A.1. 复数

本章, 我们在复数讨论问题.

回想, 我们最先学习自然数 (非负整数) $0$, $1$, $2$, $\dots$. 然后, 我们学习了它们的大小关系与运算, 包括但不限于:

•	对任何自然数 $x$, $y$, 在 “$x=y$”, “$x>y$” 与 “$y>x$”, 存在且只存在一个, 其是对的;
•	可对二个自然数作加法 (或乘法), 且结果, 和 (或积), 是自然数;
•	自然数的加法 (或乘法) 适合结合律与交换律;
•	自然数的加法与乘法适合分配律;
•	存在自然数 $0$, 使对任何自然数 $x$, $0+x=x=x+0$;
•	存在自然数 $1$, 使对任何自然数 $x$, $1\cdot x=x=x\cdot 1$.

当我们考虑加法与乘法的逆运算时, 我们考虑了减法与除法: 若 $x+z=y$, 则 $z=y-x$; 若 $x\cdot z=y$, 则 $z=y/x$ (其中, $x\ne 0$). 不过, 我们不总能在自然数作减法与除法: 我们知道, $7-3=4$, 但 $3-7$ 是什么? 我们知道, $222/6=37$, 但 $3/9$ 是什么?

为解决它们, 我们学习了有理数. 于是, $3-7=-4$, 且 $3/9=1/3$. 关于有理数, 我们知道, 包括但不限于:

•	可对二个有理数作加法 (或乘法), 且结果, 和 (或积), 是有理数;
•	有理数的加法 (或乘法) 适合结合律与交换律;
•	有理数的加法与乘法适合分配律;
•	存在有理数 $0$, 使对任何有理数 $x$, $0+x=x=x+0$;
•	对任何有理数 $x$, 存在有理数 $-x$, 使 $(-x)+x=0=x+(-x)$;
•	存在有理数 $1$, 使对任何有理数 $x$, $1\cdot x=x=x\cdot 1$;
•	对任何不等于 $0$ 的有理数 $x$, 存在不等于 $0$ 的有理数 $x^{-1}$, 使 $x^{-1}\cdot x=1=x\cdot x^{-1}$;
•	有理数是形如 $\pm q/p$ (即 $+q/p$ 或 $-q/p$) 的数, 其中, $p$, $q$ 是自然数, 且 $p\ne 0$;
•	有理数是二个整数的比, 其中, 整数是形如 $\pm q$ (即 $+q$ 或 $-q$) 的数, (其中, $q$ 是自然数);
•	自然数都是有理数, 且不是自然数的有理数存在;
•	可对二个有理数作减法 (或除法) (其中, 除数不等于 $0$), 且结果, 差 (或比), 都是有理数;
•	对任何有理数 $x$, $y$, 在 “$x=y$”, “$x>y$” 与 “$y>x$”, 存在且只存在一个, 其是对的;
•	对任何有理数 $x$, 在 “$x=0$”, “$x>0$” 与 “$-x>0$”, 存在且只存在一个, 其是对的;
•	二个正的有理数的和 (或积) 是正的, 其中, 正的有理数是大于 $0$ 的有理数.

当我们学习几何时, 我们发现, 一些量不可能是有理数: 由勾股定理, 边长为 $1$ 的正方形的对角线的长的平方是 $1^2+1^2=1+1=2$, 但

定理 A.1.1. 不存在有理数, 其的平方等于 $2$.

证. 反设, 某有理数 $x$ 的平方等于 $2$. 则存在整数 $p$, $q$ (其中, $p\ne 0$), 使 $x=q/p$. 注意, 我们可要求, $q$ 与 $p$ 的一个不是偶数 (回想, 对整数 $a$, 若存在整数 $b$, 使 $a=2\cdot b=2b$, 则 $a$ 是偶数), 因为我们总能对 $q/p$ 约分. 则 $x^2=q^2/p^2=2$. 则 $q^2=2p^2$. 则 $q^2$ 是偶数. 则 $q$ 是偶数 (注意, 若整数 $a$ 不是偶数, 则整数 $a^2$ 也不是偶数). 则 $q=2t$, 其中, $t$ 是整数. 则 $2p^2=q^2=4t^2$. 则 $p^2=2t^2$. 则 $p^2$ 是偶数. 则 $p$ 是偶数. 这是矛盾.

证完.

