44. Binet–Cauchy 公式

我要介绍证 Binet–Cauchy 公式的另一个方法.

在第一章, 节 30 里, 我用完全展开行列式的公式证明了它. 这个证法至少有二个好处:

(1) 记号简单;

(2) 方便您对比选学内容 “Binet–Cauchy 公式” 与必学内容 “Binet–Cauchy 公式 (青春版)”.

当然, 此证法的一个大的缺点是用到了完全展开 (或, 组合定义相关的公式). 若您不会 (或不想) 用完全展开, 且您又想了解如何证明 Binet–Cauchy 公式, 我在这儿给一个利用按多列展开行列式的公式的证明. 至少, 按多列展开行列式 (及其论证) 不依赖排列、逆序数、符号.

这个论证是我初学 Binet–Cauchy 公式时学到的证明. 这个论证体现了重要思想, 算二次; 聪明的数学家利用此原则, 得到了多的有名的等式.

为方便, 请允许我引用按多列展开行列式公式与 Binet–Cauchy 公式.

定理 44.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ( $n ⩾ 1$ ). 设 $k$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{k}$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $j_{1} < j_{2} < \dots < j_{k}$ . 则 $det (A) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} ⩽ n \sum det (A (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{k} i _{1} , i _{2} , \dots , i _{k})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{k} + j_{1} + j_{2} + \dots + j_{k}} det (A (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k})) .$

定理 44.2 (Binet–Cauchy 公式). 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times n$ , $n \times m$ 阵.

(1) 若 $n > m$ , 则 $det (B A) = 0$ .

(2) 若 $n ⩽ m$ , 则 $= det (B A) 1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m \sum det (B (j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n j _{1} , j _{2} , \dots , j _{n})) .$ 特别地, 若 $n = m$ , 则因适合条件 $1 ⩽ j_{1} < j_{2} < \dots < j_{n} ⩽ m$ 的 $j_{1}$ , $j_{2}$ , $\dots$ , $j_{n}$ , 是, 且只能是, $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ , 故 $det (B A) = = det (B (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n 1 , 2 , \dots , n)) det (B) det (A) .$

有几件事值得提.

(1) 若一个方阵有一行的元全为 $0$ , 则其行列式为 $0$ .

可以直接用定义 (按列 $1$ 展开行列式) 论证此事; 可用按一行展开行列式的公式论证此事; 当然, 也可利用 (关于行的) 多线性论证此事. 我就不在这儿证了.

(2) 若加一个阵的一列的倍于另一列, 则其行列式不变.

这就是我在前面提到的行列式的一个性质.

(3) 设 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 分别是 $m \times s$ , $n \times s$ , $m \times t$ , $n \times t$ 阵. 那么, $[A B C D]$ 表示一个 $(m + n) \times (s + t)$ -阵 $M$ , 且对任何不超过 $m + n$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s + t$ 的正整数 $j$ , $[M]_{i, j} = ⎩ ⎨ ⎧ [A]_{i, j}, [B]_{i - m, j}, [C]_{i, j - s}, [D]_{i - m, j - s}, i ⩽ m, 且 j ⩽ s; i > m, 且 j ⩽ s; i ⩽ m, 且 j > s; i > m, 且 j > s .$

这是我们在第一章, 节 31 里见过的记号. 现在, 我要进一步地发展此记号. 具体地, 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times s$ , $n \times s$ 阵. 那么, $[A B]$ 表示一个 $(m + n) \times s$ -阵 $L$ , 且对任何不超过 $m + n$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s$ 的正整数 $j$ , $[L]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [B]_{i - m, j}, i ⩽ m; i > m .$

类似地, 设 $A$ , $C$ 分别是 $m \times s$ , $m \times t$ 阵. 那么, $[A C]$ 表示一个 $m \times (s + t)$ -阵 $H$ , 且对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s + t$ 的正整数 $j$ , $[H]_{i, j} = {[A]_{i, j}, [C]_{i, j - s}, j ⩽ s; j > s .$

证. 设 $A$ , $B$ 分别是 $m \times n$ , $n \times m$ 阵. 作 $m + n$ 级阵 $J = [I_{m} - B A 0],$ 其中左上角的 $I_{m}$ 是 $m$ 级单位阵, 且右下角的 $0$ 是 $n \times n$ 零阵 (元全为 $0$ 的阵).

