28. 由 m 个 n 元 ⩽1 次方程作成的方程组 (4)

本节是选学内容. 不学本节不影响理解任何必学内容 (也就是, 未被声明为选学内容的节).

前面, 我们得到了线性方程组的解的定性的理论:

定理 28.1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 作一个 $m\times (n+1)$ 阵 $G$, 其中$$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,1},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$, 得到尺寸较大的阵 $G$.) 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(1) 若 $G$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $AX=B$ 有解. 进一步地, 若 $r<n$, 则 $AX=B$ 的解不唯一; 若 $r=n$, 则 $AX=B$ 的解唯一.

(2) 若 $G$ 有一个行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $AX=B$ 无解.

本节, 我们作定量的讨论: 当 $AX=B$ 有解时, 我们试作出公式, 以表示它的解.

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是一个 $m\times 1$ 阵. 设 $AX=B$ 有解.

若 $A=0$, 则因 $AX=B$ 有解, 必有 $B=0$. 此时, 显然, 每一个 $n\times 1$ 阵都是解. 下设 $A\ne 0$. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵$$\begin{array}{r}T=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{j_1,\dots ,j_r}\right)\end{array}$$(其中 $1⩽i_1<\cdots <i_r⩽m$, 且 $1⩽j_1<\cdots <j_r⩽n$), 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 为方便, 我们作一个 $r\times n$ 阵$$\begin{array}{r}U=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{1,\dots ,n}\right),\end{array}$$与一个 $r\times 1$ 阵$$\begin{array}{r}V=B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{1}\right).\end{array}$$注意, $U$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵 $T$.

我们回想上节的讨论. 为解方程组 $AX=B$, 即$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}[A{]}_{1,1}{x}_1+[A{]}_{1,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{1,n}{x}_n=[B{]}_{1,1},\\ [A{]}_{2,1}{x}_1+[A{]}_{2,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{2,n}{x}_n=[B{]}_{2,1},\\ \dots ,\\ [A{]}_{m,1}{x}_1+[A{]}_{m,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{m,n}{x}_n=[B{]}_{m,1},\end{array}\end{array}$$我们考虑了由这 $m$ 个方程的第 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_r$ 个方程作成的方程组$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}[A{]}_{i_1,1}{x}_1+[A{]}_{i_1,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{i_1,n}{x}_n=[B{]}_{i_1,1},\\ [A{]}_{i_2,1}{x}_1+[A{]}_{i_2,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{i_2,n}{x}_n=[B{]}_{i_2,1},\\ \dots ,\\ [A{]}_{i_r,1}{x}_1+[A{]}_{i_r,2}{x}_2+\cdots +[A{]}_{i_r,n}{x}_n=[B{]}_{i_r,1},\end{array}\end{array}$$即 $UX=V$. 当时, 我们已经证明了, $UX=V$ 的解都是 $AX=B$ 的解. 反过来, $AX=B$ 的解显然都是 $UX=V$ 的解, 因为后者的方程全部都是来自前者的. 这么看来, $AX=B$ 跟 $UX=V$ 有相同的解. 所以, 研究 $AX=B$ 的解的公式, 相当于研究 $UX=V$ 的解的公式.

若 $r=n$, 则我们直接用 Cramer 公式, 即可写出 $UX=V$ 的唯一的解 (注意, 此时 $U$ 是一个 $r\times r$ 阵)$$\begin{array}{r}X=(\det (U){)}^{-1}\mathrm{adj}(U)V.\end{array}$$我们也可较直接地表示此解. 设 $U\{k,V\}$ 是以 $r\times 1$ 阵 $V$ 代 $U$ 的列 $k$ 后得到的阵. 则$$\begin{array}{r}{x}_k=\frac{\det (U\{k,V\})}{\det (U)}.\end{array}$$

下设 $r<n$. 我们试写出方程组 $UX=V$ 的所有的解.

定理 28.2. 设 $V$ 是一个 $r\times 1$ 阵. 设 $U$ 是一个 $r\times n$ 阵, 其中 $r<n$, 且 $U$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵$$\begin{array}{r}T=U\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,\dots ,r}{j_1,\dots ,j_r}\right),\end{array}$$其中 $1⩽j_1<\cdots <j_r⩽n$. 从 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 去除 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$ 后, 还剩 $n-r$ 个数. 我们从小到大地叫这 $n-r$ 个数为 $j_{r+1}$, $\dots$, $j_n$. 再设 $U$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $u_1$, $u_2$, $\dots$, $u_n$.