于是, 我们学习了实数. 在实数, 我们能以 $\sqrt{2}$ 表边长为 $1$ 的正方形的对角线的长: $(\sqrt{2}{)}^2=2$. 并且, 关于实数, 我们知道, 包括但不限于:

•	可对二个实数作加法 (或乘法), 且结果, 和 (或积), 是实数;
•	实数的加法 (或乘法) 适合结合律与交换律;
•	实数的加法与乘法适合分配律;
•	存在实数 $0$, 使对任何实数 $x$, $0+x=x=x+0$;
•	对任何实数 $x$, 存在实数 $-x$, 使 $(-x)+x=0=x+(-x)$;
•	存在实数 $1$, 使对任何实数 $x$, $1\cdot x=x=x\cdot 1$;
•	对任何不等于 $0$ 的实数 $x$, 存在不等于 $0$ 的实数 $x^{-1}$, 使 $x^{-1}\cdot x=1=x\cdot x^{-1}$;
•	有理数都是实数, 且不是有理数的实数存在;
•	可对二个实数作减法 (或除法) (其中, 除数不等于 $0$), 且结果, 差 (或比), 都是实数;
•	对任何实数 $x$, $y$, 在 “$x=y$”, “$x>y$” 与 “$y>x$”, 存在且只存在一个, 其是对的;
•	对任何实数 $x$, 在 “$x=0$”, “$x>0$” 与 “$-x>0$”, 存在且只存在一个, 其是对的;
•	二个正的实数的和 (或积) 是正的, 其中, 正的实数是大于 $0$ 的实数;
•	对任何非负的实数 $y$ (即 $y>0$ 或 $y=0$), 存在唯一的非负的实数 $x$, 使 $x^2=x\cdot x=y$ (我们常记此 $x$ 为 $\sqrt{y}$);
•	对任何实数 $y$, 存在唯一的实数 $u$, 使 $u^3=u^2\cdot u=(u\cdot u)\cdot u=y$ (我们常记此 $u$ 为 $\sqrt[3]{y}$).

那么, 复数是什么? 通俗地, 复数是形如 $a+\mathrm{i}b$ 的数, 其中, $a$, $b$ 是实数, 且 $\mathrm{i}$ 是一个不是实数的文字 ($\mathrm{i}$ 来自英语 imaginary unit). 正式地,

定义 A.1.2. 复数是形如 $a+\mathrm{i}b$ 的有序的文字, 其中, $a$, $b$ 是实数, 且 $\mathrm{i}$ 是一个不是实数的文字. (“有序的” 指, $a+\mathrm{i}b$ 与 $b+\mathrm{i}a$ 是不同的, 除非 $a=b$.)

设 $a$, $b$, $c$, $d$ 是实数. 若 $a=c$ 且 $b=d$, 我们说, 二个复数 $a+\mathrm{i}b$ 与 $c+\mathrm{i}d$ 相等: $a+\mathrm{i}b=c+\mathrm{i}d$. 若 $a\ne c$ 或 $b\ne d$, 我们说, 二个复数 $a+\mathrm{i}b$ 与 $c+\mathrm{i}d$ 不相等: $a+\mathrm{i}b\ne c+\mathrm{i}d$.

设 $a$, $b$ 是实数. 我们可简单地写 $a+\mathrm{i}0$ 为 $a$; 我们可简单地写 $0+\mathrm{i}b$ 为 $\mathrm{i}b$; 我们可简单地写 $a+\mathrm{i}(-b)$ 为 $a-\mathrm{i}b$; 我们可简单地写 $a+\mathrm{i}1$ 为 $a+\mathrm{i}$; 我们可简单地写 $a+\mathrm{i}(-1)$ 为 $a-\mathrm{i}$; 我们可简单地写 $0+\mathrm{i}1$ 为 $\mathrm{i}$; 我们可简单地写 $0+\mathrm{i}b$ 为 $\mathrm{i}b$; 我们可简单地写 $0+\mathrm{i}(-b)$ 为 $-\mathrm{i}b$; 我们可简单地写 $0+\mathrm{i}0$ 为 $0$.

实数都是复数, 且 $a+\mathrm{i}b$ 不是实数, 除非 $b=0$.

我们也可写 $a+\mathrm{i}b$ 为 $a+b\mathrm{i}$.

设 $a$, $b$, $c$, $d$ 是实数. 定义复数 $a+\mathrm{i}b$ 与 $c+\mathrm{i}d$ 的和$$\begin{array}{r}(a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)=(a+c)+\mathrm{i}(b+d).\end{array}$$定义复数 $a+\mathrm{i}b$ 与 $c+\mathrm{i}d$ 的积$$\begin{array}{r}(a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc).\end{array}$$

例 A.1.3. 我们计算复数 $2+\mathrm{i}5$, $3+\mathrm{i}7$ 的和与积. 加法是简单的: $$\begin{array}{r}(2+\mathrm{i}5)+(3+\mathrm{i}7)=(2+3)+\mathrm{i}(5+7)=5+\mathrm{i}12.\end{array}$$乘法不是难的: $$\begin{array}{r}(2+\mathrm{i}5)(3+\mathrm{i}7)=(2\cdot 3-5\cdot 7)+\mathrm{i}(2\cdot 7+5\cdot 3)=-29+\mathrm{i}29.\end{array}$$

例 A.1.4. 我们计算 $\mathrm{i}$ 与 $\mathrm{i}$ 的积: $$\begin{array}{r}\mathrm{ii}=(0+\mathrm{i}1)(0+\mathrm{i}1)=(0\cdot 0-1\cdot 1)+\mathrm{i}(0\cdot 1+1\cdot 0)=-1+\mathrm{i}0=-1.\end{array}$$

复数的加法与乘法也适合一些运算律:

定理 A.1.5. 设 $x$, $y$, $z$ 是复数. 复数的加法与乘法适合:

(1) 对任何复数 $x$, $y$, 它们的和 $x+y$ 是复数.

