38. 求积号

为简便地表示求积, 人们聪明地作了求积号 $\prod$. (或许, 您知道, “积” 的英语是 product. 拉丁字母 P, p 对应希腊字母 Π, π.)

设 $a_m$, $a_{m+1}$, $\dots$, $a_n$ 是 $n-m+1$ 个数 ($n⩾m$). 我们可简单地写这 $n-m+1$ 个数的积$$a_m\cdot a_{m+1}\cdot \cdots \cdot a_n$$(38.1)为$$\prod _{i=m}^n{a}_i.$$(38.2)比如,$$\begin{array}{rl}& 6\cdot 5x\cdot 4x^2\cdot 3x^3\cdot 2x^4\cdot x^5=\prod _{i=0}^5(6-i)x^i;\\ & 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (n-1)\cdot n=\prod _{i=1}^{n}i.\end{array}$$

式 (38.2) 的 $i$ 是求积指标, 其只起一个辅助的作用. 当我们还原式 (38.2) 为式 (38.1) 时, 求积指标 $i$ 不应出现. 比如, 我们也可写式 (38.1) 为$$\begin{array}{r}\prod _{j=m}^n{a}_j.\end{array}$$所以, 我们可用任何文字作求积指标, 除非此文字跟其他的文字混淆. 比如, $s$ 行 $t$ 列的矩形数表$$\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,t}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,t}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{s,1}& a_{s,2}& \cdots & a_{s,t}\end{array}$$(38.3)的第 $i$ 行的 $t$ 个数的积是$$\begin{array}{r}{a}_{i,1}\cdot a_{i,2}\cdot \cdots \cdot a_{i,t}=\prod _{j=1}^t{a}_{i,j}.\end{array}$$这里, 我们不能用文字 $i$ 作求积指标, 因为$$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^t{a}_{i,i}\end{array}$$的意思是$$\begin{array}{r}{a}_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot \cdots \cdot a_{t,t}.\end{array}$$

有时, 被乘的数用二个或多个指标编号. 比如, 我们计算矩形数表 (38.3) 的 $st$ 个数的积 $P$. 因为数的乘法适合结合律与交换律, 故我们可按任何的次序求积. 特别地, 我们可以先求行 $i$ 的 $t$ 个数的积$$\begin{array}{r}{a}_{i,1}\cdot a_{i,2}\cdot \cdots \cdot a_{i,t}=\prod _{j=1}^t{a}_{i,j},\end{array}$$再累乘每一行的积, 得$$\begin{array}{rl}P=& \prod _{j=1}^t{a}_{1,j}\cdot \prod _{j=1}^t{a}_{2,j}\cdot \cdots \cdot \prod _{j=1}^t{a}_{s,j}\\ =& \prod _{i=1}^s\left(\prod _{j=1}^t{a}_{i,j}\right).\end{array}$$为方便, 我们写$$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^s\left(\prod _{j=1}^t{a}_{i,j}\right)=\prod _{i=1}^s\prod _{j=1}^t{a}_{i,j}.\end{array}$$这就是 $2$ 重求积.

当然, 我们还可以先求列 $j$ 的 $s$ 个数的积$$\begin{array}{r}{a}_{1,j}\cdot a_{2,j}\cdot \cdots \cdot a_{s,j}=\prod _{i=1}^s{a}_{i,j},\end{array}$$再累乘每一列的积, 得$$\begin{array}{rl}P=& \prod _{i=1}^s{a}_{i,1}\cdot \prod _{i=1}^s{a}_{i,2}\cdot \cdots \cdot \prod _{i=1}^s{a}_{i,t}\\ =& \prod _{j=1}^t\left(\prod _{i=1}^s{a}_{i,j}\right)\\ =& \prod _{j=1}^t\prod _{i=1}^s{a}_{i,j}.\end{array}$$比较二次计算的结果, 我们有$$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^s\prod _{j=1}^t{a}_{i,j}=\prod _{j=1}^t\prod _{i=1}^s{a}_{i,j}.\end{array}$$通俗地, 我们可交换求积号的次序, 而不影响积.