我们用二个方式计算 $J$ 的行列式.

一方面, 我们按列 $m + 1$ , $m + 2$ , $\dots$ , $m + n$ 展开, 有 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m + n \sum det (J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot det (J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)) .$ 注意, 若 $i_{n} > m$ , 则因 $J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})$ 的行 $n$ 的元全为 $0$ , 故这个子阵的行列式为 $0$ . 特别地, 若 $n > m$ , 则 $i_{n}$ 必高于 $m$ (抽屉原理). 故 $n > m$ 时, $J$ 的行列式为 $0$ .

当 $n ⩽ m$ 时, 我们去除使 $i_{n} > m$ 的 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ , 有 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot det (J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)) .$ 不难看出, 因为 $1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m$ , $J (m + 1 , m + 2 , \dots , m + n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n}) = A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n}),$ 且 $J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n) = [I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣) - B],$ 其中 $I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣)$ 表示去除 $I_{m}$ 的行 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 后 (不改变列) 得到的阵. 按列 $i_{1}$ , $i_{2}$ , $\dots$ , $i_{n}$ 展开 $T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} = J (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ m + 1, m + 2, \dots, m + n)$ 的行列式, 有 $= det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}) 1 ⩽ k_{1} < k_{2} < \dots < k_{n} ⩽ m \sum det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} k _{1} , k _{2} , \dots , k _{n})) \cdot (- 1)^{k_{1} + k_{2} + \dots + k_{n} + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) .$ 注意, 若 $k_{1} ⩽ m - n$ , 则因 $T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} k _{1} , k _{2} , \dots , k _{n})$ 的行 $1$ 的元全为 $0$ , 故这个子阵的行列式为 $0$ . 并且, 若 $k_{1} > m - n$ , 则 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $\dots$ , $k_{n}$ 是, 且只能是 $m - n + 1$ , $m - n + 2$ , $\dots$ , $m$ . 故 $= = = det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}}) \cdot det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} m - n + 1 , m - n + 2 , \dots , m)) \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + m + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot det (T_{i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n}} (m - n + 1, m - n + 2, \dots, m ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) \cdot det ((- B) (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot det (I_{m} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n} ∣ i_{1}, i_{2}, \dots, i_{n})) (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} (- 1)^{n} det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) .$ 从而 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} (- 1)^{n} \cdot det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) .$ 注意, $= = = \cdot (- 1)^{i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n} + (m + 1) + (m + 2) + \dots + (m + n)} \cdot (- 1)^{(m - n + 1) + (m - n + 2) + \dots + (m - n + n) + i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n}} \cdot (- 1)^{n} (- 1)^{2 (i_{1} + i_{2} + \dots + i_{n})} \cdot (- 1)^{2 mn} \cdot (- 1)^{2 (1 + 2 + \dots + n)} \cdot (- 1)^{n - n^{2}} (- 1)^{- n (n - 1)} 1,$ 故 $det (J) = 1 ⩽ i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n} ⩽ m \sum det (B (i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n} 1 , 2 , \dots , n)) det (A (1 , 2 , \dots , n i _{1} , i _{2} , \dots , i _{n})) .$

另一方面, 我们也可用行列式的性质, 施适当的变换于 $J$ , 得一个新阵 $K$ , 且 $J$ , $K$ 的行列式相等. 具体地, 加 $J$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , $J$ 的列 $2$ 的 $- [A]_{2, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , ……, $J$ 的列 $m$ 的 $- [A]_{m, 1}$ 倍于其列 $m + 1$ , 得 $J_{1} = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} [A]_{1, 2} [A]_{2, 2} ⋮ [A]_{m, 2} 00 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots \dots \dots [A]_{1, n} [A]_{2, n} ⋮ [A]_{m, n} 00 ⋮ 0 ⎦ ⎤,$ 其中 $p_{k, 1} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, 1}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, 1}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, 1}) [B]_{k, 1} [A]_{1, 1} + [B]_{k, 2} [A]_{2, 1} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, 1} [B A]_{k, 1} .$ 根据行列式的性质, $det (J) = det (J_{1})$ .