(2) 加法结合律: 对任何复数 $x$, $y$, $z$, $(x+y)+z=x+(y+z)$.

(3) 加法交换律: 对任何复数 $x$, $y$, $x+y=y+x$.

(4) $0=0+\mathrm{i}0$ 适合, 对任何复数 $x$, $0+x=x=x+0$.

(5) 对任何复数 $x$, 存在复数 $-x$, 使 $(-x)+x=0=x+(-x)$.

(6) 对任何复数 $x$, $y$, 它们的积 $xy$ 是复数.

(7) 乘法结合律: 对任何复数 $x$, $y$, $z$, $(xy)z=x(yz)$.

(8) 乘法交换律: 对任何复数 $x$, $y$, $xy=yx$.

(9) $1=1+\mathrm{i}0$ 适合, 对任何复数 $x$, $1x=x=x1$.

(10) 对任何不等于 $0$ 的复数 $x$, 存在不等于 $0$ 的复数 $\mathrm{rec}(x)$, 使 $\mathrm{rec}(x)\cdot x=1=x\cdot \mathrm{rec}(x)$.

(11) 分配律: 对任何复数 $x$, $y$, $z$, $x(y+z)=xy+xz$, 且 $(x+y)z=xz+yz$.

证. 以下, 我们设 $x=a+\mathrm{i}b$, $y=c+\mathrm{i}d$, $z=e+\mathrm{i}f$, 其中, $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ 是实数.

(1) 回想, $x+y=(a+c)+\mathrm{i}(b+d)$. 因为 $a$, $c$ 是实数, $a+c$ 是实数; 因为 $b$, $d$ 是实数, $b+d$ 是实数. 则 $x+y$ 是复数.

(2) 注意, $$\begin{array}{rl}(x+y)+z=& ((a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d))+(e+\mathrm{i}f)\\ =& ((a+c)+\mathrm{i}(b+d))+(e+\mathrm{i}f)\\ =& ((a+c)+e)+\mathrm{i}((b+d)+f)\\ =& (a+(c+e))+\mathrm{i}(b+(d+f))\\ =& (a+\mathrm{i}b)+((c+e)+\mathrm{i}(d+f))\\ =& (a+\mathrm{i}b)+((c+\mathrm{i}d)+(e+\mathrm{i}f))\\ =& x+(y+z).\end{array}$$

(3) 注意, $$\begin{array}{rl}x+y=& (a+\mathrm{i}b)+(c+\mathrm{i}d)\\ =& (a+c)+\mathrm{i}(b+d)\\ =& (c+a)+\mathrm{i}(d+b)\\ =& (c+\mathrm{i}d)+(a+\mathrm{i}b)\\ =& y+x.\end{array}$$

(4) 我证 $0+x=x$; 我留另一部分为您的习题 (注意, 您能用交换律: $x+0=0+x=x$). 注意, $$\begin{array}{rl}0+x=& (0+\mathrm{i}0)+(a+\mathrm{i}b)\\ =& (0+a)+\mathrm{i}(0+b)\\ =& a+\mathrm{i}b\\ =& x.\end{array}$$

(5) 设 $-x=-a+\mathrm{i}(-b)$. 我证 $(-x)+x=0$; 我留另一部分为您的习题 (注意, 您能用交换律: $x+(-x)=(-x)+x=0$). 注意, $$\begin{array}{rl}(-x)+x=& (-a+\mathrm{i}(-b))+(a+\mathrm{i}b)\\ =& (-a+a)+\mathrm{i}(-b+b)\\ =& 0+\mathrm{i}0\\ =& 0.\end{array}$$

(6) 回想, $xy=(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)$. 因为 $a$, $c$ 是实数, $ac$ 是实数; 因为 $b$, $d$ 是实数, $bd$ 是实数. 则 $ac-bd$ 是实数. 因为 $a$, $d$ 是实数, $ad$ 是实数; 因为 $b$, $c$ 是实数, $bc$ 是实数. 则 $ad+bc$ 是实数. 则 $xy$ 是复数.

