12. 单位阵

本节, 我要介绍一类特别的方阵, 单位阵.

定义 12.1 ($\delta$-记号). 设 $i$, $j$ 是二个文字. 定义$$\begin{array}{r}\delta (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i\ne j;\\ 1,& i=j.\end{array}\end{array}$$

显然, $\delta$-记号是表示二个文字是否相等的一个量. $\delta (i,j)=1$, 说明 $i$, $j$ 是同一个文字; $\delta (i,j)=0$, 说明 $i$, $j$ 是不同的二个文字.

定义 12.2 (单位阵). 设 $n$ 为正整数. 作 $n$ 级阵 $I_n$, 使 $[I_n{]}_{i,j}=\delta (i,j)$, ($1⩽i,j⩽n$). 我们说, $I_n$ 是 $n$ 级单位阵.

当我们不强调单位阵的尺寸时, 我们可简单地写单位阵为 $I$.

$I$ 来自英语 identity.

例 12.3. $1$ 级单位阵是 $[1]$. $2$ 级单位阵是 $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$ $3$ 级单位阵是 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

一般地, $n$ 级单位阵含 $n$ 个 $1$ 与 $n^2-n$ 个 $0$, 且 $1$ 恰在行号与列号相等的地方 (也就是, $0$ 恰在行号与列号不等的地方).

可写一个 $n\times 1$ 阵为 $n$ 级单位阵 $I_n$ 的列的数乘的和. 具体地, 我们设 $x$ 是一个 $n\times 1$ 阵, 且设 $I_n=[e_1,e_2,\dots ,e_n]$ (也就是, 设 $e_1$, $e_2$, $\dots$, $e_n$ 是 $I_n$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$). 记 $k_i=[x{]}_{i,1}$. 则$$\begin{array}{r}x=k_1{e}_1+k_2{e}_2+\cdots +k_n{e}_n=\sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }{e}_{\ell }.\end{array}$$为证明此式, 我们要用单位阵的定义、加法的定义、数乘的定义 (不难看出, 等式二侧的尺寸都是 $n\times 1$):$$\begin{array}{rl}{\left[\sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }{e}_{\ell }\right]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[k_{\ell }{e}_{\ell }{]}_{i,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }[e_{\ell }{]}_{i,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }[I_n{]}_{i,\ell }\\ =& \sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }\delta (i,\ell )\\ =& k_i\delta (i,i)+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i\end{array}}{k}_{\ell }\delta (i,\ell )\\ =& k_i+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i\end{array}}{k}_{\ell }0\\ =& k_i.\end{array}$$

至多以一个方式写一个 $n\times 1$ 阵为 $n$ 级单位阵 $I_n$ 的列的数乘的和. 具体地, 设 $e_1$, $e_2$, $\dots$, $e_n$ 是 $I_n$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$. 再设$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }{e}_{\ell }=\sum _{\ell =1}^n{p}_{\ell }{e}_{\ell }.\end{array}$$不难算出$$\begin{array}{rl}& \sum _{\ell =1}^n{k}_{\ell }{e}_{\ell }=\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right],\\ & \sum _{\ell =1}^n{p}_{\ell }{e}_{\ell }=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ ⋮\\ p_n\end{array}\right].\end{array}$$从而$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ ⋮\\ p_n\end{array}\right].\end{array}$$由此可知, $k_i=p_i$.

综上, 我们有

定理 12.4. 可以, 且只能以一个方式写一个 $n\times 1$ 阵为 $n$ 级单位阵 $I_n$ 的列的数乘的和.

例 12.5. 设 $x=\left[\begin{array}{c}6\\ 2\\ 8\end{array}\right].$ 于是, 一方面, $$\begin{array}{r}x=6\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+8\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].\end{array}$$

另一方面, 我们设$$\begin{array}{r}x=k_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+k_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]+k_3\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}6\\ 2\\ 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ k_2\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ k_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{k}_1\\ k_2\\ k_3\end{array}\right].\end{array}$$由此可知, $k_1$, $k_2$, $k_3$ 分别是 $6$, $2$, $8$.

我们可用完全类似的方法证明如下结果. 我留它为您的习题.

定理 12.6. 可以, 且只能以一个方式写一个 $1\times n$ 阵为 $n$ 级单位阵 $I_n$ 的行的数乘的和.