59. 判断阵的行列式不是 0 的方法

我们知道, 若一个阵的行列式是 $0$, 则有形如式 (60.1), (60.2) 的不等式成立. 利用反证法, 我们立得判断阵的行列式不是 $0$ 的方法:

定理 59.1. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}|[A{]}_{i,i}|>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|.\end{array}$$则 $\det (A)\ne 0$.

定理 59.2. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 设对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}|[A{]}_{j,j}||[A{]}_{k,k}|>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|).\end{array}$$则 $\det (A)\ne 0$.

当然, 如下命题也是对的 (利用转置):

定理 59.3. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}|[A{]}_{i,i}|>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{u,i}|.\end{array}$$则 $\det (A)\ne 0$.

定理 59.4. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 设对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}|[A{]}_{j,j}||[A{]}_{k,k}|>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{p,j}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{q,k}|).\end{array}$$则 $\det (A)\ne 0$.

这些定理的一个应用或许是, 对于一类阵, 即使我们不计算行列式, 我们也可判断行列式不是 $0$. 这是好的.

例 59.5. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 2\\ 3& 8& 4\\ 5& 1& 7\end{array}\right]$ 是一个 $3$ 级阵. 不难算出, $|9|>|6|+|2|$, $|8|>|3|+|4|$, 且 $|7|>|5|+|1|$. 于是, $\det (A)\ne 0$. (其实, 不难算出, $\det (A)=388.$)

有时, 一个方阵 $A$ 可能不适合定理的条件, 故我们无法直接地用定理. 不过, 既然我们研究是否 $\det (A)\ne 0$, 我们可找二个跟 $A$ 同尺寸的阵 $B$, $C$, 使 $BAC$ 适合定理的条件. 则 $\det (BAC)\ne 0$. 因为 $0\ne \det (BAC)=\det (B)\det (A)\det (C)$, 必 $\det (A)\ne 0$.

例 59.6. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}20& 11& 1\\ 4& 15& 1\\ 13& 15& 3\end{array}\right]$ 是一个 $3$ 级阵. 不难验算, 我们无法直接地用前 4 个定理的任何一个判断 $\det (A)$ 是否非零.

取$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{r}BAC=\left[\begin{array}{ccc}20& 11& 10\\ 8& 30& 20\\ 13& 15& 30\end{array}\right].\end{array}$$不难算出$$\begin{array}{rl}& R_1=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 1\end{array}}|[BAC{]}_{1,u}|=|11|+|10|=21,\\ & R_2=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 2\end{array}}|[BAC{]}_{2,u}|=|8|+|20|=28,\\ & R_3=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 3\end{array}}|[BAC{]}_{3,u}|=|13|+|15|=28,\end{array}$$且$$\begin{array}{rl}& |[BAC{]}_{1,1}||[BAC{]}_{2,2}|=600>588=R_1{R}_2,\\ & |[BAC{]}_{1,1}||[BAC{]}_{3,3}|=600>588=R_1{R}_3,\\ & |[BAC{]}_{2,2}||[BAC{]}_{3,3}|=30^2>28^2=R_2{R}_3.\end{array}$$(注意, 既然我们已算出, 每个 $|[BAC{]}_{j,j}||[BAC{]}_{k,k}|$ 都大于 $R_j{R}_k$ ($j<k$), 由乘法的交换律, 我们不必再判断每个 $|[BAC{]}_{j,j}||[BAC{]}_{k,k}|$ 是否都大于 $R_j{R}_k$ ($j>k$).) 故 $\det (BAC)\ne 0$. 则 $\det (A)\ne 0$. (其实, 不难算出, $\det (A)=476.$)

例 59.7. 设 $n⩾2$. 设 $n$ 级阵 $A$ 适合$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}2,& 1⩽i=j⩽n;\\ \text{1 或 −1},& 1⩽i=j-1⩽n-1;\\ \text{1 或 −1},& 2⩽i=j+1⩽n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$通俗地, 当 $n=4$ 时, $A$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}2& \pm 1& 0& 0\\ \pm 1& 2& \pm 1& 0\\ 0& \pm 1& 2& \pm 1\\ 0& 0& \pm 1& 2\end{array}\right].\end{array}$$(这里, 正负号可自由地组合.)

