54. 绝对值的性质 (1)

设 $a$ 是实数. 则 $a$ 的绝对值$$\begin{array}{r}|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a⩾0;\\ -a,& a<0.\end{array}\end{array}$$

如下命题是对的.

(1) $|0|=0$; 若实数 $a$ 适合 $|a|=0$, 则 $a=0$.

因为 $0⩾0$, 故 $|0|=0$.

若 $a>0$, 则 $|a|=a>0$; 若 $a<0$, 则 $|a|=-a>0$. 于是, 若 $|a|=0$, 则 $a$ 不能是正数, 且不能是负数, 故 $a=0$.

(2) 对任何实数 $a$, 必 $|a|⩾0$.

我们已知, 若 $a>0$ 或 $a<0$, 则 $|a|>0$. 另外, $|0|=0$.

(3) 对任何实数 $a$, 必 $|a|⩾a⩾-|a|$.

若 $a⩾0$, 则 $|a|=a$. 故 $|a|=a⩾-a=-|a|$; 若 $a<0$, 则 $|a|=-a$. 故 $|a|=-a>a=-|a|$.

(4) 设 $a$, $b$ 是非负实数. 若 $a⩾b$, 则 $a^2⩾b^2$; 反过来, 若 $a^2⩾b^2$, 则 $a⩾b$.

若 $a>b⩾0$, 则 $aa>bb$, 故 $a^2>b^2$; 若 $a=b⩾0$, 则 $aa=bb$, 故 $a^2=b^2$; 若 $0⩽a<b$, 则 $aa<bb$, 故 $a^2<b^2$. 所以, 若 $a⩾b$, 则 $a^2⩾b^2$; 反过来, 若 $a^2⩾b^2$, 则因 $a<b$ 无法推出 $a^2⩾b^2$, 故必 $a⩾b$.

(5) 对任何实数 $a$, 必 $|a{|}^2=a^2$. 所以, 对任何实数 $a$, 必 $\sqrt{a^2}=|a|$.

若 $a⩾0$, 则 $|a{|}^2=a^2$; 若 $a<0$, 则 $|a{|}^2=(-a{)}^2=a^2$. 因为非负实数 $|a|$ 适合 $|a{|}^2=a^2$, 故由 $\surd$ 的定义, $\sqrt{a^2}=|a|$.

(6) 对任何实数 $a$, $b$, 必 $|ab|=|a||b|$.

若 $a⩾0$, 且 $b⩾0$, 则 $ab⩾0$, 故 $|ab|=ab=|a||b|$; 若 $a⩾0$, 且 $b<0$, 则 $ab⩽0$, 故 $|ab|=-ab=a(-b)=|a||b|$; 若 $a<0$, 且 $b⩾0$, 则 $ab⩽0$, 故 $|ab|=-ab=(-a)b=|a||b|$; 若 $a<0$, 且 $b<0$, 则 $ab⩾0$, 故 $|ab|=ab=(-a)(-b)=|a||b|$.

(7) 对任何实数 $a$, $b$, 必 $|a+b|⩽|a|+|b|$.

若 $a+b⩾0$, 则 $|a+b|=a+b⩽|a|+|b|$; 若 $a+b<0$, 则 $|a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)⩽|-a|+|-b|=|a|+|b|$.

类似地, 若 $a_1$, $\dots$, $a_n$ 是实数, 则$$\begin{array}{r}|a_1+\cdots +a_n|⩽|a_1|+\cdots +|a_n|.\end{array}$$可用数学归纳法证它.

(8) 对任何实数 $a$, $b$, 必 $|a-b|⩾|a|-|b|$.

因为 $|a-b|+|b|⩾|(a-b)+b|=|a|$.

这些事实会是有用的.