31. 杂例

例 31.1. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设 $k$ 是数. 求证: $\det (kA)=k^n\det (A)$.

这里, 我展现一个用行列式定义的方法.

不过, 先回想定义:

定义 31.2 (行列式). 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾1$). 定义 $A$ 的行列式$$\begin{array}{r}\det (A)=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{1,1},& n=1;\\ \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1)),& n⩾2.\end{array}\end{array}$$

证. 我们用数学归纳法证明此事. 取数 $k$. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, $$\begin{array}{r}\det (kA)=k^n\det (A).\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的. 任取 $1$ 级阵 $A=[a]$. 那么, $kA=[ka]$. 所以, $$\begin{array}{r}\det (kA)=ka=k^1\det (A).\end{array}$$

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们要证 $P(m)$ 也是对的. 任取 $m$ 级阵 $A$. 按 $kA$ 的列 $1$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}\det (kA)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[kA{]}_{i,1}\det ((kA)(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}k[A{]}_{i,1}\det ((kA)(i|1)).\end{array}$$注意, 每个 $(kA)(i|1)$ 都是 $m-1$ 级阵. 并且, 不难验证, $(kA)(i|1)=k(A(i|1))$. 从而, 根据假定, $$\begin{array}{r}\det ((kA)(i|1))=k^{m-1}\det (A(i|1)).\end{array}$$所以$$\begin{array}{rl}\det (kA)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}k[A{]}_{i,1}{k}^{m-1}\det (A(i|1))\\ =& k{k}^{m-1}\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\\ =& k^m\det (A).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

当然, 本题也有其他的解法.

在讲后一个例前, 我有必要提及阵的新记号.

定义 31.3. 设 $A$, $B$, $C$, $D$ 分别是 $m\times s$, $n\times s$, $m\times t$, $n\times t$ 阵. 我们约定, 记号$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}A& C\\ B& D\end{array}\right]\end{array}$$表示一个 $(m+n)\times (s+t)$-阵 $M$, 且对任何不超过 $m+n$ 的正整数 $i$ 与不超过 $s+t$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{r}[M{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& \text{i⩽m, 且 j⩽s};\\ [B{]}_{i-m,j},& \text{i>m, 且 j⩽s};\\ [C{]}_{i,j-s},& \text{i⩽m, 且 j>s};\\ [D{]}_{i-m,j-s},& \text{i>m, 且 j>s}.\end{array}\end{array}$$

比如, 设$$\begin{array}{rl}& A=\left[\begin{array}{ccc}10& 12& 14\\ 11& 13& 15\end{array}\right],\\ & B=\left[\begin{array}{ccc}16& 20& 24\\ 17& 21& 25\\ 18& 22& 26\\ 19& 23& 27\end{array}\right],\\ & C=\left[\begin{array}{ccccc}28& 30& 32& 34& 36\\ 29& 31& 33& 35& 37\end{array}\right],\\ & D=\left[\begin{array}{ccccc}38& 42& 46& 50& 54\\ 39& 43& 47& 51& 55\\ 40& 44& 48& 52& 56\\ 41& 45& 49& 53& 57\end{array}\right].\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}A& C\\ B& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}10& 12& 14& 28& 30& 32& 34& 36\\ 11& 13& 15& 29& 31& 33& 35& 37\\ 16& 20& 24& 38& 42& 46& 50& 54\\ 17& 21& 25& 39& 43& 47& 51& 55\\ 18& 22& 26& 40& 44& 48& 52& 56\\ 19& 23& 27& 41& 45& 49& 53& 57\end{array}\right].\end{array}$$

设 $A$, $B$, $C$, $D$ 分别是 $m\times s$, $n\times s$, $m\times t$, $n\times t$ 阵. 再设$$\begin{array}{r}M=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ B& D\end{array}\right].\end{array}$$不难验证, 若 $i⩽m$, 且 $j⩽s$, 则$$\begin{array}{r}M(i|j)=\left[\begin{array}{cc}A(i|j)& C(i|)\\ B(|j)& D\end{array}\right],\end{array}$$其中 $B(|j)$ 表示去除 $B$ 的列 $j$ 后得到的阵 (不去除它的行), 且 $C(i|)$ 表示去除 $C$ 的行 $i$ 后得到的阵 (不去除它的列).

例 31.4. 设 $A$, $D$ 分别是 $n$, $t$ 级阵. 设 $C$ 是 $n\times t$ 阵. 求证: $$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right]=\det (A)\det (D),\end{array}$$其中左下角的 $0$ 指 $t\times n$ 零阵.

我还是用定义解此题.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 取 $t$ 级阵 $D$. 具体地, 设 $P(n)$ 为命题

对任何 $n$ 级阵 $A$, 任何 $n\times t$ 阵 $C$, $$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right]=\det (A)\det (D),\end{array}$$其中左下角的 $0$ 指 $t\times n$ 零阵.

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的. 设 $A=[a]$. 记$$\begin{array}{r}J=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right],\end{array}$$其中左下角的 $0$ 指 $t\times 1$ 零阵. 则$$\begin{array}{rl}& \det (J)\\ =& \sum _{i=1}^{1+t}(-1{)}^{i+1}[J{]}_{i,1}\det (J(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^1(-1{)}^{i+1}[J{]}_{i,1}\det (J(i|1))+\sum _{i=2}^{1+t}(-1{)}^{i+1}[J{]}_{i,1}\det (J(i|1))\\ =& (-1{)}^{1+1}[J{]}_{1,1}\det (J(1|1))+\sum _{i=2}^{1+t}(-1{)}^{i+1}0\det (J(i|1))\\ =& [A{]}_{1,1}\det (D)\\ =& \det (A)\det (D).\end{array}$$

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们要证 $P(m)$ 也是对的. 任取 $m$ 级阵 $A$. 记$$\begin{array}{r}M=\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right],\end{array}$$其中左下角的 $0$ 指 $t\times m$ 零阵. 则$$\begin{array}{rl}& \det (M)\\ =& \sum _{i=1}^{m+t}(-1{)}^{i+1}[M{]}_{i,1}\det (M(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[M{]}_{i,1}\det (M(i|1))+\sum _{i=m+1}^{m+t}(-1{)}^{i+1}[M{]}_{i,1}\det (M(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (M(i|1))+\sum _{i=m+1}^{m+t}(-1{)}^{i+1}0\det (M(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (M(i|1)).\end{array}$$注意, $1⩽i⩽m$ 时, $$\begin{array}{r}M(i|1)=\left[\begin{array}{cc}A(i|1)& C(i|)\\ 0& D\end{array}\right],\end{array}$$其中左下角的 $0$ 指 $t\times (m-1)$ 零阵. 根据假定, $$\begin{array}{r}\det (M(i|1))=\det (A(i|1))\det (D).\end{array}$$从而$$\begin{array}{rl}\det (M)=& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\det (D)\\ =& \left(\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))\right)\det (D)\\ =& \det (A)\det (D).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.