(7) 注意, 对任何实数 $g$, $h$, $-(g+h)=-h+(-g)=-h-g$. 则$$\begin{array}{rl}& (xy)z\\ =& ((a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d))(e+\mathrm{i}f)\\ =& ((ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc))(e+\mathrm{i}f)\\ =& ((ac-bd)e-(ad+bc)f)+\mathrm{i}((ac-bd)f+(ad+bc)e)\\ =& (((ac)e-(bd)e)-((ad)f+(bc)f))+\mathrm{i}(((ac)f-(bd)f)+((ad)e+(bc)e))\\ =& ((a(ce)-b(de))-(a(df)+b(cf)))+\mathrm{i}((a(cf)-b(df))+(a(de)+b(ce)))\\ =& ((a(ce)-b(de))+(-b(cf)-a(df)))+\mathrm{i}((a(cf)-b(df))+(a(de)+b(ce)))\\ =& ((a(ce)-b(de))+(-a(df)-b(cf)))+\mathrm{i}((a(cf)-b(df))+(a(de)+b(ce)))\\ =& (((a(ce)-b(de))-a(df))-b(cf))+\mathrm{i}(((a(cf)-b(df))+a(de))+b(ce))\\ =& ((a(ce)+(-b(de)-a(df)))-b(cf))\\ & +\mathrm{i}((a(cf)+(-b(df)+a(de)))+b(ce))\\ =& ((a(ce)+(-a(df)-b(de)))-b(cf))+\mathrm{i}((a(cf)+(a(de)-b(df)))+b(ce))\\ =& (((a(ce)-a(df))-b(de))-b(cf))+\mathrm{i}(((a(cf)+a(de))-b(df))+b(ce))\\ =& ((a(ce)-a(df))+(-b(de)-b(cf)))\\ & +\mathrm{i}((a(cf)+a(de))+(-b(df)+b(ce)))\\ =& ((a(ce)-a(df))-(b(cf)+b(de)))+\mathrm{i}((a(cf)+a(de))+(b(ce)+b(-df)))\\ =& (a(ce-df)-b(cf+de))+\mathrm{i}(a(cf+de)+b(ce-df))\\ =& (a+\mathrm{i}b)((ce-df)+\mathrm{i}(cf+de))\\ =& (a+\mathrm{i}b)((c+\mathrm{i}d)(e+\mathrm{i}f))\\ =& x(yz).\end{array}$$

(8) 注意, $$\begin{array}{rl}xy=& (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)\\ =& (ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc)\\ =& (ca-db)+\mathrm{i}(da+cb)\\ =& (c+\mathrm{i}d)(a+\mathrm{i}b)\\ =& yx.\end{array}$$

(9) 我证 $1x=x$; 我留另一部分为您的习题 (注意, 您能用交换律: $x1=1x=x$). 注意, $$\begin{array}{rl}1x=& (1+\mathrm{i}0)(a+\mathrm{i}b)\\ =& (1a-0b)+\mathrm{i}(1b+0a)\\ =& (a-0)+\mathrm{i}(b+0)\\ =& a+\mathrm{i}b\\ =& x.\end{array}$$

(10) 因为 $x\ne 0$, $a$, $b$ 不能全是 $0$. 则非负数 $a^2$, $b^2$ 不能全是 $0$. 则 $a^2+b^2$ 是正数. 则 $a^2+b^2\ne 0$. 设 $\mathrm{rec}(x)=a/(a^2+b^2)+\mathrm{i}(-b/(a^2+b^2))$. 则 $a/(a^2+b^2)$, $-b/(a^2+b^2)$ 不能全是 $0$. 则 $\mathrm{rec}(x)\ne 0$.

我证 $\mathrm{rec}(x)\cdot x=1$; 我留另一部分为您的习题 (注意, 您能用交换律: $x\cdot \mathrm{rec}(x)=\mathrm{rec}(x)\cdot x=1$). 注意, $$\begin{array}{rl}\mathrm{rec}(x)\cdot x=& \left(\frac{a}{a^2+b^2}+\mathrm{i}\frac{-b}{a^2+b^2}\right)(a+\mathrm{i}b)\\ =& \left(\frac{a}{a^2+b^2}a-\frac{-b}{a^2+b^2}b\right)+\mathrm{i}\left(\frac{a}{a^2+b^2}b+\frac{-b}{a^2+b^2}a\right)\\ =& \frac{aa-(-b)b}{a^2+b^2}+\mathrm{i}\frac{ab+(-b)a}{a^2+b^2}\\ =& \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\mathrm{i}\frac{ab-ab}{a^2+b^2}\\ =& 1+\mathrm{i}0\\ =& 1.\end{array}$$

