25. 由 m 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (1)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

在接下来的若干节里, 我想用行列式讨论由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组的解. 注意, 方程数 $m$ 不一定等于未知数数 $n$.

我们有时会用 Cramer 公式辅助讨论. 具体地, 为讨论一般的由 $m$ 个 $n$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组的解, 我们有时会作辅助的线性方程组, 其方程数等于其未知数数, 且 Cramer 公式是可用的.

本节, 我们讨论, 线性方程组有解时, 解是否唯一.

我们先看一个简单的事实.

定理 25.1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 设 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=B$.

(1) 若 $AX=0$ 只有零解, 则 $AX=B$ 的解唯一;

(2) 若存在非零的 $n\times 1$ 阵 $D$ 使 $AD=0$, 则 $AX=B$ 的解不唯一.

证. (1) 设 $n\times 1$ 阵 $Y$ 适合 $AY=B$. 则$$\begin{array}{r}A(Y-C)=AY-AC=B-B=0.\end{array}$$故 $Y-C$ 是 $AX=0$ 的一个解. 因为 $AX=0$ 只有零解, 故 $Y-C=0$. 从而 $Y=C$.

(2) 因为 $D\ne 0$, 故 $C+D\ne C$. 因为 $A(C+D)=AC+AD=B+0=B$, 且 $C+D\ne C$, 故 $AX=B$ 的解不唯一.

证毕.

由此可见, 若 $AX=0$ 有非零解, 则 $AX=B$ 有解时, 其解不唯一. 若 $AX=0$ 只有零解, 则 $AX=B$ 有解时, 其解唯一.

然后, 我们讨论, $AX=0$ 是否有非零解. 不过, 为使讨论简单, 我们要作准备.

定理 25.2. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 若 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则对任何高于 $r$ 的整数 $s$, $A$ 没有行列式非零的 $s$ 级子阵.

说阵 $Z$ 是 $A$ 的一个 $\mathbf{p}$ 级子阵, 就是说, $Z$ 是 $A$ 的一个子阵 (见本章, 节 5), 且 $Z$ 是一个 $p$ 级阵.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设命题 $P(s)$ 为:

$A$ 没有行列式非零的 $s$ 级子阵.

则我们的目标是: 对任何高于 $r$ 的整数 $s$, $P(s)$ 是对的.

$P(r+1)$ 是对的.

假定 $P(t)$ 是对的. 我们由此证, $P(t+1)$ 也是对的. 若 $A$ 没有 $t+1$ 级子阵, 此事自然是对的. 若 $A$ 有 $t+1$ 级子阵, 利用定义, 按列 $1$ 展开其行列式, 可知, 此子阵的行列式是 $A$ 的 $t+1$ 个 $t$ 级子阵的行列式的倍的和. 由此可知, $A$ 没有行列式非零的 $t+1$ 级子阵.

所以, $P(t+1)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

定理 25.3. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 存在一个唯一的非负整数 $r$, 使:

(1) $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵;

(2) $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

证. 唯一性是简单的. 设还有非负整数 $s$ 适合条件:

(1${}^{\prime }$) $A$ 有一个行列式非零的 $s$ 级子阵;

(2${}^{\prime }$) $A$ 没有行列式非零的 $s+1$ 级子阵.

反设 $s>r$. 既然 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 故 $A$ 没有行列式非零的 $s$ 级子阵. 这跟 (1${}^{\prime }$) 矛盾. 所以, $s⩽r$. 类似地, 我们可证 $r⩽s$. 从而 $s=r$.

下面, 我们说明存在性. 我们设 $t$ 是 $m$ 与 $n$ 中的较小者. 若 $A$ 有行列式非零的 $t$ 级子阵, 我们可取 $r=t$; 否则, 我们代 $t$ 以 $t-1$. 若 $A$ 有行列式非零的 $t-1$ 级子阵, 我们可取 $r=t-1$; 否则, 我们代 $t-1$ 以 $t-2$. …… 反复地作下去, 我们能找到此 $r$. (注意, 我们约定 “$0$ 级阵” 的行列式为 $1$, 所以这个过程能结束.)

证毕.

定理 25.4 ($0$ 的作用). 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 设 $k$ 是一个不超过 $m$ 的正整数. 作一个 $(m+1)\times n$ 阵 $\underline{\text{A}}$, 其中$$\begin{array}{r}[\underline{\text{A}}{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& i⩽k;\\ 0,& i=k+1;\\ [A{]}_{i-1,j},& i>k+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, $\underline{\text{A}}$ 是在 $A$ 的行 $k$ 下写一行 $0$ 作成的阵.) 再作一个 $(m+1)\times 1$ 阵 $\underline{\text{B}}$, 其中$$\begin{array}{r}[\underline{\text{B}}{]}_{i,1}=\{\begin{array}{ll}[B{]}_{i,1},& i⩽k;\\ 0,& i=k+1;\\ [B{]}_{i-1,1},& i>k+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, $\underline{\text{B}}$ 是在 $B$ 的行 $k$ 下写 $0$ 作成的阵.)

