61. 消去律

本节, 我们讨论一些运算的消去律.

定理 61.1. 设 $x$, $y$, $z$ 是数. 若 $x+y=x+z$, 或 $y+x=z+x$, 则 $y=z$.

我们知道:

(1) 存在数 $0$, 使对任何数 $a$, 必 $0+a=a=a+0$;

(2) 对任何数 $a$, 必存在数 $-a$, 使 $(-a)+a=0=a+(-a)$.

那么, 若 $x+y=x+z$, 则$$\begin{array}{r}(-x)+(x+y)=(-x)+(x+z).\end{array}$$由结合律, 有$$\begin{array}{r}((-x)+x)+y=((-x)+x)+z,\end{array}$$即$$\begin{array}{r}0+y=0+z.\end{array}$$故 $y=z$.

类似地, 我们可证, 若 $y+x=z+x$, 则 $y=z$.

类似地:

(3) 存在 $m\times n$ 阵 $0$, 使对任何 $m\times n$ 阵 $X$, 必 $0+X=X=X+0$;

(4) 对任何 $m\times n$ 阵 $X$, 必存在 $m\times n$ 阵 $-X$, 使 $(-X)+X=0=X+(-X)$.

于是, 我们也有

定理 61.2. 设 $A$, $B$, $C$ 都是 $m\times n$ 阵. 若 $A+B=A+C$, 或 $B+A=C+A$, 则 $B=C$.

又设 $x$, $y$, $z$ 是数. 那么, 若 $xy=xz$, 或 $yx=zx$, 还有 $y=z$ 吗? 不一定. 毕竟, 对任何数 $a$, 必 $0a=0=a0$. 于是, 虽然 $0\cdot 0=0\cdot 1$, 但 $0\ne 1$.

可是, 若我们还要求 $x\ne 0$, 则 $y=z$ 是对的. 毕竟:

(5) 存在数 $1$, 使对任何数 $a$, 必 $1a=a=a1$;

(6) 对任何非零的数 $a$, 必存在数 $a^{-1}$, 使 $a^{-1}a=1=a{a}^{-1}$.

设 $x\ne 0$, 且 $xy=xz$. 则 $x^{-1}(xy)=x^{-1}(xz)$. 由结合律, 有 $(x^{-1}x)y=(x^{-1}x)z$. 则 $1y=1z$. 则 $y=z$. 类似地, 可证, 若 $x\ne 0$, 且 $yx=zx$, 则 $y=z$. 所以

定理 61.3. 设 $x$, $y$, $z$ 是数, 且 $x\ne 0$. 若 $xy=xz$, 或 $yx=zx$, 则 $y=z$.

阵的积也有类似的性质. 不过, 由于阵的积是较复杂的, 相关的事实的论证也是较不简单的.

先看一个简单的事实.

定理 61.4. 设 $A$, $B$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $x\ne 0$ 是一个数. 若 $xA=xB$, 则 $A=B$.

证. 任取正整数 $i⩽m$ 与 $j⩽n$. 则$$\begin{array}{r}x[A{]}_{i,j}=[xA{]}_{i,j}=[xB{]}_{i,j}=x[B{]}_{i,j}.\end{array}$$由数的积的性质, 既然 $x\ne 0$, 则必 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}$.

证毕.

以下是本节的主要结论.

定理 61.5. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵, 且 $\det (A)\ne 0$.

设 $n\times m$ 阵 $B$, $C$ 适合 $AB=AC$. 则 $B=C$.

设 $m\times n$ 阵 $F$, $G$ 适合 $FA=GA$. 则 $F=G$.

证. 我证第 1 个; 我留第 2 个为您的习题.

设 $A$ 是一个 $n$ 级阵, 且 $\det (A)\ne 0$. 又设 $n\times m$ 阵 $B$, $C$ 适合 $AB=AC$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(A)(AB)=\mathrm{adj}(A)(AC).\end{array}$$由结合律, $$\begin{array}{r}(\mathrm{adj}(A)A)B=(\mathrm{adj}(A)A)C.\end{array}$$由古伴的性质, $$\begin{array}{r}(\det (A)I)B=(\det (A)I)C,\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\det (A)(IB)=\det (A)(IC),\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\det (A)B=\det (A)C.\end{array}$$因为 $\det (A)\ne 0$, 我们有 $B=C$.

证毕.

以上结论也可被推广. 不过, 还是以上结论更常用, 更常见.

定理 61.6. 设 $A$ 是一个 $s\times n$ 阵. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $n$ 级子阵$$\begin{array}{r}A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_n}{1,2,\dots ,n}\right),\end{array}$$其中 $1⩽i_1<\cdots <i_n⩽s$. 设 $n\times m$ 阵 $B$, $C$ 适合 $AB=AC$. 则 $B=C$.

设 $H$ 是一个 $n\times t$ 阵. 设 $H$ 有一个行列式非零的 $n$ 级子阵$$\begin{array}{r}H\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\dots ,n}{j_1,j_2,\dots ,j_n}\right),\end{array}$$其中 $1⩽j_1<\cdots <j_n⩽t$. 设 $m\times n$ 阵 $F$, $G$ 适合 $FH=GH$. 则 $F=G$.

证. 我证第 1 个; 我留第 2 个为您的习题.

记$$\begin{array}{r}L=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_n}{1,2,\dots ,n}\right).\end{array}$$注意, $[L{]}_{p,v}=[A{]}_{i_p,v}$.

从 $1$, $2$, $\dots$, $s$ 去除 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_n$ 后, 还剩 $s-n$ 个数. 我们从小到大地叫这 $s-n$ 个数为 $i_{n+1}$, $\dots$, $i_s$.

作 $n\times s$ 阵 $X$ 如下: $$\begin{array}{r}[X{]}_{u,i_p}=\{\begin{array}{ll}[\mathrm{adj}(L){]}_{u,p},& p⩽n;\\ 0,& p>n.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}[XA{]}_{u,v}=& \sum _{p=1}^s[X{]}_{u,p}[A{]}_{p,v}\\ =& \sum _{p=1}^s[X{]}_{u,i_p}[A{]}_{i_p,v}\\ =& \sum _{p=1}^n[X{]}_{u,i_p}[A{]}_{i_p,v}+\sum _{p=n+1}^s[X{]}_{u,i_p}[A{]}_{i_p,v}\\ =& \sum _{p=1}^n[\mathrm{adj}(L){]}_{u,p}[L{]}_{p,v}+\sum _{p=n+1}^{s}0[A{]}_{i_p,v}\\ =& [\mathrm{adj}(L)L{]}_{u,v}+0\\ =& [\det (L)I_n{]}_{u,v}.\end{array}$$故 $XA=\det (L)I_n$.

由 $AB=AC$, 知$$\begin{array}{r}X(AB)=X(AC),\end{array}$$即$$\begin{array}{r}(XA)B=(XA)C,\end{array}$$即$$\begin{array}{r}(\det (L)I_n)B=(\det (L)I_n)C,\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\det (L)(I_{n}B)=\det (L)(I_{n}C),\end{array}$$即$$\begin{array}{r}\det (L)B=\det (L)C.\end{array}$$因为 $\det (L)\ne 0$, 故 $B=C$.

证毕.