50. (关于列的) 反称性

本节, 我想证明 (关于列的) 反称性.

其实, 在第一章, 节 13, 我已用多线性与交错性证明了它. 不过, 我想, 知道别的证明是好的.

以下, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, 对任何不超过 $n$ 且高于 $1$ 的整数 $q$, 对任何低于 $q$ 的正整数 $p$, 必 $\det (B)=-\det (A)$, 其中 $B$ 是交换 $A$ 的列 $p$, $q$ 后得到的阵.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

证. (用按一列展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个不超过 $m$ 且高于 $1$ 的整数 $q$. 任取一个低于 $q$ 的正整数 $p$. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 得 $B$. 在 $1$, $2$, $\dots$, $m$ 这 $m$ 个数里, 我们必定能找到一个数 $j$, 它既不等于 $p$, 也不等于 $q$. 则$$\begin{array}{r}\det (B)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (B(i|j)).\end{array}$$注意, $[B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$, 且 $B(i|j)$ 可被认为是交换 $A(i|j)$ 的二列得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(i|j))=-\det (A(i|j))$. 从而$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}(-\det (A(i|j)))\\ =& -\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

好的. 现在, 我介绍反称性的其他的证明.

证. (同时用按列 $1$ 展开与按前二列展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个不高于 $m$, 且高于 $1$ 的正整数 $q$. 任取一个低于 $q$ 的正整数 $p$. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 得 $B$.

设 $p=1<2=q$. 注意, $i\ne k$ 时, $B(i,k|1,2)=A(i,k|1,2)$. 则$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[B{]}_{i,1}& [B{]}_{i,2}\\ [B{]}_{k,1}& [B{]}_{k,2}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (B(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,2}& [A{]}_{i,1}\\ [A{]}_{k,2}& [A{]}_{k,1}\end{array}\right](-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& \sum _{1⩽i<k⩽m}\left(-\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{i,1}& [A{]}_{i,2}\\ [A{]}_{k,1}& [A{]}_{k,2}\end{array}\right]\right)(-1{)}^{i+k+1+2}\det (A(i,k|1,2))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

设 $1<p<q$. 则$$\begin{array}{r}\det (B)=\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[B{]}_{i,1}\det (B(i|1)).\end{array}$$注意, $[B{]}_{i,1}=[A{]}_{i,1}$, 且 $B(i|1)$ 可被认为是交换 $A(i|1)$ 的二列得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(i|1))=-\det (A(i|1))$. 从而$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}(-\det (A(i|1)))\\ =& -\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

最后, 设 $p=1<2<q$. 交换 $A$ 的列 $2$, $q$, 得阵 $C_1$. 则 $\det (C_1)=-\det (A)$. 交换 $C_1$ 的列 $1$, $2$, 得阵 $C_2$. 则 $\det (C_2)=-\det (C_1)=\det (A)$. 交换 $C_2$ 的列 $2$, $q$, 得阵 $C_3$. 则 $\det (C_3)=-\det (C_2)=-\det (A)$. 不难看出, $C_3=B$, 故 $\det (B)=-\det (A)$.

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

注意, 因为在按列 $1$ 展开行列式的公式里, 列 $1$ 与其他的列的地位不一样, 用它证明一个关于二列的性质对列 $1$ 与其他的列成立是难的. 不过, 若我们用按行 $1$ 展开行列式的公式, 则这是简单的.

证. (用按行 $1$ 展开) $P(1)$ 不证自明.

不难验证 $P(2)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的 ($m⩾3$). 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取一个不高于 $m$, 且高于 $1$ 的正整数 $q$. 任取一个低于 $q$ 的正整数 $p$. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 得 $B$.

注意, $[B{]}_{1,p}=[A{]}_{1,q}$, 且 $[B{]}_{1,q}=[A{]}_{1,p}$. 再注意, $j\ne p$, $q$ 时, $[B{]}_{1,j}=[A{]}_{1,j}$, 且 $B(1|j)$ 可被认为是交换 $A(1|j)$ 的二列得到的 $m-1$ 级阵. 由假定, $\det (B(1|j))=-\det (A(1|j))$.

注意, $1⩽k<p$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 对应 $B$ 的列 $k$, 即 $A$ 的列 $k$; $p⩽k⩽m-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 对应 $B$ 的列 $k+1$. 则 $k⩾p$ 且 $k\ne q-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 对应 $A$ 的列 $k+1$; $k=q-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 对应 $A$ 的列 $p$. 所以, 不计次序, $B(1|p)$ 与 $A(1|q)$ 有相同的列: $1⩽k<p$ 或 $k>q-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 是 $A(1|q)$ 的列 $k$; $p⩽k<q-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 是 $A(1|q)$ 的列 $k+1$; $k=q-1$ 时, $B(1|p)$ 的列 $k$ 是 $A(1|q)$ 的列 $p$. 交换 $B(1|p)$ 的列 $q-2$, $q-1$, 得阵 $C_1$. 由假定, $\det (C_1)=-\det (B(1|p))=(-1{)}^1\det (B(1|p))$. 交换 $C_1$ 的列 $q-3$, $q-2$, 得阵 $C_2$. 由假定, $\det (C_2)=-\det (C_1)=(-1{)}^2\det (B(1|p))$. …… 交换 $C_{q-p-2}$ 的列 $p$, $p+1$, 得阵 $C_{q-p-1}$. 由假定, $\det (C_{q-p-1})=-\det (C_{q-p-2})=(-1{)}^{q-p-1}\det (B(1|p))$. 不难看出, $C_{q-p-1}=A(1|q)$, 故 $\det (A(1|q))=(-1{)}^{q-p-1}\det (B(1|p))$, 即 $\det (B(1|p))=(-1{)}^{q-p-1}\det (A(1|q))$. (注意, 若 $p=q-1$, 则 $A(1|q)=B(1|p)$.)

注意, $A$ 也可被认为是交换 $B$ 的列 $p$, $q$ 得到的阵. 所以, 类似地, $\det (B(1|q))=(-1{)}^{q-p-1}\det (A(1|p))$.

综上, $$\begin{array}{rl}\det (B)=& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (B(1|j))\\ =& (-1{)}^{1+p}[B{]}_{1,p}\det (B(1|p))+(-1{)}^{1+q}[B{]}_{1,q}\det (B(1|q))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne p,q\end{array}}(-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (B(1|j))\\ =& (-1{)}^{1+p}[A{]}_{1,q}(-1{)}^{q-p-1}\det (A(1|q))\\ & +(-1{)}^{1+q}[A{]}_{1,p}(-1{)}^{q-p-1}\det (A(1|p))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne p,q\end{array}}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}(-\det (A(1|j)))\\ =& -(-1{)}^{1+q}[A{]}_{1,q}\det (A(1|q))-(-1{)}^{1+p}[A{]}_{1,p}\det (A(1|p))\\ & -\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽m\\ j\ne p,q\end{array}}(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& -\sum _{j=1}^m(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& -\det (A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.