69. 奇数级反称阵的行列式为 0

我们讨论反称阵的行列式.

我们先计算小级反称阵的行列式.

例 69.1. 设 $A$ 是 $1$ 级反称阵. 则 $A=[0]$. 故 $\det (A)=0$.

例 69.2. 设 $A$ 是 $2$ 级反称阵. 则 $A$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right].\end{array}$$则 $\det (A)=a^2$, 即 $\det (A)=[A{]}_{1,2}^2$.

例 69.3. 设 $A$ 是 $3$ 级反称阵. 则 $A$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ -a& 0& c\\ -b& -c& 0\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\det (A)=& 0\det \left[\begin{array}{cc}0& c\\ -c& 0\end{array}\right]-(-a)\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ -c& 0\end{array}\right]+(-b)\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right]\\ =& a(bc)+(-b)(ac)\\ =& 0.\end{array}$$

例 69.4. 设 $A$ 是 $4$ 级反称阵. 则 $A$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}0& a& b& c\\ -a& 0& d& e\\ -b& -d& 0& f\\ -c& -e& -f& 0\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& 0\det \left[\begin{array}{ccc}0& d& e\\ -d& 0& f\\ -e& -f& 0\end{array}\right]-(-a)\det \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ -d& 0& f\\ -e& -f& 0\end{array}\right]\\ & +(-b)\det \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& e\\ -e& -f& 0\end{array}\right]-(-c)\det \left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& d& e\\ -d& 0& f\end{array}\right]\\ =& a(dfc-ebf+aff)-b(-ebe+afe+edc)+c(adf-dbe+ddc)\\ =& af(af-be+cd)-be(af-be+cd)+cd(af-be+cd)\\ =& (af-be+cd{)}^2,\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\det (A)=([A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}-[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}{)}^2.\end{array}$$

我们发现, $1$ 级反称阵与 $3$ 级反称阵的行列式为 $0$. 一般地, 我们有

定理 69.5. 设 $A$ 是一个奇数级反称阵. 则 $\det (A)=0$.

我的论证会用如下几个事实.

(1) 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)).\end{array}$$这就是按列 $1$ 展开行列式.

(2) 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j)).\end{array}$$这就是按行 $1$ 展开行列式.

(3) 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵 ($n⩾3$). 同时用 (1) (2), 有$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{j=2}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{j=2}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\sum _{i=2}^n(-1{)}^{i-1+1}[A{]}_{i,1}\det (A(1,i|j,1))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{j=2}^n\sum _{i=2}^n(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}(-1{)}^{i-1+1}[A{]}_{i,1}\det (A(1,i|j,1))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (A(1|1))+\sum _{i,j=2}^n(-1{)}^{i+j-1}[A{]}_{i,1}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j)).\end{array}$$特别地, 若 $A$ 还是一个反称阵, 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{i,j=2}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j)).\end{array}$$

(4) 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 则 $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$. 这就是行列式与转置的关系.

(5) 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 设 $u$ 是一个数. 则 $\det (uA)=u^n\det (A)$. 特别地, $\det (-A)=(-1{)}^n\det (A)$.

(6) 设 $A$ 是一个 $n$ 级反称阵 ($n⩾3$). 设 $r$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$, $t$ 是二个不超过 $n$ 的正整数, $s\ne r$, 且 $t\ne r$. 则 $A(r,t|r,s)=-(A(r,s|r,t){)}^{\mathrm{T}}$. 并且, $A(r,s|r,s)$ 是一个 $n-2$ 级反称阵.

(7) 每一个适合条件 “$i$, $j$ 都是不低于 $p$, 且不低于 $q$ 的整数” 的有序对 $(i,j)$ 恰适合以下三个条件的一个: (a) $p⩽i=j⩽q$; (b) $p⩽i<j⩽q$; (c) $p⩽j<i⩽q$.

(8) 对任何正奇数 $n$, 存在一个正整数 $k$ 使 $n=2k-1$.

介绍完这几件事后, 我总算可以证明定理了.

证. 作命题 $P(k)$: 每一个 $2k-1$ 级反称阵的行列式都是 $0$. 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $k$, $P(k)$ 是对的.

不难验证 $P(1)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(k-1)$ 是对的 ($k⩾2$). 我们要证 $P(k)$ 也是对的. 记 $n=2k-1$. 设 $A$ 是一个 $n$ 级反称阵. 那么$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{i,j=2}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ =& \sum _{2⩽i=j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽j<i⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ =& \sum _{2⩽i⩽n}(-1{)}^{i+i}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,i}\det (A(1,i|1,i))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{j+i}[A{]}_{1,j}[A{]}_{1,i}\det (A(1,j|1,i))\\ =& \sum _{2⩽i⩽n}[A{]}_{1,i}^2\det (A(1,i|1,i))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (-(A(1,i|1,j){)}^{\mathrm{T}})\\ =& \sum _{2⩽i⩽n}[A{]}_{1,i}^2\det (A(1,i|1,i))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}(-1{)}^{n-2}\det ((A(1,i|1,j){)}^{\mathrm{T}})\\ =& \sum _{2⩽i⩽n}[A{]}_{1,i}^2\det (A(1,i|1,i))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j))\\ & +\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}(-1{)}^n\det (A(1,i|1,j))\\ =& \sum _{2⩽i⩽n}[A{]}_{1,i}^2\det (A(1,i|1,i))\\ & +(1+(-1{)}^n)\sum _{2⩽i<j⩽n}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{1,i}[A{]}_{1,j}\det (A(1,i|1,j)).\end{array}$$注意, $A(1,i|1,i)$ 是 $n-2$ 级, 即 $2(k-1)-1$ 级反称阵; 由假定, 其行列式为 $0$. 再注意, $n=2k-1$, 故 $1+(-1{)}^n=0$. 所以, $\det (A)=0$.

所以, $P(k)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

我们还不了解偶数级反称阵的行列式. 不过, 我们会了解它的.