(1) 设 $c_{j_{r+1}}$, $\dots$, $c_{j_n}$ 是 $n-r$ 个常数. 作 $n\times 1$ 阵 $C$, 其中$$\begin{array}{r}[C{]}_{j_k,1}=\{\begin{array}{ll}\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)},& k⩽r;\\ c_{j_k},& k>r.\end{array}\end{array}$$其中 $T\{k,Y\}$ 是以 $r\times 1$ 阵 $Y$ 代 $T$ 的列 $k$ 后得到的阵. 则 $UC=V$.

(2) 若 $n\times 1$ 阵 $D$ 适合 $UD=V$, 则存在 $n-r$ 个数 $c_{j_{r+1}}$, $\dots$, $c_{j_n}$, 使$$\begin{array}{r}[D{]}_{j_k,1}=\{\begin{array}{ll}\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)},& k⩽r;\\ c_{j_k},& k>r.\end{array}\end{array}$$或者, $UX=V$ 的每一个解都可被 (1) 中的公式表示.

证. (1) 我们可改写方程组 $UX=V$ 为$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^r[U{]}_{p,j_{\ell }}{x}_{j_{\ell }}=[V{]}_{p,1}-\sum _{r<\ell ⩽n}[U{]}_{p,j_{\ell }}{x}_{j_{\ell }},\end{array}$$其中 $p=1$, $2$, $\dots$, $r$, 下同. 考虑由 $r$ 个 $r$ 元 $⩽1$ 次方程作成的方程组$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^r[U{]}_{p,j_{\ell }}{y}_{\ell }=[V{]}_{p,1}-\sum _{r<\ell ⩽n}[U{]}_{p,j_{\ell }}{c}_{j_{\ell }}.\end{array}$$利用阵等式, 我们可写$$\begin{array}{r}T\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_r\end{array}\right]=V-\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}{u}_{j_{\ell }}.\end{array}$$因为 $\det (T)\ne 0$, 故, 由 Cramer 公式, 存在 $r$ 个数 $c_{j_1}$, $c_{j_2}$, $\dots$, $c_{j_r}$, 使$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^r[U{]}_{p,j_{\ell }}{c}_{j_{\ell }}=[V{]}_{p,1}-\sum _{r<\ell ⩽n}[U{]}_{p,j_{\ell }}{c}_{j_{\ell }},\end{array}$$其中$$\begin{array}{rl}{c}_{j_k}=& (\det (T){)}^{-1}\det \left(T\left\{k,V-\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}{u}_{j_{\ell }}\right\}\right)\\ =& (\det (T){)}^{-1}\left(\det (T\{k,V\})-\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})\right)\\ =& \frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)}.\end{array}$$从而$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^n[U{]}_{p,j_{\ell }}{c}_{j_{\ell }}=[V{]}_{p,1}.\end{array}$$注意, $[C{]}_{j_k,1}=c_{j_k}$. 所以, $UC=V$.

(2) 设 $D$ 适合 $UD=V$. 则$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^n[U{]}_{p,j_{\ell }}[D{]}_{j_{\ell },1}=[V{]}_{p,1}.\end{array}$$从而$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^r[U{]}_{p,j_{\ell }}[D{]}_{j_{\ell },1}=[V{]}_{p,1}-\sum _{r<\ell ⩽n}[U{]}_{p,j_{\ell }}[D{]}_{j_{\ell },1}.\end{array}$$

取 $c_{j_{\ell }}=[D{]}_{j_{\ell },1}$, $\ell >r$. 考虑方程组$$\begin{array}{r}\sum _{\ell =1}^r[U{]}_{p,j_{\ell }}{y}_{\ell }=[V{]}_{p,1}-\sum _{r<\ell ⩽n}[U{]}_{p,j_{\ell }}{c}_{j_{\ell }}.\end{array}$$由 (1), 我们知道$$\begin{array}{r}{y}_k=\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)}\end{array}$$(其中 $k=1$, $2$, $\dots$, $r$, 下同) 是一个解; 另一方面, $y_k=[D{]}_{j_k,1}$ 也是一个解. 因为 $\det (T)\ne 0$, 故, 由 Cramer 公式, 这二个解应是相同的, 即$$[D{]}_{j_k,1}=\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)}.$$证毕.

