项的   次方程 (). 以 除方程的二侧, 有其中, , 且 . 考虑方程组(A.2.1)若我们能找到一个解 , , 则这样, 我们就找到了 的解: , 或 , 或 .

. 存在复数 , 使 . 分别取 , , . 不难验证, , 是方程组 (A.2.1) 的一个解.

. 为解方程组 (A.2.1), 我们先考虑, 若 , 是方程组 (A.2.1) 的一个解, 则它应适合什么性质. 因为 , 故 . 则 . 从而  次方程(A.2.2)的解. 我们知道,   次方程总有复数解. 我们设 是方程 (A.2.2) 的一个解. 存在复数 , 使 . (注意, .) 分别取 , , . 不难验证, , 是方程组 (A.2.1) 的一个解.

我们说, 若我们作适当的换元, 则每一个   次方程都可被变为缺  次项的方程. 为此, 取   次方程(A.2.3) 是数. 我们代 . 则方程 (A.2.3) 的右侧是 , 且它的左侧是于是, 若我们取 , 则方程 (A.2.3) 被变为则我们可解此方程. 设 , 适合于是, 我们找到了 的解: , 或 , 或 .

所以, 理论地, 我们可解任何   次方程. 不过, 这个解方程的方法是复杂的, 故我们一般不用它.

最后, 有一件事值得提.

() 是  次式. 由前面的讨论, 存在复数 , , , 使

由此, 我们有 (回想在 “复数” 的讨论)

定理 A.2.9. 是不超过 的正整数. 设  次式 (). 则存在复数 , , , 使