(11) 我证 $x(y+z)=xy+xz$; 我留另一部分为您的习题 (注意, 您能用交换律: $(x+y)z=z(x+y)=zx+zy=xz+yz$). 注意, $$\begin{array}{rl}x(y+z)=& (a+\mathrm{i}b)((c+\mathrm{i}d)+(e+\mathrm{i}f))\\ =& (a+\mathrm{i}b)((c+e)+\mathrm{i}(d+f))\\ =& (a(c+e)-b(d+f))+\mathrm{i}(a(d+f)+b(c+e))\\ =& ((ac+ae)-(bd+bf))+\mathrm{i}((ad+af)+(bc+be))\\ =& ((ac+ae)+(-bf-bd))+\mathrm{i}((ad+af)+(bc+be))\\ =& ((ac+ae)+(-bd-bf))+\mathrm{i}((ad+af)+(bc+be))\\ =& (((ac+ae)-bd)-bf)+\mathrm{i}(((ad+af)+bc)+be)\\ =& ((ac+(ae-bd))-bf)+\mathrm{i}((ad+(af+bc))+be)\\ =& ((ac+(-bd+ae))-bf)+\mathrm{i}((ad+(bc+af))+be)\\ =& (((ac-bd)+ae)-bf)+\mathrm{i}(((ad+bc)+af)+be)\\ =& ((ac-bd)+(ae-bf))+\mathrm{i}((ad+bc)+(af+be))\\ =& ((ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc))+((ae-bf)+\mathrm{i}(af+be))\\ =& (a+\mathrm{i}b)(c+\mathrm{i}d)+(a+\mathrm{i}b)(e+\mathrm{i}f)\\ =& xy+xz.\end{array}$$

证完.

由此, 我们可定义复数的减法与除法.

定义 A.1.6. 设复数 $y=c+\mathrm{i}d$, 其中, $c$, $d$ 是实数. 定义 $y$ 的相反数$$\begin{array}{r}-y=-c+\mathrm{i}(-d).\end{array}$$若 $y\ne 0$, 定义 $y$ 的倒数$$\begin{array}{r}\mathrm{rec}(y)=\frac{c}{c^2+d^2}+\mathrm{i}\frac{-d}{c^2+d^2}.\end{array}$$$\mathrm{rec}$ 来自英语 reciprocal.

定义 A.1.7. 设 $x$, $y$ 是复数. 定义 $x$ 与 $y$ 的差$$\begin{array}{r}x-y=x+(-y).\end{array}$$若 $y\ne 0$, 定义 $x$ 与 $y$ 的比$$\begin{array}{r}\frac{x}{y}=x\cdot \mathrm{rec}(y).\end{array}$$

例 A.1.8. 我们计算复数 $2+\mathrm{i}5$, $3+\mathrm{i}7$ 的差与比. 减法是简单的: $$\begin{array}{rl}(2+\mathrm{i}5)-(3+\mathrm{i}7)=& (2+\mathrm{i}5)+(-(3+\mathrm{i}7))\\ =& (2+\mathrm{i}5)+(-3+\mathrm{i}(-7))\\ =& (2-3)+\mathrm{i}(5-7)\\ =& -1+\mathrm{i}(-2)\\ =& -1-\mathrm{i}2.\end{array}$$除法不是难的: $$\begin{array}{rl}\frac{2+\mathrm{i}5}{3+\mathrm{i}7}=& (2+\mathrm{i}5)\cdot \mathrm{rec}(3+\mathrm{i}7)\\ =& (2+\mathrm{i}5)\left(\frac{3}{3^2+7^2}+\mathrm{i}\frac{-7}{3^2+7^2}\right)\\ =& \left(2\cdot \frac{3}{58}-5\cdot \frac{-7}{58}\right)+\mathrm{i}\left(2\cdot \frac{-7}{58}+5\cdot \frac{3}{58}\right)\\ =& \frac{2\cdot 3-5\cdot (-7)}{58}+\mathrm{i}\frac{2\cdot (-7)+5\cdot 3}{58}\\ =& \frac{41}{58}+\mathrm{i}\frac{1}{58}.\end{array}$$

我们知道, 对实数 $x$, $x$ 的平方, $x^2$, 是 $x\cdot x$. 类似地, 我们也能对复数 $x$ 定义 $x$ 的平方: $x^2=x\cdot x$. 一般地,

定义 A.1.9. 设 $x$ 是复数. 设 $m$ 是自然数. 定义 $x$ 的 $m$ 次方$$\begin{array}{r}{x}^m=\{\begin{array}{ll}1,& m=0;\\ x^{m-1}x,& m⩾1.\end{array}\end{array}$$

注意, 对任何数 $x$,$$\begin{array}{r}{x}^1=x^0\cdot x=1\cdot x=x.\end{array}$$并且,$$\begin{array}{r}{x}^2=x^1\cdot 1=x\cdot x.\end{array}$$

我们可以证明 (见附录 B, 节 4), 对任何复数 $x$, $y$, 与任何自然数 $m$, $\ell$,$$\begin{array}{rl}{x}^{\ell +m}& =x^{\ell }{x}^m,\\ (x^{\ell }{)}^m& =x^{\ell m},\\ (xy{)}^m& =x^m{y}^m.\end{array}$$

若 $x\ne 0$, 我们还能讨论它的负整数次方:

定义 A.1.10. 设 $x$ 是复数, 且 $x\ne 0$. 设 $m$ 是整数.

(1) 设 $m⩾0$. 则 $x$ 的 $m$ 次方 $x^m$ 已被定义.