类似地, 我们可引入 $3$ 重求积$$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^s\prod _{j=1}^t\prod _{k=1}^u{a}_{i,j,k}=\prod _{i=1}^s\left(\prod _{j=1}^t\prod _{k=1}^u{a}_{i,j,k}\right).\end{array}$$在此基础上, 我们可引入 $4$ 重求积$$\begin{array}{r}\prod _{i=1}^s\prod _{j=1}^t\prod _{k=1}^u\prod _{\ell =1}^v{a}_{i,j,k,\ell }=\prod _{i=1}^s\left(\prod _{j=1}^t\prod _{k=1}^u\prod _{\ell =1}^v{a}_{i,j,k,\ell }\right).\end{array}$$…… 在此基础上, 我们可引入 $p$ 重求积$$\begin{array}{r}\prod _{i_1=1}^{n_1}\prod _{i_2=1}^{n_2}\cdots \prod _{i_{p-1}=1}^{n_{p-1}}\prod _{i_p=1}^{n_p}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}=\prod _{i_1=1}^{n_1}\left(\prod _{i_2=1}^{n_2}\cdots \prod _{i_{p-1}=1}^{n_{p-1}}\prod _{i_p=1}^{n_p}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}\right).\end{array}$$特别地, 若 $n_1=n_2=\cdots =n_p=n$, 我们可简单地写$$\begin{array}{r}\prod _{i_1=1}^n\prod _{i_2=1}^n\cdots \prod _{i_{p-1}=1}^n\prod _{i_p=1}^n{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}=\prod _{i_1,i_2,\dots ,i_p=1}^n{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}.\end{array}$$

有时, 虽然被乘的数用若干个指标编号, 但被乘的并不是其全部, 而是指标适合某些条件的那一部分. 这时, 我们在求积号下写出指标适合的条件. 比如,$$\begin{array}{rl}& \prod _{1⩽i<j⩽n}{a}_{i,j}\\ =& a_{1,2}\\ & \cdot a_{1,3}\cdot a_{2,3}\\ & \cdot a_{1,4}\cdot a_{2,4}\cdot a_{3,4}\\ & \cdot \dots \\ & \cdot a_{1,n}\cdot a_{2,n}\cdot \cdots \cdot a_{n-1,n}.\end{array}$$又比如, 若 $\ell$ 是某个不超过 $n$ 的正整数, 则$$\begin{array}{r}\prod _{\begin{array}{c}1⩽i⩽n\\ i\ne \ell \end{array}}{a}_i=a_1\cdot \cdots \cdot a_{\ell -1}\cdot a_{\ell +1}\cdot \cdots \cdot a_n.\end{array}$$

设 $a_{i_1,i_2,\dots ,i_n}$ 是一些被编号的数. 设 $R_1$, $R_2$ 是关于指标 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 的约束. 若不存在同时适合 $R_1$, $R_2$ 的指标 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$, 则, 根据乘法的结合律与交换律,$$\begin{array}{rl}& \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_1\text{或}{R}_2}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_1}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\cdot \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_2}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}.\end{array}$$(38.4)比如,$$\begin{array}{rl}& \prod _{1⩽i⩽10}i=\prod _{1⩽i⩽4}i\cdot \prod _{5⩽i⩽10}i;\\ & \prod _{\begin{array}{c}1⩽i,j⩽n\\ i\ne j\end{array}}{a}_{i,j}=\prod _{1⩽i<j⩽n}{a}_{i,j}\cdot \prod _{1⩽j<i⩽n}{a}_{i,j}.\end{array}$$

当不存在指标适合约束 $N$ 时 (也就是, $N$ 是空约束时), 我们约定$$\prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}=1.$$(38.5)比如,$$\begin{array}{r}\prod _{1⩽i<j⩽1}{a}_{i,j}=1.\end{array}$$

为解释此约定, 我们设$$\begin{array}{r}x=\prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}.\end{array}$$我们任取一个约束 $R$. 既然不存在指标适合约束 $N$, 自然, 也不存在指标同时适合 $N$, $R$. 再注意, “$i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 适合 $N$ 或 $R$” 相当于 “$i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 适合 $R$”. 由式 (38.4),$$\begin{array}{rl}& \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N\text{或}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\cdot \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}.\end{array}$$特别地, 代 $R$ 以 $N$, 有 $x=x\cdot x$, 即 $x=0$ 或 $x=1$. 若我们取 $x=0$, 则对任何的约束 $R$, 必有$$\begin{array}{r}\prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}=0\cdot \prod _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}=0.\end{array}$$于是, 若我们取 $x=0$, 则任何多个数的积都是 $0$. 这是不合理的. 所以, 我们取 $x=1$; 也就是, 我们约定式 (38.5).

或许, 您已经发现, 因为数的加法跟乘法都适合结合律与交换律, 故求和号与求积号有类似的性质.