(1) 若 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=B$, 则 $\underline{\text{A}}C=\underline{\text{B}}$.

(2) 若 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $\underline{\text{A}}C=\underline{\text{B}}$, 则 $AC=B$.

(3) 若 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $\underline{\text{A}}$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(4) 若 $\underline{\text{A}}$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

证. (1) 设 $AC=B$. 我们要证 $\underline{\text{A}}C=\underline{\text{B}}$.

首先, $\underline{\text{A}}C$ 与 $\underline{\text{B}}$ 的尺寸都是 $(m+1)\times 1$.

若 $i⩽k$, 则$$\begin{array}{rl}[\underline{\text{A}}C{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[\underline{\text{A}}{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& [AC{]}_{i,1}\\ =& [B{]}_{i,1}\\ =& [\underline{\text{B}}{]}_{i,1}.\end{array}$$若 $i=k+1$, 则$$\begin{array}{rl}[\underline{\text{A}}C{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[\underline{\text{A}}{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^{n}0[C{]}_{\ell ,1}\\ =& 0\\ =& [\underline{\text{B}}{]}_{i,1}.\end{array}$$若 $i>k+1$, 则$$\begin{array}{rl}[\underline{\text{A}}C{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[\underline{\text{A}}{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i-1,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& [AC{]}_{i-1,1}\\ =& [B{]}_{i-1,1}\\ =& [\underline{\text{B}}{]}_{i,1}.\end{array}$$由此可见, $\underline{\text{A}}C=\underline{\text{B}}$.

(2) 设 $\underline{\text{A}}C=\underline{\text{B}}$. 我们要证 $AC=B$.

首先, $AC$ 与 $B$ 的尺寸都是 $m\times 1$.

其次, 注意, $$\begin{array}{r}[A{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[\underline{\text{A}}{]}_{i,j},& i⩽k;\\ [\underline{\text{A}}{]}_{i+1,j},& i>k.\end{array}\end{array}$$类似地, $$\begin{array}{r}[B{]}_{i,1}=\{\begin{array}{ll}[\underline{\text{B}}{]}_{i,1},& i⩽k;\\ [\underline{\text{B}}{]}_{i+1,1},& i>k.\end{array}\end{array}$$

若 $i⩽k$, 则$$\begin{array}{rl}[AC{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[\underline{\text{A}}{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& [\underline{\text{A}}C{]}_{i,1}\\ =& [\underline{\text{B}}{]}_{i,1}\\ =& [B{]}_{i,1}.\end{array}$$若 $i>k$, 则$$\begin{array}{rl}[AC{]}_{i,1}=& \sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\ell =1}^n[\underline{\text{A}}{]}_{i+1,\ell }[C{]}_{\ell ,1}\\ =& [\underline{\text{A}}C{]}_{i+1,1}\\ =& [\underline{\text{B}}{]}_{i+1,1}\\ =& [B{]}_{i,1}.\end{array}$$由此可见, $AC=B$.

(3) 注意, $A$ 的子阵都是 $\underline{\text{A}}$ 的子阵. 所以, 若 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 则 $\underline{\text{A}}$ 也有一个行列式非零的 $r$ 级子阵. 对 $\underline{\text{A}}$ 的每一个子阵, 要么 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 被选中, 要么 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 不被选中. 所以, 那些 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 不被选中的 $r+1$ 级子阵 (若存在) 是 $A$ 的 $r+1$ 级子阵 (若存在), 故其行列式为 $0$. 而那些 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 被选中的 $r+1$ 级子阵 (若存在) 有一行的元全为 $0$, 故其行列式为 $0$. 从而, $\underline{\text{A}}$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(4) 对 $\underline{\text{A}}$ 的每一个子阵, 要么 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 被选中, 要么 $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 不被选中. 设 $\underline{\text{A}}$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵. 那么, 这个子阵不含元全为 $0$ 的行. 特别地, 对此子阵, $\underline{\text{A}}$ 的行 $k+1$ 不被选中. 所以, 这也是 $A$ 的一个 $r$ 级子阵. 所以, $A$ 也有一个行列式非零的 $r$ 级子阵. 注意, $A$ 的子阵都是 $\underline{\text{A}}$ 的子阵. 既然 $\underline{\text{A}}$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 那么 $A$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

证毕.

现在, 我们讨论 $AX=0$ 是否有非零解.

定理 25.5. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 设 $r<n$. 则 $AX=0$ 有非零解.

证. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵.

我们无妨设 $m⩾n$. 若 $m<n$, 我们作一个 $n$ 级阵 $\underline{\text{A}}$, 其中$$\begin{array}{r}[\underline{\text{A}}{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& i⩽m;\\ 0,& i>m.\end{array}\end{array}$$(通俗地, $\underline{\text{A}}$ 是在 $A$ 的行 $m$ 下写 $n-m$ 行 $0$ 作成的阵.) 由此, 不难得到: (a) 若 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $\underline{\text{A}}C=0$, 则 $AC=0$; (b) $\underline{\text{A}}$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 所以, 若我们找到了 $\underline{\text{A}}X=0$ 的非零解, 则我们也找到了 $AX=0$ 的非零解. 以下, 我们设 $m⩾n$.

若 $A=0$, 我们任取一个非零的 $n\times 1$ 阵 $S$. 则 $AS=0$.

以下, 我们假定 $A\ne 0$; 也就是, $A$ 有一个元不是 $0$ (同时, 这也要求 $n>1$: 回想 $1$ 级阵的行列式是什么). 从而 $r⩾1$.

我们设 $A$ 的 $r$ 级子阵 $A_r=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{j_1,\dots ,j_r}\right)$ 的行列式非零, 其中 $i_1<i_2<\cdots <i_r$, 且 $j_1<j_2<\cdots <j_r$. 我们从 $1$, $2$, $\dots$, $m$ 中去除 $r$ 个整数 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_r$; 此时, 还剩下 $m-r$ 个整数; 我们从中选一个为 $i_{r+1}$. 类似地, 我们再从 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 中去除 $r$ 个整数 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$; 此时, 还剩下 $n-r$ 个整数; 我们从中选一个为 $j_{r+1}$. 作 $r+1$ 级阵 $E=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r,i_{r+1}}{j_1,\dots ,j_r,j_{r+1}}\right)$. 我们设 $i_p$ 在 $i_1$, $\dots$, $i_r$, $i_{r+1}$ 中是第 $f(i_p)$ 小的数. 再设 $j_p$ 在 $j_1$, $\dots$, $j_r$, $j_{r+1}$ 中是第 $g(j_p)$ 小的数. 因为 $E$ 是 $A$ 的一个 $r+1$ 级子阵, 故 $\det (E)=0$. 从而 $E\mathrm{adj}(E)=0$. 注意, $[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_{r+1}),f(i_{r+1})}=(-1{)}^{f(i_{r+1})+g(j_{r+1})}\det (A_r)\ne 0$.

接下来, 我们设法由此得到一个 $AX=0$ 的非零解. 我们作一个 $n\times 1$ 阵 $W$, 其中$$\begin{array}{r}[W{]}_{\ell ,1}=\{\begin{array}{ll}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})},& \text{ℓ=jp, p=1, …, r, r+1};\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 我们在适当的位置写 $0$, 变 $\mathrm{adj}(E)$ 的列 $f(i_{r+1})$ 为一个 $n\times 1$ 阵 $W$.) 因为 $[W{]}_{j_{r+1},1}\ne 0$, 故 $W\ne 0$. 我们证明 $AW=0$.

取不超过 $m$ 的正整数 $q$. 则$$\begin{array}{rl}[AW{]}_{q,1}=& \sum _{\ell =1}^n[A{]}_{q,\ell }[W{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell =j_p\\ 1⩽p⩽r+1\end{array}}[A{]}_{q,\ell }[W{]}_{\ell ,1}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \text{其他}\end{array}}[A{]}_{q,\ell }[W{]}_{\ell ,1}\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell =j_p\\ 1⩽p⩽r+1\end{array}}[A{]}_{q,j_p}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \text{其他}\end{array}}[A{]}_{q,\ell }0\\ =& \sum _{p=1}^{r+1}[A{]}_{q,j_p}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})}.\end{array}$$若 $q$ 等于某个 $i_t$, 则$$\begin{array}{rl}[AW{]}_{i_t,1}=& \sum _{p=1}^{r+1}[A{]}_{i_t,j_p}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})}\\ =& \sum _{p=1}^{r+1}[E{]}_{f(i_t),g(j_p)}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})}\\ =& [E\mathrm{adj}(E){]}_{f(i_t),f(i_{r+1})}\\ =& [0{]}_{f(i_t),f(i_{r+1})}\\ =& 0.\end{array}$$若 $q$ 不等于 $i_1$, $\dots$, $i_r$, $i_{r+1}$ 中的任何一个, 则$$\begin{array}{rl}[AW{]}_{q,1}=& \sum _{p=1}^{r+1}[A{]}_{q,j_p}[\mathrm{adj}(E){]}_{g(j_p),f(i_{r+1})}\\ =& \sum _{p=1}^{r+1}[A{]}_{q,j_p}(-1{)}^{f(i_{r+1})+g(j_p)}\det (E(f(i_{r+1})|g(j_p))).\end{array}$$作一个 $r+1$ 级阵 $C_q$, 其中$$\begin{array}{r}[C_q{]}_{h,g(j_p)}=\{\begin{array}{ll}[E{]}_{h,g(j_p)},& h\ne f(i_{r+1});\\ [A{]}_{q,j_p},& h=f(i_{r+1}).\end{array}\end{array}$$于是, $C_q(f(i_{r+1})|g(j_p))=E(f(i_{r+1})|g(j_p))$. 从而$$\begin{array}{rl}[AW{]}_{q,1}=& \sum _{p=1}^{r+1}[A{]}_{q,j_p}(-1{)}^{f(i_{r+1})+g(j_p)}\det (E(f(i_{r+1})|g(j_p)))\\ =& \sum _{p=1}^{r+1}[C_q{]}_{f(i_{r+1}),g(j_p)}(-1{)}^{f(i_{r+1})+g(j_p)}\det (C_q(f(i_{r+1})|g(j_p)))\\ =& \det (C_q).\end{array}$$