(2) 设 $m<0$. 我们定义 $x$ 的 $m$ 次方 $x^m$ 为 $x$ 的倒数 $\mathrm{rec}(x)$ 的 $-m$ 次方 $(\mathrm{rec}(x){)}^{-m}$.

注意, 若 $x\ne 0$, 则$$\begin{array}{r}{x}^{-1}=(\mathrm{rec}(x){)}^{-(-1)}=(\mathrm{rec}(x){)}^1=\mathrm{rec}(x).\end{array}$$于是, 我们也用 $x^{-1}$ 表示 $x$ 的倒数.

我们可以证明 (见附录 B, 节 4), 对任何不等于 $0$ 的复数 $x$, $y$, 与任何整数 $m$, $\ell$,$$\begin{array}{rl}{x}^{\ell +m}& =x^{\ell }{x}^m,\\ (x^{\ell }{)}^m& =x^{\ell m},\\ (xy{)}^m& =x^m{y}^m.\end{array}$$

您或许会问, 跟实数比, 复数如何不同. 为回答它, 我们考虑更多的运算律.

定理 A.1.11. 设 $x$, $y$, $z$ 是复数. 复数的加法与乘法适合消去律. 具体地:

(1) 若 $x+y=x+z$, 或 $y+x=z+x$, 则 $y=z$.

(2) 设 $x\ne 0$. 若 $xy=xz$, 或 $yx=zx$, 则 $y=z$.

证. (1) 我证明当 $x+y=x+z$ 时的情形; 我留另一部分为您的习题. 注意, $$\begin{array}{rl}y=& 0+y\\ =& ((-x)+x)+y\\ =& (-x)+(x+y)\\ =& (-x)+(x+z)\\ =& ((-x)+x)+z\\ =& 0+z\\ =& z.\end{array}$$

(2) 我证明当 $x\ne 0$, 且 $xy=xz$ 时的情形; 我留另一部分为您的习题. 注意, $$\begin{array}{rl}y=& 1y\\ =& (x^{-1}x)y\\ =& x^{-1}(xy)\\ =& x^{-1}(xz)\\ =& (x^{-1}x)z\\ =& 1z\\ =& z.\end{array}$$

证完.

定理 A.1.12. 对任何复数 $x$, $0x=0=x0$.

证. 我证明 $0x=0$; 我留另一部分为您的习题.

注意, $0+0=0$. 由分配律, $0x+0x=(0+0)x=0x$. 注意, $0x=0x+0$. 则 $0x+0x=0x+0$. 由消去律, $0x=0$.

证完.

定理 A.1.13. 对任何复数 $x$, $y$, $(-x)(-y)=xy$.

证. 一方面, $x(-y)+(-x)(-y)=(x+(-x))(-y)=0(-y)=0$. 另一方面, $x(-y)+xy=x(-y+y)=x0=0$. 则 $x(-y)+(-x)(-y)=x(-y)+xy$. 由消去律, $(-x)(-y)=xy$.

证完.

由此可见, 对任何不等于 $0$ 的实数 $x$, $x^2>0$: 若 $x>0$, 则 $x^2=x\cdot x$ 是二个正数 $x$, $x$ 的积, 故 $x^2>0$; 若 $-x>0$, 则 $x^2=x\cdot x=(-x)\cdot (-x)$ 是二个正数 $-x$, $-x$ 的积, 故 $x^2>0$.

回想, 对任何实数 $x$, 在 “$x=0$”, “$x>0$” 与 “$-x>0$”, 存在且只存在一个, 其是对的. 我们说, 实数的大小关系跟加法 (或乘法) 是相容的: 二个大于 $0$ 的数的和 (或积) 大于 $0$. 不过, 我们似乎未提到复数的大小关系. 为什么?

定理 A.1.14. 我们不能为复数定义跟复数的乘法相容的大小关系.

证. 反设, 我们能为复数定义跟复数的乘法相容的大小关系. 考虑 $\mathrm{i}$. 那么, 在 “$\mathrm{i}=0$”, “$\mathrm{i}>0$” 与 “$-\mathrm{i}>0$”, 存在且只存在一个, 其是对的. 注意, $\mathrm{i}=0+\mathrm{i}1$, 而 $0=0+\mathrm{i}0$, 且 $1\ne 0$, 故 $\mathrm{i}\ne 0$.

“$\mathrm{i}>0$” 会是对的吗? 若它是对的, 则 $\mathrm{ii}=-1>0$. 不过, 注意, $(-1)(-1)=1\cdot 1=1>0$. 则 $1>0$, 且 $-1>0$. 这是矛盾.

“$-\mathrm{i}>0$” 会是对的吗? 若它是对的, 则 $(-\mathrm{i})(-\mathrm{i})=\mathrm{ii}=-1>0$. 不过, 注意, $(-1)(-1)=1\cdot 1=1>0$. 则 $1>0$, 且 $-1>0$. 这是矛盾.

