26. 由 m 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (2)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

前面, 我们讨论了 “$AX=B$ 有解时, 解是否唯一” 问题. 此事的回答跟 $A$ 的子阵的行列式有关. 设 $A$ 有 $n$ 列. 当 $A$ 有一个行列式非零的 $n$ 级子阵时, 此方程组的解唯一; 当 $A$ 没有行列式非零的 $n$ 级子阵时, 此方程组的解不唯一. 本节, 我们讨论线性方程组何时有解. 一个好的想法是, 我们先讨论 $AX=B$ 有解时, $A$, $B$ 应适合什么条件; 然后, 反过来, 我们再讨论适合这些条件的 $A$, $B$ 是否能使 $AX=B$ 有解.

定理 26.1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 设存在 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=B$. 作一个 $m\times (n+1)$ 阵 $G$, 其中$$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,1},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$, 得到尺寸较大的阵 $G$.) 则存在一个非负整数 $r$, 使 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 (从而 $G$ 也有一个行列式非零的 $r$ 级子阵), 但 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵 (从而 $A$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵).

证. 我们知道, 存在一个非负整数 $r$, 使 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 我们证明, $G$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

若 $G$ 根本没有 $r+1$ 级子阵, 则 $G$ 当然也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

若 $G$ 有 $r+1$ 级子阵, 那么, 对 $G$ 的每一个 $r+1$ 级子阵, 要么 $G$ 的列 $n+1$ 被选中, 要么 $G$ 的列 $n+1$ 不被选中.

若 $G$ 的列 $n+1$ 不被选中, 那么, 这个子阵就是 $A$ 的 $r+1$ 级子阵, 故其行列式为 $0$.

若 $G$ 的列 $n+1$ 被选中, 我们说明, 这个子阵的行列式是 $A$ 的一些 $r+1$ 级子阵的行列式的倍的和, 故其行列式仍为 $0$. 因为 $AC=B$, 故, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$, $$\begin{array}{r}[B{]}_{i,1}=[A{]}_{i,1}[C{]}_{1,1}+[A{]}_{i,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[A{]}_{i,n}[C{]}_{n,1},\end{array}$$即$$\begin{array}{r}[G{]}_{i,n+1}=[G{]}_{i,1}[C{]}_{1,1}+[G{]}_{i,2}[C{]}_{2,1}+\cdots +[G{]}_{i,n}[C{]}_{n,1}.\end{array}$$设这个子阵为$$\begin{array}{r}D=G\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r,i_{r+1}}{j_1,\dots ,j_r,n+1}\right),\end{array}$$其中 $1⩽i_1<\cdots <i_r<i_{r+1}⩽m$, 且 $1⩽j_1<\cdots <j_r⩽n$. 记 $(r+1)\times n$ 阵$$\begin{array}{r}A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r,i_{r+1}}{1,2,\dots ,n}\right)\end{array}$$的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 为 $h_1$, $h_2$, $\dots$, $h_n$. 于是, $D$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $r$ 就是 $h_{j_1}$, $h_{j_2}$, $\dots$, $h_{j_r}$, 而 $D$ 的列 $r+1$ 是$$\begin{array}{r}\sum _{1⩽t⩽n}[C{]}_{t,1}{h}_t.\end{array}$$从而, 利用多线性, $$\begin{array}{rl}\det (D)=& \det (D_r)\\ =& \det \left[h_{j_1},\dots ,h_{j_r},\sum _{1⩽t⩽n}[C{]}_{t,1}{h}_t\right]\\ =& \sum _{1⩽t⩽n}[C{]}_{t,1}\det [h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t].\end{array}$$若 $t$ 等于 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$ 的一个, 则 $[h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t]$ 有二列相同. 由交错性, $\det [h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t]=0$. 若 $t$ 不等于 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$ 的任何一个, 我们适当地交换 $[h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t]$ 的列的次序, 变其为 $A$ 的一个 $r+1$ 级子阵. 由反称性, 有$$\begin{array}{r}\det [h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t]=\pm \det \left(A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r,i_{r+1}}{j_1,\dots ,j_r,t}\right)\right)=0.\end{array}$$于是, $\det [h_{j_1},\dots ,h_{j_r},h_t]$ 总是 $0$. 故 $\det (D)=0$.

证毕.