55. 绝对值的性质 (2)

设 $z=a+\mathrm{i}b$ 是复数 (其中, $\mathrm{i}$ 是虚数单位, $a$, $b$ 是实数, 下同). 则 $z$ 的绝对值$$\begin{array}{r}|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\end{array}$$

如下命题是对的.

(1) $|0|=0$; 若复数 $z$ 适合 $|z|=0$, 则 $z=0$.

首先, $|0|=|0+\mathrm{i}0|=\sqrt{0^2+0^2}=0$.

若 $z=a+\mathrm{i}b$ 适合 $|z|=0$, 则 $\sqrt{a^2+b^2}=0$. 则 $a^2+b^2=0$. 则 $a=b=0$. 则 $z=0$.

(2) 对任何复数 $z$, 必 $|z|⩾0$.

由 $\surd$ 的定义, 这是显然的.

(3) 对任何复数 $z$, $w$, 必 $|zw|=|z||w|$.

设 $z=a+\mathrm{i}b$, 且 $w=c+\mathrm{i}d$ ($c$, $d$ 是实数, 下同). 则$$\begin{array}{rl}|zw{|}^2=& |(ac-bd)+\mathrm{i}(ad+bc){|}^2\\ =& (ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2\\ =& a^2{c}^2+b^2{d}^2+a^2{d}^2+b^2{c}^2\\ =& (a^2+b^2)(c^2+d^2)\\ =& |z{|}^2|w{|}^2\\ =& (|z||w|{)}^2.\end{array}$$因为 $|zw|$ 与 $|z||w|$ 是非负实数, 故 $|zw|=|z||w|$.

注意, 对任何实数 $a$, $b$, $c$, $d$, 有$$\begin{array}{rl}(a^2+b^2)(c^2+d^2)=& (a^2+(-b{)}^2)(c^2+d^2)\\ =& (ac-(-b)d{)}^2+(ad+(-b)c{)}^2\\ ⩾& (ac+bd{)}^2.\end{array}$$

(4) 对任何复数 $z$, $w$, 必 $|z+w|⩽|z|+|w|$.

设 $z=a+\mathrm{i}b$, 且 $w=c+\mathrm{i}d$. 则$$\begin{array}{rl}|z+w{|}^2=& |(a+c)+\mathrm{i}(b+d){|}^2\\ =& (a+c{)}^2+(b+d{)}^2\\ =& a^2+b^2+c^2+d^2+2(ac+bd)\\ =& |z{|}^2+|w{|}^2+2(ac+bd)\\ ⩽& |z{|}^2+|w{|}^2+2|ac+bd|\\ =& |z{|}^2+|w{|}^2+2\sqrt{(ac+bd{)}^2}\\ ⩽& |z{|}^2+|w{|}^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\\ =& |z{|}^2+|w{|}^2+2\sqrt{(|z||w|{)}^2}\\ =& |z{|}^2+|w{|}^2+2|z||w|\\ =& (|z|+|w|{)}^2.\end{array}$$因为 $|z+w|$ 与 $|z|+|w|$ 是非负实数, 故 $|z+w|⩽|z|+|w|$.

类似地, 若 $z_1$, $\dots$, $z_n$ 是复数, 则$$\begin{array}{r}|z_1+\cdots +z_n|⩽|z_1|+\cdots +|z_n|.\end{array}$$可用数学归纳法证它.

(5) 对任何复数 $z$, $w$, 必 $|z-w|⩾|z|-|w|$.

因为 $|z-w|+|w|⩾|(z-w)+w|=|z|$.

这些事实会是有用的.