不难算出, 对 $i=1$ 或 $i=n$, 有$$\begin{array}{r}|[A{]}_{i,i}|=2>1=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|;\end{array}$$对 $1<i<n$, 有$$\begin{array}{r}|[A{]}_{i,i}|=2=2=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|.\end{array}$$于是, 对 $n=2$, 我们可用第 1 个定理, 得 $\det (A)\ne 0$; 对 $n=3$, 我们可用第 2 个定理, 得 $\det (A)\ne 0$; 对 $n⩾4$, 这 4 个定理无法直接地被使用.

我们试找一个 $n$ 级阵 $C$, 使 $AC$ 适合某个定理的条件, 从而有 $\det (A)\ne 0$. 无妨设$$\begin{array}{r}C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& c_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_n\end{array}\right],\end{array}$$其中 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 是待定的非零数. 具体地, $$\begin{array}{r}[C{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{c}_i,& 1⩽i=j⩽n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$注意, 在后面的计算中, $c_i$ 会常被取绝对值. 既然如此, 为方便, 我们无妨要求 $c_i>0$. 不难算出, $[AC{]}_{i,j}=c_j[A{]}_{i,j}$; 特别地, $|[AC{]}_{i,i}|=2c_i$. 记$$\begin{array}{r}{R}_i=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[AC{]}_{i,u}|.\end{array}$$则$$\begin{array}{r}{R}_i=\{\begin{array}{ll}{c}_2,& i=1;\\ c_{i-1}+c_{i+1},& 1<i<n;\\ c_{n-1},& i=n.\end{array}\end{array}$$我们希望, 找正数 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$, 使 $|[AC{]}_{i,i}|>R_i$, 即$$\begin{array}{rl}2c_1& >c_2,\\ 2c_2& >c_1+c_3,\\ 2c_3& >c_2+c_4,\\ & \dots ,\\ 2c_{n-1}& >c_{n-2}+c_n,\\ 2c_n& >c_{n-1}.\end{array}$$这些不等式相当于$$\begin{array}{rl}{c}_1& >c_2-c_1,\\ c_2-c_1& >c_3-c_2,\\ c_3-c_2& >c_4-c_3,\\ & \dots ,\\ c_{n-1}-c_{n-2}& >c_n-c_{n-1},\\ c_n-c_{n-1}& >-c_n.\end{array}$$我们可试取$$\begin{array}{rl}{c}_1& =\frac{1}{1\cdot 2}=1-\frac{1}{2},\\ c_2-c_1& =\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3},\\ c_3-c_2& =\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4},\\ & \dots ,\\ c_{n-1}-c_{n-2}& =\frac{1}{(n-1)n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n},\\ c_n-c_{n-1}& =\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.\end{array}$$即$$\begin{array}{r}{c}_k=1-\frac{1}{k+1}=\frac{k}{k+1},\text{k=1, 2, …, n}.\end{array}$$不难验证, $c_k$ 是正数, 且$$\begin{array}{rl}|[AC{]}_{1,1}|-R_1& =2c_1-c_2=1-\frac{2}{3}>0,\\ |[AC{]}_{n,n}|-R_n& =2c_n-c_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}>0,\\ |[AC{]}_{i,i}|-R_i& =(c_i-c_{i-1})-(c_{i+1}-c_i)=\frac{1}{i(i+1)}-\frac{1}{(i+1)(i+2)}>0.\end{array}$$故 $AC$ 适合第 1 个定理的条件. 则 $\det (AC)\ne 0$. 故 $\det (A)\ne 0$.