29. 由 m 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (5)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

线性方程组的故事要结束了. 毕竟, 我们已解决线性方程组的三个重要的问题:

(1) 一个线性方程组何时有解?

(2) 一个线性方程组有解时, 其解是否唯一?

(3) 一个线性方程组有解时, 我们如何找到它的全部的解?

我们用行列式回答了这三个问题, 作了线性方程组的一个理论. 所以, 理论地, 给了一个线性方程组, 我们可以计算一些行列式以确定它是否有解, 且有解时其解为何.

不过, 计算一个方阵的行列式并不是什么简单的事情: $3$ 级阵的行列式的具体的公式含 $6$ 项, 且 $4$ 级阵的行列式的具体的公式含 $24$ 项.

不过, 此理论仍然是重要的. 或许, 您还记得, 任给一个阵 $A$, 必存在唯一的非负整数 $r$, 使 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 聪明的数学家意识到, 此 $r$ 是重要的, 故专门为它起了一个名字, “秩”. 然后, 他们研究了秩, 发现: (a) 可以施适当的变换于阵 $A$, 得到一个新阵 $K$, 且 $A$ 与 $K$ 有相同的秩; (b) “适当的变换” 跟计算方阵的行列式比, 有较少的计算量 (具体地, 加、减、乘、除的次数); (c) $K$ 的秩不难计算, 甚至可被直接看出. 于是, 联合这个发现与我们的理论, 就是一个更好的线性方程组的理论. (“适当的变换” 也是解线性方程组的好的方法.) 若您想知道更多, 您可以见线性代数教材.

我就说这么多.