11. 完全展开行列式 (续)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 交换 $A$ 的列的次序, 得 $n$ 级阵 $B$. 利用完全展开, 我们可得 $A$, $B$ 的行列式的关系.

定理 11.1. 设 $n$ 级阵 $A$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别为 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. 设 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, $\dots$, ${\ell }_n$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 则$$\begin{array}{r}\det [a_{{\ell }_1},a_{{\ell }_2},\dots ,a_{{\ell }_n}]=s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\det (A).\end{array}$$

不过, 论证此事前, 我想用一个例助您理解, 此定理在说什么.

例 11.2. 设 $a_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, $a_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\\ 9\end{array}\right]$, $a_3=\left[\begin{array}{c}8\\ 5\\ 7\end{array}\right]$. 则$$\begin{array}{rl}\det [a_1,a_2,a_3]=& \det \left[\begin{array}{ccc}1& 4& 8\\ 2& 6& 5\\ 3& 9& 7\end{array}\right]\\ =& 1\cdot 6\cdot 7+2\cdot 9\cdot 8+3\cdot 4\cdot 5-1\cdot 9\cdot 5-2\cdot 4\cdot 7-3\cdot 6\cdot 8\\ =& 42+144+60-45-56-144\\ =& 1.\end{array}$$

取 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, ${\ell }_3$ 为 $2$, $3$, $1$. 则 $s(2,3,1)=1$. 不难算出$$\begin{array}{rl}\det [a_2,a_3,a_1]=& \det \left[\begin{array}{ccc}4& 8& 1\\ 6& 5& 2\\ 9& 7& 3\end{array}\right]\\ =& 4\cdot 5\cdot 3+6\cdot 7\cdot 1+9\cdot 8\cdot 2-4\cdot 7\cdot 2-6\cdot 8\cdot 3-9\cdot 5\cdot 1\\ =& 60+42+144-56-144-45\\ =& 1.\end{array}$$这就是 $\det [a_1,a_2,a_3]$.

再取 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, ${\ell }_3$ 为 $1$, $3$, $2$. 则 $s(1,3,2)=-1$. 不难算出$$\begin{array}{rl}\det [a_1,a_3,a_2]=& \det \left[\begin{array}{ccc}1& 8& 4\\ 2& 5& 6\\ 3& 7& 9\end{array}\right]\\ =& 1\cdot 5\cdot 9+2\cdot 7\cdot 4+3\cdot 8\cdot 6-1\cdot 7\cdot 6-2\cdot 8\cdot 9-3\cdot 5\cdot 4\\ =& 45+56+144-42-144-60\\ =& -1.\end{array}$$这就是 $-\det [a_1,a_2,a_3]$.

证. 作 $n$ 级阵 $B=[a_{{\ell }_1},a_{{\ell }_2},\dots ,a_{{\ell }_n}].$ 注意, $[B{]}_{u,v}=[a_{{\ell }_v}{]}_{u,1}=[A{]}_{u,{\ell }_v}$.

我们完全展开 $\det (B)$. 取 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_n$ 为 $1$, $2$, $\dots$, $n$, 并注意, $s(1,2,\dots ,n)=1$, 有$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)[B{]}_{i_1,1}[B{]}_{i_2,2}\dots [B{]}_{i_n,n}.\end{array}$$我们再完全展开 $\det (A)$. 取 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_n$ 为 ${\ell }_1$, ${\ell }_2$, $\dots$, ${\ell }_n$, 有$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)[A{]}_{i_1,{\ell }_1}[A{]}_{i_2,{\ell }_2}\dots [A{]}_{i_n,{\ell }_n}\\ =& s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\sum _{\begin{array}{c}1⩽i_1,i_2,\dots ,i_n⩽n\\ i_1,i_2,\dots ,i_n\text{互不相同}\end{array}}s(i_1,i_2,\dots ,i_n)[B{]}_{i_1,1}[B{]}_{i_2,2}\dots [B{]}_{i_n,n}\\ =& s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\det (B).\end{array}$$注意, $s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)=\pm 1$, 故$$\det (B)=s({\ell }_1,{\ell }_2,\dots ,{\ell }_n)\det (A).$$证毕.