注意, 当 $r=n$ 时, 不可能有数 $\ell$ 适合 $r<\ell ⩽n$. 既然没有数被加, 那么, 形如$$\begin{array}{r}\sum _{r<\ell ⩽n}f(\ell )\end{array}$$的式是 $0$. 用这个约定, 我们可统一地写在 $r=n$ 与 $r<n$ 这二个情形下解的公式.

定理 28.3. 设 $V$ 是一个 $r\times 1$ 阵. 设 $U$ 是一个 $r\times n$ 阵, 其中 $r⩽n$, 且 $U$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵$$\begin{array}{r}T=U\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,\dots ,r}{j_1,\dots ,j_r}\right),\end{array}$$其中 $1⩽j_1<\cdots <j_r⩽n$. 从 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 去除 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$ 后, 还剩 $n-r$ 个数. 我们从小到大地叫这 $n-r$ 个数为 $j_{r+1}$, $\dots$, $j_n$. 再设 $U$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $u_1$, $u_2$, $\dots$, $u_n$. 那么, $UX=V$ 的解恰为$$\begin{array}{r}{x}_{j_k}=\{\begin{array}{ll}\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)},& k⩽r;\\ c_{j_k},& k>r,\end{array}\end{array}$$其中 $c_{j_{r+1}}$, $\dots$, $c_{j_n}$ 是任何的 $n-r$ 个数.

最后, 我们总结这几节的关于线性方程组的主要结果.

定理 28.4. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 作一个 $m\times (n+1)$ 阵 $G$, 其中$$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,1},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$, 得到尺寸较大的阵 $G$.) 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵; 设 $G$ 有一个行列式非零的 $s$ 级子阵, 但 $G$ 没有行列式非零的 $s+1$ 级子阵. 设 $X$ 是未知的 $n\times 1$ 阵.

(1) 因为 $A$ 是 $G$ 的子阵, 故 $A$ 的子阵也是 $G$ 的子阵. 则 $s=r$ 或 $s>r$.

(2) 若 $s>r$, 则 $AX=B$ 无解; 也就是, 若 $AX=B$ 有解, 必 $s=r$.

(3) 若 $s=r$, 则 $AX=B$ 有解; 也就是, 若 $AX=B$ 无解, 必 $s>r$.

(4) 设 $s=r$. 则 $AX=B$ 有解. 若 $r=n$, 则 $AX=B$ 的解唯一; 若 $r<n$, 则 $AX=B$ 的解不唯一.

(5) 设 $A\ne 0$. 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵$$\begin{array}{r}T=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{j_1,\dots ,j_r}\right)\end{array}$$(其中 $1⩽i_1<\cdots <i_r⩽m$, 且 $1⩽j_1<\cdots <j_r⩽n$), 但 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 则 $s=r$. 则 $AX=B$ 有解.

记 $r\times n$ 阵$$\begin{array}{r}U=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{1,\dots ,n}\right).\end{array}$$于是, 可视 $T$ 为 $U$ 的一个行列式非零的 $r$ 级子阵. 再记 $r\times 1$ 阵$$\begin{array}{r}V=B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_r}{1}\right).\end{array}$$则 $UX=V$ 有解, $AX=B$ 的解是 $UX=V$ 的解, 且 $UX=V$ 的解是 $AX=B$ 的解.

从 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 去除 $j_1$, $j_2$, $\dots$, $j_r$ 后, 还剩 $n-r$ 个数. 我们从小到大地叫这 $n-r$ 个数为 $j_{r+1}$, $\dots$, $j_n$. 再设 $U$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $u_1$, $u_2$, $\dots$, $u_n$. 那么, $UX=V$ 的解 (即 $AX=B$ 的解) 恰为$$\begin{array}{r}{x}_{j_k}=\{\begin{array}{ll}\frac{\det (T\{k,V\})}{\det (T)}+\sum _{r<\ell ⩽n}{c}_{j_{\ell }}\frac{-\det (T\{k,u_{j_{\ell }}\})}{\det (T)},& k⩽r;\\ c_{j_k},& k>r,\end{array}\end{array}$$其中 $c_{j_{r+1}}$, $\dots$, $c_{j_n}$ 是任何的 $n-r$ 个数, $T\{k,Y\}$ 是以 $r\times 1$ 阵 $Y$ 代 $T$ 的列 $k$ 后得到的阵, 且 $x_i=[X{]}_{i,1}$, $i=1$, $2$, $\dots$, $n$.