32. La lasta leciono

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

这是最后一课, la lasta leciono.

这是好的! 您学完了本章. 您可能会想: “我还能再学些什么?” 我认为, 这个问题, 难回答: 毕竟, 行列式只是一个工具. 不过, 我想, 您可以进一步地学习线性代数.

若您想见别的文献, 以下的说明或许对您是有用的.

习惯地, 几乎每一个 (说汉语的) 作者都说 “矩阵”, 而不是 “阵” (当然, “方阵” 是一个例外).

习惯地, 人们叫一个 $1\times n$ 阵为一个行向量, 且叫一个 $m\times 1$ 阵为一个列向量. 行向量与列向量可被统一地叫作向量.

我一般表 $A$ 的 $(i,j)$-元以 $[A{]}_{i,j}$. 此记号自然是准确的; 并且, 我们甚至可自由地代括号里的单文字 $A$ 以复杂的文字, 如 $3A+4B$ (当 $A$, $B$ 是同尺寸的阵时), 且方便地作计算:$$\begin{array}{r}[3A+4B{]}_{i,j}=[3A{]}_{i,j}+[4B{]}_{i,j}=3[A{]}_{i,j}+4[B{]}_{i,j}.\end{array}$$

其实, 习惯地, 多的作者不用记号 $[A{]}_{i,j}$, 而用较简单的记号 $a_{ij}$ (注意, 这儿没有逗号):$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}[A{]}_{1,1}& [A{]}_{1,2}& \cdots & [A{]}_{1,n}\\ [A{]}_{2,1}& [A{]}_{2,2}& \cdots & [A{]}_{2,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ [A{]}_{m,1}& [A{]}_{m,2}& \cdots & [A{]}_{m,n}\end{array}\right].\end{array}$$于是, 在此写法下, $A$ 的 $(2,3)$-元是 $a_{23}$, 且 $B$ 的 $(4,2)$-元是 $b_{42}$. 不过, 若 $i$, $j$ 的一个不能被单文字表示, 则逗号仍被用: 比如, $C$ 的 $(11,9)$-元是 $c_{11,9}$. 并且, 这个记号, 要求阵被单文字表示. 比如, 设 $A$, $B$ 分别是 $m\times s$, $s\times n$ 阵. 习惯地, 不写 $AB$ 的 $(i,j)$-元为 ${ab}_{ij}$ (因为, ${ab}_{ij}$, 习惯地, 会被理解为一个数 $a$ 跟 $B$ 的 $(i,j)$-元 $b_{ij}$ 的积), 而记 $C=AB$ (也就是, 为 $AB$ 取别名 $C$), 再说 $AB$ 的 $(i,j)$-元$$\begin{array}{r}{c}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}.\end{array}$$

一些作者不用括号 $[]$, 而用括号 $()$, 以包围数表, 作成一个阵:$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right].\end{array}$$

一些作者用大写拉丁字母 $O$ 表示一个零阵.

一些作者用大写拉丁字母 $E$ 表示一个单位阵. 一些作者用数字 $1$ 表示一个单位阵.

一些作者用加粗的文字表示阵. 具体地, 他们写 $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$, $\mathbf{E}$, $\mathbf{I}$, $1$, $\mathbf{O}$, $0$, $\mathbf{x}$, $\dots$, 而不是 $A$, $B$, $C$, $E$, $I$, $1$, $O$, $0$, $x$, $\dots$.

一些作者, 习惯地, 写一个方阵 $A$ 的行列式 $\det (A)$ 为 $|A|$. 若 $A$ 的元被具体地写出, 则有记号$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=& \left|\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\right|\\ =& \det \left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right].\end{array}$$其实, 行列式比阵先出现; 于是, 行列式有专门的竖线记号.

一些作者讲行列式时, 会提余子式与代数余子式. 通俗地, 一个方阵 $A$ 的 $(i,j)$-元 $a_{i,j}$ 的余子式 $M_{i,j}$, 是行列式$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{n,n}\end{array}\right|.\end{array}$$一个方阵 $A$ 的 $(i,j)$-元 $a_{i,j}$ 的代数余子式 $A_{i,j}$ (一些作者记其为 $C_{i,j}$), 是 $(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$. 于是, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$,$$\begin{array}{rl}|A|=& (-1{)}^{i+1}{a}_{i,1}{M}_{i,1}+(-1{)}^{i+2}{a}_{i,2}{M}_{i,2}+\cdots +(-1{)}^{i+n}{a}_{i,n}{M}_{i,n}\\ =& (-1{)}^{1+j}{a}_{1,j}{M}_{1,j}+(-1{)}^{2+j}{a}_{2,j}{M}_{2,j}+\cdots +(-1{)}^{n+j}{a}_{n,j}{M}_{n,j},\end{array}$$或$$\begin{array}{rl}|A|=& a_{i,1}{A}_{i,1}+a_{i,2}{A}_{i,2}+\cdots +a_{i,n}{A}_{i,n}\\ =& a_{1,j}{A}_{1,j}+a_{2,j}{A}_{2,j}+\cdots +a_{n,j}{A}_{n,j}.\end{array}$$我没有讲这二个概念, 因为我引入了子阵及其记号 (一些作者不介绍表示子阵的记号). 其实, 余子式就是子阵的行列式: $M_{i,j}=\det (A(i|j))$. 这么看来, 我不必引入余子式或代数余子式了.

一些作者写方阵 $A$ 的古伴 $\mathrm{adj}(A)$ 为 $A^{\ast }$, 且叫 “古伴” (即 “古典伴随阵”) 为 “伴随” “伴随阵” “伴随矩阵”.

我希望, 这些说明, 可助您适应其他的文献上的词与记号.

我就说这么多. 再见.