加 $J_{1}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , $J_{1}$ 的列 $2$ 的 $- [A]_{2, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , ……, $J_{1}$ 的列 $m$ 的 $- [A]_{m, 2}$ 倍于其列 $m + 2$ , 得 $J_{2} = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} 00 ⋮ 0 p_{1, 2} p_{2, 2} ⋮ p_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots [A]_{1, n} [A]_{2, n} ⋮ [A]_{m, n} 00 ⋮ 0 ⎦ ⎤,$ 其中 $p_{k, 2} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, 2}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, 2}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, 2}) [B]_{k, 1} [A]_{1, 2} + [B]_{k, 2} [A]_{2, 2} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, 2} [B A]_{k, 2} .$ 根据行列式的性质, $det (J_{1}) = det (J_{2})$ , 故 $det (J) = det (J_{2})$ .

……

加 $J_{n - 1}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{1, n}$ 倍于其列 $m + n$ , $J_{n - 1}$ 的列 $2$ 的 $- [A]_{2, n}$ 倍于其列 $m + n$ , ……, $J_{n - 1}$ 的列 $m$ 的 $- [A]_{m, n}$ 倍于其列 $m + n$ , 得 $J_{n} = = ⎣ ⎡ 10 ⋮ 0 - [B]_{1, 1} - [B]_{2, 1} ⋮ - [B]_{n, 1} 01 ⋮ 0 - [B]_{1, 2} - [B]_{2, 2} ⋮ - [B]_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 1 - [B]_{1, m} - [B]_{2, m} ⋮ - [B]_{n, m} 00 ⋮ 0 p_{1, 1} p_{2, 1} ⋮ p_{n, 1} 00 ⋮ 0 p_{1, 2} p_{2, 2} ⋮ p_{n, 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots 00 ⋮ 0 p_{1, n} p_{2, n} ⋮ p_{n, n} ⎦ ⎤ [I_{m} - B 0 B A],$ 其中右上角的 $0$ 是 $m \times n$ 零阵, 且 $p_{k, n} = = = (- [B]_{k, 1}) (- [A]_{1, n}) + (- [B]_{k, 2}) (- [A]_{2, n}) + \dots + (- [B]_{k, m}) (- [A]_{m, n}) [B]_{k, 1} [A]_{1, n} + [B]_{k, 2} [A]_{2, n} + \dots + [B]_{k, m} [A]_{m, n} [B A]_{k, n} .$ 根据行列式的性质, $det (J_{n}) = det (J_{n - 1})$ , 故 $det (J) = det (J_{n})$ .

我们要如何计算 $J_{n}$ 的行列式? 我给您三个方法: (a) 用第一章, 节 31 的第 2 个例 (计算 $J_{n}$ 的转置的行列式); (b) 按行 $1$ , $2$ , $\dots$ , $m$ 展开; (c) 按列 $m + 1$ , $m + 2$ , $\dots$ , $m + n$ 展开. 若您没错, 您可算出, $det (J) = det (J_{n}) = det (I_{m}) det (B A) = det (B A) .$

现在, 我们比较二次计算的结果. 这就是 Binet–Cauchy 公式.

证毕.

我还想说一些话.

设 $A$ , $B$ 分别是 $s \times n$ 与 $m \times s$ 阵. 不难看出, $B A$ 有意义, 且 $B A$ 是一个 $m \times n$ 阵. $B A$ 可能不是一个方阵, 故说 $B A$ 的行列式可能是无意义的. 不过, 我们仍可说 $B A$ 的子阵的行列式, 若这个子阵是方阵. 设 $k$ 是一个既不超过 $m$ , 也不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ m$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 我们说, 我们可以用 $B$ 与 $A$ 的 $k$ 级子阵的行列式写出 $B A$ 的 $k$ 级子阵 $F = (B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})$ 的行列式.