看来, 我们不能为复数定义跟复数的乘法相容的大小关系.

证完.

回想, 不存在有理数, 其的平方等于 $2$, 但存在实数, 其的平方等于 $2$. 我们知道, 不存在实数, 其的平方等于 $-1$, 因为实数 $x$ 的平方 $x^2$ 大于或等于 $0$, 而 $-1<0$. 不过, ${\mathrm{i}}^2=-1$. 进一步地,

定理 A.1.15. 设 $z$ 是复数. 存在复数 $w$, 使 $w^2=z$.

证. 设 $z=c+\mathrm{i}d$, 其中, $c$, $d$ 是实数.

若 $d=0$, 且 $c⩾0$, 则 $(\sqrt{c}{)}^2=c=z$. 若 $d=0$, 且 $c<0$, 则 $(\mathrm{i}\sqrt{-c}{)}^2={\mathrm{i}}^2(-c)=c=z$.

设 $d>0$. 我们设 $w=a+\mathrm{i}b$, 其中, $a$, $b$ 是实数, 且 $w^2=z$. 则$$\begin{array}{r}{w}^2=(a+\mathrm{i}b)(a+\mathrm{i}b)=(aa-bb)+\mathrm{i}(ab+ba)=(a^2-b^2)+\mathrm{i}(2ab).\end{array}$$则 $a^2-b^2=c$, 且 $2ab=d$. 则$$\begin{array}{rl}(a^2+b^2{)}^2=& (a^2{)}^2+2a^2{b}^2+(b^2{)}^2\\ =& (a^2{)}^2-2a^2{b}^2+(b^2{)}^2+4a^2{b}^2\\ =& (a^2-b^2{)}^2+(2ab{)}^2\\ =& c^2+d^2.\end{array}$$注意, $a^2+b^2⩾0$. 则 $a^2+b^2=\sqrt{c^2+d^2}$. 则$$\begin{array}{rl}{a}^2& =\frac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{2}=\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2},\\ b^2& =\frac{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)}{2}=\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}.\end{array}$$注意, $ab=d/2>0$. 则要么 $a$, $b$ 都是正数, 要么 $a$, $b$ 都是负数. 则$$\begin{array}{r}a=\pm \sqrt{a^2}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}},b=\pm \sqrt{b^2}=\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}},\end{array}$$其中, 若我们为 $a$ 选 $+$ (或 $-$), 则我们也为 $b$ 选 $+$ (或 $-$). 我们验证, 如此确定的 $a$, $b$ 适合 $(a+\mathrm{i}b{)}^2=(a^2-b^2)+\mathrm{i}(2ab)=c+\mathrm{i}d$: $$\begin{array}{rl}{a}^2-b^2=& {\left(\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}\right)}^2-{\left(\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}\right)}^2\\ =& {\left(\sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}\right)}^2-{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}\right)}^2\\ =& \frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}-\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}\\ =& c,\end{array}$$且 (注意, $d⩾0$) $$\begin{array}{rl}2ab=& 2\left(\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}\right)\left(\pm \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}\right)\\ =& \sqrt{4}\cdot \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\sqrt{c^2+d^2}-c}{2}}\\ =& \sqrt{4\cdot \frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}\cdot \frac{\sqrt{c^2+d^2}+c}{2}}\\ =& \sqrt{(\sqrt{c^2+d^2}+c)(\sqrt{c^2+d^2}-c)}\\ =& \sqrt{(\sqrt{c^2+d^2}{)}^2-c^2}\\ =& \sqrt{(c^2+d^2)-c^2}\\ =& \sqrt{d^2}\\ =& d.\end{array}$$

最后, 设 $d<0$. 则 $-d>0$. 设 $p=-z=-c+\mathrm{i}(-d)$. 由前面的讨论, 存在复数 $q$, 使 $q^2=p=-z$. 则 $(\mathrm{i}q{)}^2={\mathrm{i}}^2{q}^2=(-1)(-z)=1z=z$.

证完.

例 A.1.16. 设 $z=5+\mathrm{i}12$. 我们找复数 $w=a+\mathrm{i}b$ (其中, $a$, $b$ 是实数), 使 $w^2=z$.

注意, $w^2=(a^2-b^2)+\mathrm{i}(2ab)$. 则 $a^2-b^2=5$, 且 $2ab=12$. 则$$\begin{array}{rl}(a^2+b^2{)}^2=& (a^2-b^2{)}^2+4a^2{b}^2\\ =& (a^2-b^2{)}^2+(2ab{)}^2\\ =& 5^2+12^2\\ =& 169\\ =& 13^2.\end{array}$$则 $a^2+b^2=13$. 则 $a^2=9$, 且 $b^2=4$. 注意, $ab=12/2>0$. 则 $a=\pm 3$, 且 $b=\pm 2$. 则 $a+\mathrm{i}b$ 等于 $3+\mathrm{i}2$ 或 $-3-\mathrm{i}2$.