再作一个 $r+1$ 级阵 $D_q=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r,q}{j_1,\dots ,j_r,j_{r+1}}\right)$. 不难看出, 适当地交换 $C_q$ 的行的次序, 即可变 $C_q$ 为 $D_q$. 根据反称性, $\det (C_q)=\pm \det (D_q)$. (具体地, 设 $q$ 在 $i_1$, $\dots$, $i_r$, $q$ 中是第 $u$ 小的数. 那么, 当 $f(i_{r+1})=u$ 时, $C_q=D_q$. 当 $f(i_{r+1})<u$ 时, 交换行 $f(i_{r+1})$ 与 $f(i_{r+1})+1$, 再交换行 $f(i_{r+1})+1$ 与 $f(i_{r+1})+2$, ……, 且再交换行 $u-1$ 与 $u$; 作 $u-f(i_{r+1})$ 次相邻行的交换, 即可变 $C_q$ 为 $D_q$. 当 $f(i_{r+1})>u$ 时, 交换行 $f(i_{r+1})$ 与 $f(i_{r+1})-1$, 再交换行 $f(i_{r+1})-1$ 与 $f(i_{r+1})-2$, ……, 且再交换行 $u+1$ 与 $u$; 作 $f(i_{r+1})-u$ 次相邻行的交换, 即可变 $C_q$ 为 $D_q$.) 因为 $D_q$ 是 $A$ 的一个 $r+1$ 级子阵, 故其行列式为 $0$. 从而$$\begin{array}{r}[AW{]}_{q,1}=\det (C_q)=\pm \det (D_q)=0.\end{array}$$

综上, 我们找到了一个 $n\times 1$ 阵 $W$ 使 $AW=0$, 且 $W\ne 0$.

证毕.

定理 25.6. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $n$ 级子阵 (此时, $A$ 当然没有行列式非零的 $n+1$ 级子阵). 则 $AX=0$ 只有零解.

证. 设 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=0$. 设 $A$ 的 $n$ 级子阵$$\begin{array}{r}K=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_n}{1,2,\dots ,n}\right)\end{array}$$的行列式非零, 其中 $1⩽i_1<i_2<\cdots <i_n⩽m$. 因为 $C$ 适合$$\begin{array}{rl}& [A{]}_{1,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{1,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{1,n}[C{]}_{n,1}=0,\\ & [A{]}_{2,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{2,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{2,n}[C{]}_{n,1}=0,\\ & \dots ,\\ & [A{]}_{m,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{m,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{m,n}[C{]}_{n,1}=0,\end{array}$$故 $C$ 当然也适合$$\begin{array}{rl}& [A{]}_{i_1,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{i_1,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{i_1,n}[C{]}_{n,1}=0,\\ & [A{]}_{i_2,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{i_2,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{i_2,n}[C{]}_{n,1}=0,\\ & \dots ,\\ & [A{]}_{i_n,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{i_n,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{i_n,n}[C{]}_{n,1}=0,\end{array}$$即 $KC=0$. 因为 $\det (K)\ne 0$, 故, 由 Cramer 公式, 有 $C=0$.

证毕.

现在, 我们作一个小结.

定理 25.7. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(1) 若 $r<n$, 则 $AX=0$ 有非零解;

(2) 若 $r=n$, 则 $AX=0$ 只有零解.

定理 25.8. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 设 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=B$; 也就是, $AX=B$ 有解. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(1) 若 $r<n$, 则 $AX=B$ 的解不唯一;

(2) 若 $r=n$, 则 $AX=B$ 的解唯一.