60. 判断实阵的行列式大于 0 的方法

本节, 我介绍判断实阵的行列式大于 $0$ 的方法.

我们先注意一件有用的小事.

定理 60.1. 设 $m$, $b$ 是实数. 设 $b>0$, 且对任何不超过 $1$ 的正数 $t$, 有 $mt+b\ne 0$. 则 $m+b>0$.

证. 用反证法. 反设 $m+b⩽0$. 则 $0<b⩽-m$. 设 $s=b/(-m)$. 则 $0<s⩽1$. 可是, $ms+b=0$. 这是矛盾.

证毕.

定理 60.2. 设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵. 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,i}>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|.\end{array}$$则 $\det (A)>0$.

证. 作命题 $P(n)$:

对任何适合如下条件的 $n$ 级实阵 $A$, 必 $\det (A)>0$:

对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,i}>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|.\end{array}$$

我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的; 这是显然的.

设 $P(n-1)$ 是对的. 我们要由此证 $P(n)$ 是对的.

设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵, 且对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,i}>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|.\end{array}$$因为 $[A{]}_{i,i}$ 大于一个非负数, 故 $0<[A{]}_{i,i}=|[A{]}_{i,i}|$.

作 $n\times n$ 实阵 $A_t$ 如下: $$\begin{array}{r}[A_t{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& i\ne 1;\\ [A{]}_{1,1},& i=j=1;\\ t[A{]}_{1,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$我们考虑 $A_t$ 的行列式. 按行 $1$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}\det (A_t)=& \sum _{1⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A_t(1|j))\\ =& \sum _{1⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& (-1{)}^{1+1}[A_t{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}t[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+t\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$记$$\begin{array}{rl}m& =\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j));\\ b& =[A{]}_{1,1}\det (A(1|1)).\end{array}$$则 $m$, $b$ 是实数, 且 $\det (A_t)=mt+b$.

作 $n-1$ 级实阵 $C=A(1|1)$. 则 $[C{]}_{w,y}=[A{]}_{w+1,y+1}$, 且对 $w<n$, $$\begin{array}{rl}[C{]}_{w,w}=& [A{]}_{w+1,w+1}\\ >& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne w+1\end{array}}|[A{]}_{w+1,u}|\\ ⩾& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne 1,w+1\end{array}}|[A{]}_{w+1,u}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne w\end{array}}|[A{]}_{w+1,y+1}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne w\end{array}}|[C{]}_{w,y}|.\end{array}$$所以, 由假定, $\det (A(1|1))=\det (C)>0$. 因为 $[A{]}_{1,1}>0$, 我们有 $b>0$.

设 $t$ 是不超过 $1$ 的正数. 则 $0⩽|t|=t⩽1$. 任取不超过 $n$ 的正整数 $i$. 若 $i\ne 1$, 则$$\begin{array}{rl}|[A_t{]}_{i,i}|=& |[A{]}_{i,i}|\\ =& [A{]}_{i,i}\\ >& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A_t{]}_{i,u}|.\end{array}$$若 $i=1$, 则$$\begin{array}{rl}|[A_t{]}_{i,i}|=& |[A{]}_{i,i}|\\ =& [A{]}_{i,i}\\ >& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|\\ ⩾& |t|\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{i,u}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|t||[A{]}_{i,u}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|t[A{]}_{i,u}|\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A_t{]}_{i,u}|.\end{array}$$则 $\det (A_t)\ne 0$. 从而, 对任何不超过 $1$ 的正数 $t$, 有 $mt+b\ne 0$.

既然 $b>0$, 且对任何不超过 $1$ 的正数 $t$, 有 $mt+b\ne 0$, 我们能推出 $m+b>0$. 故 $\det (A)=\det (A_1)=m+b>0$.

所以, $P(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

当然, 如下命题也是对的 (利用转置):

定理 60.3. 设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵. 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,i}>\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[A{]}_{u,i}|.\end{array}$$则 $\det (A)>0$.

我们回看上节的例.

例 60.4. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}9& 6& 2\\ 3& 8& 4\\ 5& 1& 7\end{array}\right]$ 是一个 $3$ 级实阵. 不难算出, $9>|6|+|2|$, $8>|3|+|4|$, 且 $7>|5|+|1|$. 于是, $\det (A)>0$. (其实, 不难算出, $\det (A)=388.$)

有时, 一个实方阵 $A$ 可能不适合定理的条件, 故我们无法直接地用定理. 不过, 既然我们研究是否 $\det (A)>0$, 我们可找二个跟 $A$ 同尺寸的实阵 $B$, $C$, 使 $\det (B)\det (C)>0$, 且 $BAC$ 适合定理的条件. 则 $\det (BAC)>0$. 因为 $0<\det (BAC)=\det (B)\det (A)\det (C)$, 且 $\det (B)\det (C)>0$, 故 $\det (A)>0$.

