37. 求和号

为简便地表示求和, 人们聪明地作了求和号 $\sum$. (或许, 您知道, “和” 的英语是 sum. 拉丁字母 S, s 对应希腊字母 Σ, σ/ς.)

设 $a_m$, $a_{m+1}$, $\dots$, $a_n$ 是 $n-m+1$ 个数 ($n⩾m$). 我们可简单地写这 $n-m+1$ 个数的和$$a_m+a_{m+1}+\cdots +a_n$$(37.1)为$$\sum _{i=m}^n{a}_i.$$(37.2)比如,$$\begin{array}{rl}& 6+5x+4x^2+3x^3+2x^4+x^5=\sum _{i=0}^5(6-i)x^i;\\ & 1+2+\cdots +(n-1)+n=\sum _{i=1}^{n}i.\end{array}$$

式 (37.2) 的 $i$ 是求和指标, 其只起一个辅助的作用. 当我们还原式 (37.2) 为式 (37.1) 时, 求和指标 $i$ 不应出现. 比如, 我们也可写式 (37.1) 为$$\begin{array}{r}\sum _{j=m}^n{a}_j.\end{array}$$所以, 我们可用任何文字作求和指标, 除非此文字跟其他的文字混淆. 比如, $s$ 行 $t$ 列的矩形数表$$\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,t}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,t}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{s,1}& a_{s,2}& \cdots & a_{s,t}\end{array}$$(37.3)的第 $i$ 行的 $t$ 个数的和是$$\begin{array}{r}{a}_{i,1}+a_{i,2}+\cdots +a_{i,t}=\sum _{j=1}^t{a}_{i,j}.\end{array}$$这里, 我们不能用文字 $i$ 作求和指标, 因为$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^t{a}_{i,i}\end{array}$$的意思是$$\begin{array}{r}{a}_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{t,t}.\end{array}$$

有时, 被加的数用二个或多个指标编号. 比如, 我们计算矩形数表 (37.3) 的 $st$ 个数的和 $S$. 因为数的加法适合结合律与交换律, 故我们可按任何的次序求和. 特别地, 我们可以先求行 $i$ 的 $t$ 个数的和$$\begin{array}{r}{a}_{i,1}+a_{i,2}+\cdots +a_{i,t}=\sum _{j=1}^t{a}_{i,j},\end{array}$$再累加每一行的和, 得$$\begin{array}{rl}S=& \sum _{j=1}^t{a}_{1,j}+\sum _{j=1}^t{a}_{2,j}+\cdots +\sum _{j=1}^t{a}_{s,j}\\ =& \sum _{i=1}^s\left(\sum _{j=1}^t{a}_{i,j}\right).\end{array}$$为方便, 我们写$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^s\left(\sum _{j=1}^t{a}_{i,j}\right)=\sum _{i=1}^s\sum _{j=1}^t{a}_{i,j}.\end{array}$$这就是 $2$ 重求和.

当然, 我们还可以先求列 $j$ 的 $s$ 个数的和$$\begin{array}{r}{a}_{1,j}+a_{2,j}+\cdots +a_{s,j}=\sum _{i=1}^s{a}_{i,j},\end{array}$$再累加每一列的和, 得$$\begin{array}{rl}S=& \sum _{i=1}^s{a}_{i,1}+\sum _{i=1}^s{a}_{i,2}+\cdots +\sum _{i=1}^s{a}_{i,t}\\ =& \sum _{j=1}^t\left(\sum _{i=1}^s{a}_{i,j}\right)\\ =& \sum _{j=1}^t\sum _{i=1}^s{a}_{i,j}.\end{array}$$比较二次计算的结果, 我们有$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^s\sum _{j=1}^t{a}_{i,j}=\sum _{j=1}^t\sum _{i=1}^s{a}_{i,j}.\end{array}$$通俗地, 我们可交换求和号的次序, 而不影响和.