首先, 注意, $(B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k}) = B (1 , \dots , s i _{1} , \dots , i _{k}) A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} 1 , \dots , s) .$ 为说明此事, 我们设 $D = B (1 , \dots , s i _{1} , \dots , i _{k}), C = A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} 1 , \dots , s) .$ 则 $D$ , $C$ 分别是 $k \times s$ , $s \times k$ 阵, $[D]_{u, j} = [B]_{i_{u}, j}$ , 且 $[C]_{i, v} = [A]_{i, ℓ_{v}}$ . 则 $[D C]_{u, v} = = = = p = 1 \sum s [D]_{u, p} [C]_{p, v} p = 1 \sum s [B]_{i_{u}, p} [A]_{p, ℓ_{v}} [B A]_{i_{u}, ℓ_{v}} [F]_{u, v} .$

现在, 我们可以对 $C$ , $D$ 用 Binet–Cauchy 公式了. 我再说一次, $C$ 是 $s \times k$ 的, 且 $D$ 是 $k \times s$ 的. 则

(1) 若 $k > s$ , 则 $det (D C) = 0$ .

(2) 若 $k ⩽ s$ , 则 $= = det (D C) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (D (j _{1} , \dots , j _{k} 1 , \dots , k)) det (C (1 , \dots , k j _{1} , \dots , j _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

综上, 我们有

定理 44.3. 设 $A$ , $B$ 分别是 $s \times n$ 与 $m \times s$ 阵. 设 $k$ 是一个既不超过 $m$ , 也不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ m$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ .

(1) 若 $k > s$ , 则 $det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) = 0.$

(2) 若 $k ⩽ s$ , 则 $= det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ s \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

可视此事为 Binet–Cauchy 公式的一个推广: 若 $m = n$ , $k = n$ , 且 $i_{u} = ℓ_{u} = u$ ( $u = 1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ ), 则这就是 Binet–Cauchy 公式.

若我们取 $m = n = s$ , 则

定理 44.4. 设 $A$ , $B$ 是 $n$ 级阵. 设 $k$ 是一个不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ n$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 则 $= det ((B A) (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ n \sum det (B (j _{1} , \dots , j _{k} i _{1} , \dots , i _{k})) det (A (ℓ _{1} , \dots , ℓ _{k} j _{1} , \dots , j _{k})) .$

我们知道, $A$ 的一个子阵可被认为是取 $A$ 的一些行与一些列交叉处的元按原来的次序作成的新阵, 且也可被认为是去除 $A$ 的一些行与一些列后, 剩下的元按原来的次序作成的阵. 所以, 我们也可如此改写前面的结论:

定理 44.5. 设 $A$ , $B$ 是 $n$ 级阵. 设 $k$ 是一个不超过 $n$ 的正整数. 设 $1 ⩽ i_{1} < \dots < i_{k} ⩽ n$ ; 设 $1 ⩽ ℓ_{1} < \dots < ℓ_{k} ⩽ n$ . 则 $= det ((B A) (i_{1}, \dots, i_{k} ∣ ℓ_{1}, \dots, ℓ_{k})) 1 ⩽ j_{1} < \dots < j_{k} ⩽ n \sum det (B (i_{1}, \dots, i_{k} ∣ j_{1}, \dots, j_{k})) det (A (j_{1}, \dots, j_{k} ∣ ℓ_{1}, \dots, ℓ_{k})) .$

最后, 我们看一个例.

例 44.6. 设命题 $P (n)$ : 对任何 $n$ 级阵 $A$ , $B$ , 有 $det (B A) = det (B) det (A)$ . 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $n$ , $P (n)$ 是对的.

$P (1)$ 是对的. 设 $A = [a]$ , 且 $B = [b]$ . 则 $B A = [ba]$ . 则 $det (B A) = ba = det (B) det (A)$ .