例 60.5. 设 $n⩾2$. 设 $n$ 级实阵 $A$ 适合$$\begin{array}{r}[A{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}2,& 1⩽i=j⩽n;\\ \text{1 或 −1},& 1⩽i=j-1⩽n-1;\\ \text{1 或 −1},& 2⩽i=j+1⩽n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$我们无法直接地用定理说明 $\det (A)>0$.

记 $c_k=1-1/(k+1)=k/(k+1)>0$, $k=1$, $2$, $\dots$, $n$. 作 $n$ 级实阵$$\begin{array}{r}C=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& c_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_n\end{array}\right];\end{array}$$具体地, $$\begin{array}{r}[C{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{c}_i,& 1⩽i=j⩽n;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$不难算出, $\det (C)>0$ (其实, $\det (C)=1/(n+1)$).

现在, 我们证明, $\det (AC)>0$.

首先, $AC$ 当然是一个实阵. 不难算出, $[AC{]}_{i,j}=c_j[A{]}_{i,j}$; 特别地, $[AC{]}_{i,i}=2c_i$. 记$$\begin{array}{r}{R}_i=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne i\end{array}}|[AC{]}_{i,u}|.\end{array}$$则$$\begin{array}{r}{R}_i=\{\begin{array}{ll}{c}_2,& i=1;\\ c_{i-1}+c_{i+1},& 1<i<n;\\ c_{n-1},& i=n.\end{array}\end{array}$$不难验证, $$\begin{array}{rl}[AC{]}_{1,1}-R_1& =2c_1-c_2=1-\frac{2}{3}>0,\\ [AC{]}_{n,n}-R_n& =2c_n-c_{n-1}=\frac{n-1}{n+1}+\frac{1}{n}>0,\\ [AC{]}_{i,i}-R_i& =(c_i-c_{i-1})-(c_{i+1}-c_i)=\frac{1}{i(i+1)}-\frac{1}{(i+1)(i+2)}>0.\end{array}$$于是, $\det (AC)>0$.

既然 $0<\det (AC)=\det (A)\det (C)$, 且 $\det (C)>0$, 故 $\det (A)>0$.

我们还有如下定理.

定理 60.6. 设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵 ($n⩾2$). 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必 $[A{]}_{i,i}>0$. 设对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|).\end{array}$$则 $\det (A)>0$.

证. 作命题 $P(n)$:

对任何适合如下条件的 $n$ 级实阵 $A$, 必 $\det (A)>0$:

(1) 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必 $[A{]}_{i,i}>0$;

(2) 对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|).\end{array}$$

我们用数学归纳法证明, 对任何高于 $1$ 的正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

$P(2)$ 是对的. 任取 $2$ 级实阵$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],\end{array}$$其中 $a>0$, $d>0$, 且 $ad>|b||c|$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=ad-bc>|b||c|-bc=|bc|-bc⩾0.\end{array}$$

设 $P(n-1)$ 是对的. 我们要由此证 $P(n)$ 是对的.

设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵. 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必 $[A{]}_{i,i}>0$. 设对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|).\end{array}$$

作 $n\times n$ 实阵 $A_t$ 如下: $$\begin{array}{r}[A_t{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& i\ne 1;\\ [A{]}_{1,1},& i=j=1;\\ t[A{]}_{1,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$我们考虑 $A_t$ 的行列式. 按行 $1$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}\det (A_t)=& \sum _{1⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A_t(1|j))\\ =& \sum _{1⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& (-1{)}^{1+1}[A_t{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A_t{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}t[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+t\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$记$$\begin{array}{rl}m& =\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j));\\ b& =[A{]}_{1,1}\det (A(1|1)).\end{array}$$则 $m$, $b$ 是实数, 且 $\det (A_t)=mt+b$.

作 $n-1$ 级实阵 $C=A(1|1)$. 则 $[C{]}_{w,y}=[A{]}_{w+1,y+1}$, 且 $[C{]}_{w,w}=[A{]}_{w+1,w+1}>0$. 且 $v\ne w$, $$\begin{array}{rl}[C{]}_{v,v}[C{]}_{w,w}=& [A{]}_{v+1,v+1}[A{]}_{w+1,w+1}\\ >& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne v+1\end{array}}|[A{]}_{v+1,u}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne w+1\end{array}}|[A{]}_{w+1,u}|)\\ ⩾& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne 1,v+1\end{array}}|[A{]}_{v+1,u}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽n\\ u\ne 1,w+1\end{array}}|[A{]}_{w+1,u}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne v\end{array}}|[A{]}_{v+1,y+1}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne w\end{array}}|[A{]}_{w+1,y+1}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne v\end{array}}|[C{]}_{v,y}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽y⩽n-1\\ y\ne w\end{array}}|[C{]}_{w,y}|).\end{array}$$所以, 由假定, $\det (A(1|1))=\det (C)>0$. 因为 $[A{]}_{1,1}>0$, 我们有 $b>0$.