类似地, 我们可引入 $3$ 重求和$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^s\sum _{j=1}^t\sum _{k=1}^u{a}_{i,j,k}=\sum _{i=1}^s\left(\sum _{j=1}^t\sum _{k=1}^u{a}_{i,j,k}\right).\end{array}$$在此基础上, 我们可引入 $4$ 重求和$$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^s\sum _{j=1}^t\sum _{k=1}^u\sum _{\ell =1}^v{a}_{i,j,k,\ell }=\sum _{i=1}^s\left(\sum _{j=1}^t\sum _{k=1}^u\sum _{\ell =1}^v{a}_{i,j,k,\ell }\right).\end{array}$$…… 在此基础上, 我们可引入 $p$ 重求和$$\begin{array}{r}\sum _{i_1=1}^{n_1}\sum _{i_2=1}^{n_2}\cdots \sum _{i_{p-1}=1}^{n_{p-1}}\sum _{i_p=1}^{n_p}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}=\sum _{i_1=1}^{n_1}\left(\sum _{i_2=1}^{n_2}\cdots \sum _{i_{p-1}=1}^{n_{p-1}}\sum _{i_p=1}^{n_p}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}\right).\end{array}$$特别地, 若 $n_1=n_2=\cdots =n_p=n$, 我们可简单地写$$\begin{array}{r}\sum _{i_1=1}^n\sum _{i_2=1}^n\cdots \sum _{i_{p-1}=1}^n\sum _{i_p=1}^n{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}=\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_p=1}^n{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_{p-1},i_p}.\end{array}$$

有时, 虽然被加的数用若干个指标编号, 但被加的并不是其全部, 而是指标适合某些条件的那一部分. 这时, 我们在求和号下写出指标适合的条件. 比如,$$\begin{array}{rl}& \sum _{1⩽i<j⩽n}{a}_{i,j}\\ =& a_{1,2}\\ & +a_{1,3}+a_{2,3}\\ & +a_{1,4}+a_{2,4}+a_{3,4}\\ & +\dots \\ & +a_{1,n}+a_{2,n}+\cdots +a_{n-1,n}.\end{array}$$又比如, 若 $\ell$ 是某个不超过 $n$ 的正整数, 则$$\begin{array}{r}\sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽n\\ i\ne \ell \end{array}}{a}_i=a_1+\cdots +a_{\ell -1}+a_{\ell +1}+\cdots +a_n.\end{array}$$

设 $a_{i_1,i_2,\dots ,i_n}$ 是一些被编号的数. 设 $R_1$, $R_2$ 是关于指标 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 的约束. 若不存在同时适合 $R_1$, $R_2$ 的指标 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$, 则, 根据加法的结合律与交换律,$$\begin{array}{rl}& \sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_1\text{或}{R}_2}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_1}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}+\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}{R}_2}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}.\end{array}$$(37.4)比如,$$\begin{array}{rl}& \sum _{1⩽i⩽10}i=\sum _{1⩽i⩽4}i+\sum _{5⩽i⩽10}i;\\ & \sum _{\begin{array}{c}1⩽i,j⩽n\\ i\ne j\end{array}}{a}_{i,j}=\sum _{1⩽i<j⩽n}{a}_{i,j}+\sum _{1⩽j<i⩽n}{a}_{i,j}.\end{array}$$

当不存在指标适合约束 $N$ 时 (也就是, $N$ 是空约束时), 我们约定$$\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}=0.$$(37.5)比如,$$\begin{array}{r}\sum _{1⩽i<j⩽1}{a}_{i,j}=0.\end{array}$$

为解释此约定, 我们任取一个约束 $R$. 既然不存在指标适合约束 $N$, 自然, 也不存在指标同时适合 $N$, $R$. 再注意, “$i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 适合 $N$ 或 $R$” 相当于 “$i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 适合 $R$”. 由式 (37.4),$$\begin{array}{rl}& \sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N\text{或}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}\\ =& \sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}N}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}+\sum _{i_1,i_2,\dots ,i_n\text{适合}R}{a}_{i_1,i_2,\dots ,i_n}.\end{array}$$消去相同的项, 得式 (37.5).