45. 按一行展开行列式

本节, 我想用定义 (按列 $1$ 展开) 证明按一行展开行列式的公式.

定理 45.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 设 $i$ 为整数, 且 $1⩽i⩽n$. 则$$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, $$\begin{array}{r}\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

$P(1)$ 显然是对的.

可以验证, $P(2)$ 也是对的 (习题).

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们要证 $P(m)$ 也是对的. 任取一个 $m$ 级阵 $A$. 任取不超过 $m$ 的正整数 $i$. 为方便, 我们记 $f=(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))$. 则 (第 3 个等号利用了假定, 并注意, $A$ 的行 $i$ (其中 $k\ne i$) 对应 $A(k|1)$ 的行 $i-\rho (i,k)$, 且 $A$ 的列 $j$ (其中 $j\ne 1$) 对应 $A(k|1)$ 的列 $j-1$) $$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{k+1}[A{]}_{k,1}\det (A(k|1))\\ =& f+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{k+1}[A{]}_{k,1}\det (A(k|1))\\ =& f+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{k+1}[A{]}_{k,1}\sum _{j=2}^m(-1{)}^{i-\rho (i,k)+j-1}[A{]}_{i,j}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}\sum _{j=2}^m(-1{)}^{k+1}[A{]}_{k,1}(-1{)}^{i-\rho (i,k)+j-1}[A{]}_{i,j}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{k+1}[A{]}_{k,1}(-1{)}^{i-\rho (i,k)+j-1}[A{]}_{i,j}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}(-1{)}^{k+\rho (k,i)-1}[A{]}_{k,1}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}(-1{)}^{k-\rho (k,i)+1}[A{]}_{k,1}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne i\end{array}}(-1{)}^{k-\rho (k,i)+1}[A{]}_{k,1}\det (A(k,i|1,j))\\ =& f+\sum _{j=2}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j))\\ =& \sum _{j=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j)).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.