设 $t$ 是不超过 $1$ 的正数. 则 $0⩽|t|=t⩽1$. 任取不超过 $n$ 的正整数 $j$, $k$, 且 $j\ne k$. 若 $j\ne 1$ 且 $k\ne 1$, 则$$\begin{array}{rl}|[A_t{]}_{j,j}||[A_t{]}_{k,k}|=& |[A{]}_{j,j}||[A{]}_{k,k}|\\ =& [A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}\\ >& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A_t{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A_t{]}_{k,q}|).\end{array}$$若 $j=1$ 且 $k\ne j$, 则$$\begin{array}{rl}|[A_t{]}_{j,j}||[A_t{]}_{k,k}|=& |[A{]}_{j,j}||[A{]}_{k,k}|\\ =& [A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}\\ >& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|)\\ ⩾& |t|(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|t||[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|t[A{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{k,q}|)\\ =& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A_t{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A_t{]}_{k,q}|).\end{array}$$若 $k=1$ 且 $j\ne k$, 类似地, 我们也有$$\begin{array}{rl}|[A_t{]}_{j,j}||[A_t{]}_{k,k}|>& (\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A_t{]}_{j,p}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A_t{]}_{k,q}|).\end{array}$$则 $\det (A_t)\ne 0$. 从而, 对任何不超过 $1$ 的正数 $t$, 有 $mt+b\ne 0$.

既然 $b>0$, 且对任何不超过 $1$ 的正数 $t$, 有 $mt+b\ne 0$, 我们能推出 $m+b>0$. 故 $\det (A)=\det (A_1)=m+b>0$.

所以, $P(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

当然, 如下命题也是对的 (利用转置):

定理 60.7. 设 $A$ 是一个 $n$ 级实阵 ($n⩾2$). 设对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, 必 $[A{]}_{i,i}>0$. 设对任何不超过 $n$, 且不等的正整数 $j$, $k$, 必$$\begin{array}{r}[A{]}_{j,j}[A{]}_{k,k}>(\sum _{\begin{array}{c}1⩽p⩽n\\ p\ne j\end{array}}|[A{]}_{p,j}|\left)\right(\sum _{\begin{array}{c}1⩽q⩽n\\ q\ne k\end{array}}|[A{]}_{q,k}|).\end{array}$$则 $\det (A)>0$.

例 60.8. 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}20& 11& 1\\ 4& 15& 1\\ 13& 15& 3\end{array}\right]$ 是一个 $3$ 级实阵.

取实阵$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 10\end{array}\right].\end{array}$$不难算出, $\det (B)>0$, 且 $\det (C)>0$.

不难算出$$\begin{array}{r}BAC=\left[\begin{array}{ccc}20& 11& 10\\ 8& 30& 20\\ 13& 15& 30\end{array}\right].\end{array}$$由此可见, $BAC$ 是实阵, 且 $[BAC{]}_{i,i}>0$.

不难算出$$\begin{array}{rl}& R_1=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 1\end{array}}|[BAC{]}_{1,u}|=|11|+|10|=21,\\ & R_2=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 2\end{array}}|[BAC{]}_{2,u}|=|8|+|20|=28,\\ & R_3=\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽3\\ u\ne 3\end{array}}|[BAC{]}_{3,u}|=|13|+|15|=28,\end{array}$$且$$\begin{array}{rl}& [BAC{]}_{1,1}[BAC{]}_{2,2}=600>588=R_1{R}_2,\\ & [BAC{]}_{1,1}[BAC{]}_{3,3}=600>588=R_1{R}_3,\\ & [BAC{]}_{2,2}[BAC{]}_{3,3}=30^2>28^2=R_2{R}_3.\end{array}$$(注意, 既然我们已算出, 每个 $[BAC{]}_{j,j}[BAC{]}_{k,k}$ 都大于 $R_j{R}_k$ ($j<k$), 由乘法的交换律, 我们不必再判断每个 $[BAC{]}_{j,j}[BAC{]}_{k,k}$ 是否都大于 $R_j{R}_k$ ($j>k$).) 故 $\det (BAC)>0$.

既然 $0<\det (BAC)=\det (B)\det (A)\det (C)$, $\det (B)>0$, 且 $\det (C)>0$, 故 $\det (A)>0$. (其实, 不难算出, $\det (A)=476.$)