现在, 我们假定 $P (n - 1)$ 是对的. 我们要证 $P (n)$ 是对的. 设 $A$ , $B$ 是 $n$ 级阵. 则 $det (B A) = = = = = p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B A]_{p, 1} det ((B A) (p ∣1)) p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} (q = 1 \sum n [B]_{p, q} [A]_{q, 1}) det ((B A) (p ∣1)) p = 1 \sum n q = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} [A]_{q, 1} det ((B A) (p ∣1)) q = 1 \sum n p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} [A]_{q, 1} det ((B A) (p ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det ((B A) (p ∣1)) .$ 作 $n$ 级阵 $C_{q}$ 如下: $[C_{q}]_{i, j} = {[B]_{i, q}, [B A]_{i, j}, j = 1; j \neq = 1.$ 通俗地, $C_{q}$ 的列 $1$ 是 $B$ 的列 $q$ , 且 $C_{q}$ 的列 $j$ 是 $B A$ 的列 $j$ ( $j \neq = 1$ ). 则 $[B]_{p, q} = [C_{q}]_{p, 1}$ , 且 $(B A) (p ∣1) = C_{q} (p ∣1)$ . 则 $det (B A) = = = q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det ((B A) (p ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [C_{q}]_{p, 1} det (C_{q} (p ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} det (C_{q}) .$ 注意, $j \neq = 1$ 时, $[C_{q}]_{i, j} = = = = = = [B A]_{i, j} k = 1 \sum n [B]_{i, k} [A]_{k, j} [B]_{i, q} [A]_{q, j} + 1 ⩽ k ⩽ n k \neq = q \sum [B]_{i, k} [A]_{k, j} [B]_{i, q} [A]_{q, j} + ℓ = 1 \sum n - 1 [B]_{i, ℓ + ρ (ℓ, k)} [A]_{ℓ + ρ (ℓ, k), j} [B]_{i, q} [A]_{q, j} + ℓ = 1 \sum n - 1 [B (∣ q)]_{i, ℓ} [A (q ∣)]_{ℓ, j} [B]_{i, q} [A]_{q, j} + [B (∣ q) A (q ∣)]_{i, j},$ 其中 $B (∣ q)$ 是去除 $B$ 的列 $q$ 后 (不改变行) 得到的 $n \times (n - 1)$ 阵, 且 $A (q ∣)$ 是去除 $A$ 的行 $q$ 后 (不改变列) 得到的 $(n - 1) \times n$ 阵. 加 $C_{q}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{q, 2}$ 倍于其列 $2$ , $C_{q}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{q, 3}$ 倍于其列 $3$ , ……, $C_{q}$ 的列 $1$ 的 $- [A]_{q, n}$ 倍于其列 $n$ , 得 $n$ 级阵 $D_{q}$ . 则 $[D_{q}]_{i, j} = {[B]_{i, q}, [B (∣ q) A (q ∣)]_{i, j}, j = 1; j \neq = 1.$ 根据行列式的性质, $det (C_{q}) = det (D_{q})$ . 注意, $[D_{q}]_{p, 1} = [B]_{p, q}$ , 且 $D_{q} (p ∣1) = (B (∣ q) A (q ∣)) (p ∣1)$ . 则 $det (B A) = = = = q = 1 \sum n [A]_{q, 1} det (C_{q}) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} det (D_{q}) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [D_{q}]_{p, 1} det (D_{q} (p ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det ((B (∣ q) A (q ∣)) (p ∣1)) .$ 注意, 对 $m \times s$ 阵 $X$ 与 $s \times n$ 阵 $Y$ , 对正整数 $u ⩽ m$ 与正整数 $v ⩽ n$ , 有 $(X Y) (u ∣ v) = X (u ∣) Y (∣ v)$ . 则 $(B (∣ q) A (q ∣)) (p ∣1) = (B (∣ q)) (p ∣) (A (q ∣)) (∣1) = B (p ∣ q) A (q ∣1) .$ 于是, 由假定, $det ((B (∣ q) A (q ∣)) (p ∣1)) = det (B (p ∣ q) A (q ∣1)) = det (B (p ∣ q)) det (A (q ∣1)) .$ 则 $det (B A) = = = = = = = = q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det ((B (∣ q) A (q ∣)) (p ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det (B (p ∣ q) A (q ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + 1} [B]_{p, q} det (B (p ∣ q)) det (A (q ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} p = 1 \sum n (- 1)^{p + q} (- 1)^{q + 1} [B]_{p, q} det (B (p ∣ q)) det (A (q ∣1)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} (- 1)^{q + 1} det (A (q ∣1)) p = 1 \sum n (- 1)^{p + q} [B]_{p, q} det (B (p ∣ q)) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} (- 1)^{q + 1} det (A (q ∣1)) det (B) det (B) q = 1 \sum n [A]_{q, 1} (- 1)^{q + 1} det (A (q ∣1)) det (B) det (A) .$ 所以, $P (n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

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