不难验证, $(3+\mathrm{i}2{)}^2=(3^2-2^2)+\mathrm{i}(2\cdot 3\cdot 2)=5+\mathrm{i}12$, 且 $(-3-\mathrm{i}2{)}^2=(3+\mathrm{i}2{)}^2=5+\mathrm{i}12$.

在中学, 我们知道, 系数为实数的 $1$ 元 $1$ 次方程 $a_{0}x+a_1=0$ (其中, $a_0$, $a_1$ 是实数, 且 $a_0\ne 0$) 有实数解 $x=-a_1/a_0$, 但系数为实数的 $1$ 元 $2$ 次方程 $a_0{x}^2+a_{1}x+a_2=0$ (其中, $a_0$, $a_1$, $a_2$ 是实数, 且 $a_0\ne 0$) 不一定有实数解, 如 $x^2+1=0$. (注意, 不存在实数, 其的平方等于 $-1$.) 不过,

定理 A.1.17. 设 $a_0$, $a_1$, $a_2$ 是复数, 且 $a_0\ne 0$. 则存在复数 $z$, 使$$\begin{array}{r}{a}_0{z}^2+a_{1}z+a_2=0.\end{array}$$

证. 注意, $$\begin{array}{rl}{a}_0{x}^2+a_{1}x+a_2=& \frac{1}{4a_0}(4a_0{a}_0{x}^2+4a_0{a}_{1}x+4a_0{a}_2)\\ =& \frac{1}{4a_0}((2a_{0}x{)}^2+2(2a_{0}x)a_1+4a_0{a}_2)\\ =& \frac{1}{4a_0}((2a_{0}x{)}^2+2(2a_{0}x)a_1+a_1^2-a_1^2+4a_0{a}_2)\\ =& \frac{1}{4a_0}((2a_{0}x+a_1{)}^2-a_1^2+4a_0{a}_2)\\ =& \frac{1}{4a_0}((2a_{0}x+a_1{)}^2-(a_1^2-4a_0{a}_2)).\end{array}$$注意, $a_1^2-4a_0{a}_2$ 是复数. 则存在复数 $t$, 使 $t^2=a_1^2-4a_0{a}_2$. 则$$\begin{array}{rl}{a}_0{x}^2+a_{1}x+a_2=& \frac{1}{4a_0}((2a_{0}x+a_1{)}^2-t^2)\\ =& \frac{1}{4a_0}(2a_{0}x+a_1+t)(2a_{0}x+a_1-t)\\ =& a_0\left(x-\frac{-a_1-t}{2a_0}\right)\left(x-\frac{-a_1+t}{2a_0}\right).\end{array}$$于是, 若 $z=(-a_1\pm t)/(2a_0)$, 则 $a_0{z}^2+a_{1}z+a_2=0$.

证完.

当然, 系数为复数的 $1$ 元 $1$ 次方程 $a_{0}x+a_1=0$ (其中, $a_0$, $a_1$ 是复数, 且 $a_0\ne 0$) 也有复数解 $x=-a_1/a_0$, 因为$$\begin{array}{r}{a}_0\cdot (-a_1/a_0)+a_1=-a_1+a_1=0.\end{array}$$

有一件事值得提.

设 $a_{0}x+a_1$ ($a_0\ne 0$) 是 $1$ 次式. 则$$\begin{array}{r}{a}_{0}x+a_1=a_0\left(x+\frac{a_1}{a_0}\right)=a_0\left(x-\frac{-a_1}{a_0}\right).\end{array}$$

设 $a_0{x}^2+a_{1}x+a_2$ ($a_0\ne 0$) 是 $2$ 次式. 则$$\begin{array}{r}{a}_0{x}^2+a_{1}x+a_2=a_0\left(x-\frac{-a_1-t}{2a_0}\right)\left(x-\frac{-a_1+t}{2a_0}\right),\end{array}$$其中, 复数 $t$ 适合 $t^2=a_1^2-4a_0{a}_2$.

由此, 我们有

定理 A.1.18. 设 $n$ 是不超过 $2$ 的正整数. 设 $p(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$ 是 $n$ 次式 ($a_0\ne 0$). 则存在复数 $x_1$, $\dots$, $x_n$, 使$$\begin{array}{r}p(x)=a_0(x-x_1)\dots (x-x_n).\end{array}$$

最后, 我指出, 但不证明如下定理. 它的证明会用到三角函数. 若您想知道更多, 您可以找相关的文献.

定理 A.1.19. 设 $z$ 是复数. 存在复数 $w$, 使 $w^3=z$.

当然, 如下一般的定理也是对的. 我不证明它; 它的证明会用到三角函数. 若您想知道更多, 您可以找相关的文献.

定理 A.1.20. 设 $z$ 是复数. 设 $n$ 是正整数. 存在复数 $w$, 使 $w^n=z$.