51. 反称性的应用

反称性是有用的.

由行列式的定义, 不难证明, 对任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $b_2$, $\dots$, $b_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{r}\det [sx+ty,b_2,\dots ,b_n]=s\det [x,b_2,\dots ,b_n]+t\det [y,b_2,\dots ,b_n].\end{array}$$利用反称性, 当 $j>1$ 时,$$\begin{array}{rl}& \det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n]\\ =& -\det [sx+ty,\dots ,a_{j-1},a_1,a_{j+1},\dots ,a_n]\\ =& -(s\det [x,\dots ,a_{j-1},a_1,a_{j+1},\dots ,a_n]+t\det [y,\dots ,a_{j-1},a_1,a_{j+1},\dots ,a_n])\\ =& s(-\det [x,\dots ,a_{j-1},a_1,a_{j+1},\dots ,a_n])+t(-\det [y,\dots ,a_{j-1},a_1,a_{j+1},\dots ,a_n])\\ =& s\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n]+t\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n].\end{array}$$

我们也可由反称性推出交错性. 设方阵 $A$ 的列 $p$, $q$ 是相同的 ($p<q$). 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 得阵 $B$. 根据反称性, $\det (B)=-\det (A)$. 不过, 因为 $A$ 的列 $p$, $q$ 是相同的, 故 $B=A$. 所以, $\det (A)=-\det (A)$. 由此可知 $\det (A)=0$.

我们可由反称性得到按 (任何) 一列展开行列式的公式. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 设 $j\ne 1$. 交换 $A$ 的列 $j-1$, $j$, 得阵 $B_1$. 交换 $B_1$ 的列 $j-2$, $j-1$, 得阵 $B_2$. …… 交换 $B_{j-2}$ 的列 $1$, $2$, 得阵 $B_{j-1}$. 此时, 可以发现, $B_{j-1}$ 的列 $1$ 即为 $A$ 的列 $j$ (即 $[B_{j-1}{]}_{i,1}=[A{]}_{i,j}$), 且 $B_{j-1}(i|1)=A(i|j)$. 我们作了 $j-1$ 次 (相邻的) 列的交换, 故$$\begin{array}{rl}\det (A)=& (-1{)}^{j-1}\det (B_{j-1})\\ =& (-1{)}^{j-1}\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[B{]}_{i,1}\det (B_{j-1}(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{j-1}(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|j))\\ =& \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$