70. 阵的积与倍加

前面, 在研究行列式的性质时, 我们引入了倍加:

定义 70.1 (倍加). 设 $A$ 是一个 $m \times n$ 阵. 设 $p$ , $q$ 是二个不超过 $n$ 的正整数, 且 $p \neq = q$ . 设 $s$ 是一个数. 作 $m \times n$ 阵 $B$ , 其中 $[B]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [A]_{i, q} + s [A]_{i, p}, j \neq = q; j = q .$ (通俗地, 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ , 且不改变其他的列, 得阵 $B$ .) 我们说, 变 $A$ 为 $B$ 的行为是一次 (列的) 倍加.

我们说, 既有列的倍加, 也有行的倍加. 具体地, 加 $A$ 的一行的倍于另一行, 且不改变其他的行, 是一次行的倍加.

回想, 行列式有倍加不变性. 具体地, 若加方阵 $A$ 的一列 (行) 的倍于另一列 (行), 且不改变其他的列 (行), 得方阵 $B$ , 则 $det (B) = det (A)$ .

本节, 我们讨论阵的积与倍加的关系.

设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $A$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 分别是 $a_{1}$ , $a_{2}$ , $\dots$ , $a_{n}$ . 则 $A = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}]$ . 再设 $n$ 级单位阵 $I_{n}$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 分别是 $e_{1}$ , $e_{2}$ , $\dots$ , $e_{n}$ . 则 $I_{n} = [e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}]$ . 由 $A I_{n} = A$ , 知 $[A e_{1}, A e_{2}, \dots, A e_{n}] = A [e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}] = A I_{n} = A = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] .$ 故 $[A e_{j}]_{i, 1} = [A I_{n}]_{i, j} = [A]_{i, j} = [a_{j}]_{i, 1}$ , 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$ , 与任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ . 故 $A e_{j} = a_{j}$ , 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$ .

设 $p \neq = q$ . 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ , 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$ . 设 $B$ 的列 $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ 分别是 $b_{1}$ , $b_{2}$ , $\dots$ , $b_{n}$ . 则 $B = [b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}]$ . 则 $j \neq = q$ 时, 有 $b_{j} = a_{j}$ , 且 $b_{q} = a_{q} + s a_{p}$ . 则 $j \neq = q$ 时, $B e_{j} = b_{j} = a_{j} = A e_{j},$ 且 $B e_{q} = b_{q} = a_{q} + s a_{p} = A e_{q} + s (A e_{p}) = A (e_{q} + s e_{p}) .$ 作 $n$ 级阵 $E (n; p, q; s) = [f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}]$ , 其中 $f_{j} = {e_{j}, e_{q} + s e_{p}, j \neq = q; j = q .$ 则 $B e_{j} = A f_{j}$ , 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$ . 则 $B = B I_{n} = [B e_{1}, B e_{2}, \dots, B e_{n}] = [A f_{1}, A f_{2}, \dots, A f_{n}] = A E (n; p, q; s) .$ 不难写出 $[E (n; p, q; s)]_{i, j} = {s, [I_{n}]_{i, j}, i = p, 且 j = q; 其他 .$ 于是, 我们有

定理 70.2. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $p$ , $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p \neq = q$ . 设 $s$ 是数. 作 $n$ 级阵 $E (n; p, q; s)$ 如下: $[E (n; p, q; s)]_{i, j} = {s, [I_{n}]_{i, j}, i = p, 且 j = q; 其他 .$ (通俗地, 加 $I_{n}$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ , 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $E (n; p, q; s)$ .) 那么, 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ , 且不改变其他的列, 得 $m \times n$ 阵 $A E (n; p, q; s)$ .

证. 前面的说明就是一个证明. 当然, 不考虑前面的说明, 我们也可直接用阵的积的定义验证它. 毕竟, 我们的目标是 $[A E (n; p, q; s)]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [A]_{i, q} + s [A]_{i, p}, j \neq = q; j = q .$ 证毕.

列的倍加可用阵的积实现. 行的倍加当然也可用阵的积实现. 具体地,

定理 70.3. 设 $A$ 是 $m \times n$ 阵. 设 $p$ , $q$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p \neq = q$ . 设 $s$ 是数. 作 $m$ 级阵 $E (m; q, p; s)$ 如下: $[E (m; q, p; s)]_{i, j} = {s, [I_{m}]_{i, j}, i = q, 且 j = p; 其他 .$ (通俗地, 加 $I_{m}$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$ , 且不改变其他的行, 得 $m$ 级阵 $E (m; q, p; s)$ .) 那么, 加 $A$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$ , 且不改变其他的行, 得 $m \times n$ 阵 $E (m; q, p; s) A$ .

证. 请允许我留它为您的习题. 我想给您一个提示: 证明此事的要点是验证 $[E (m; q, p; s) A]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [A]_{q, j} + s [A]_{p, j}, i \neq = q; i = q .$ 证毕.

我再说几件事. 设 $p$ , $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p \neq = q$ .

不难看出, $E (n; p, q; s)$ 的行列式为 $1$ : 毕竟, 这是对单位阵作一次倍加后得到的方阵, 且单位阵的行列式为 $1$ .

不难验证, $E (n; p, q; s)$ 的转置是 $E (n; q, p; s)$ ; 比较这二个阵的元即可.

最后, 我说, 用阵的积表示倍加是好的. 我们知道, 阵的积适合一些运算律, 故我们或可用阵的运算律发现倍加的某些规律; 反过来, 我们也或可用倍加发现阵的一些性质.

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