C.39. 行列式、倍加、倍乘

本节, 我们用倍加与倍乘研究行列式.

回想, 在第一章, 节 6, 我们定义了行列式. 定义是按列 $1$ 展开. 在第一章, 节 7, 我们证明了, 可按任何一列展开行列式. 在第一章, 节 13, 我们证明了行列式的关于列的多线性与交错性, 且证明了, $\det (I)=1$.

由关于列的多线性, 我们有, 对任何 $n$ 级阵 $X$,$$\begin{array}{r}\det (XM(n;q;s))=s\det (X)=\det (X)s.\end{array}$$注意, 特别地, $\det (M(n;q;s))=\det (I_{n}M(n;q;s))=\det (I_n)s=s$. 则$$\det (XM(n;q;s))=\det (X)\det (M(n;q;s)).$$(C.39.1)

设 $X$ 是 $n$ 级阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 设 $s$ 是数. 设 $Y$ 是这样的 $n$ 级阵: 若 $j\ne q$, 则 $Y$ 的列 $j$ 是 $X$ 的列 $j$, 且 $Y$ 的列 $q$ 是 $X$ 的列 $p$. 则 $Y$ 有相同的二列. 则 $\det (Y)=0$. 另一方面,$$\begin{array}{r}[XE(n;p,q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[X{]}_{i,j},& j\ne q;\\ 1[X{]}_{i,j}+s[Y{]}_{i,j},& j=q.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (XE(n;p,q;s))=1\det (X)+s\det (Y)=\det (X).\end{array}$$注意, 特别地, $\det (E(n;p,q;s))=\det (I_{n}E(n;p,q;s))=\det (I_n)=1$. 则$$\det (XE(n;p,q;s))=\det (X)\det (E(n;p,q;s)).$$(C.39.2)

式 (C.39.1) 与式 (C.39.2) 在本节会被反复地用.

回想, 我们有

定理 C.39.1. 设 $A$ 是一个 $m\times n$ 阵. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_u$, 与若干个形如 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })$ ($s^{\prime }$ 是一个数, $p^{\prime }$, $q^{\prime }$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$) 的阵 $F_1$, $F_2$, $\dots$, $F_u$, 与 $m\times n$ 阵 $D$, 使 $A=(F_1{F}_2\dots F_u)D(E_u\dots E_2{E}_1)$, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$.

特别地, 若 $A$ 是方阵, 则

定理 C.39.2. 设 $A$ 是一个 $n$ 级阵. 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $F_1$, $E_2$, $F_2$, $\dots$, $E_u$, $F_u$, 与若干个形如 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$ 的阵 $M_1$, $M_2$, $\dots$, $M_n$, 使$$\begin{array}{r}A=F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1.\end{array}$$

好的. 我们开始.

定理 C.39.3. 设 $A$, $B$ 是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\det (BA)=\det (B)\det (A).\end{array}$$

证. 我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}\det (X{C}_k)=\det (X)\det (C_k).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\det (BA)=& \det (B(C_1{C}_2\dots C_w))\\ =& \det (((((B{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& \det ((((B{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})\det (C_w)\\ =& \dots \\ =& \det (B)\det (C_1)\det (C_2)\dots \det (C_w)\\ =& \det (B)\det (C_1{C}_2)\dots \det (C_w)\\ =& \dots \\ =& \det (B)\det (C_1{C}_2\dots C_w)\\ =& \det (B)\det (A).\end{array}$$

证完.

定理 C.39.4. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) 对 $n$ 级阵 $A$, 加列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ ($q\ne p$), 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 则 $f(B)=f(A)$.

(2) 对 $n$ 级阵 $A$, 以数 $s$ 乘列 $q$, 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 则 $f(B)=f(A)m(s)$. 这里, 定义在数上的函数 $m$ 是保乘的: $m(1)=1$, 且对任何数 $s$, $t$, 有 $m(st)=m(s)m(t)$.

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)m(\det (A))$.

证. 用倍加, 我们可改写性质 (1) 为, 对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}f(XE(n;p,q;s))=f(X)=f(X)m(\det (E(n;p,q;s))).\end{array}$$用倍乘, 我们可改写性质 (2) 为, 对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}f(XM(n;q;s))=f(X)m(s)=f(X)m(\det (M(n;q;s))).\end{array}$$

我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}f(X{C}_k)=f(X)m(\det (C_k)).\end{array}$$注意, $A=IA$. 则$$\begin{array}{rl}f(A)=& f(IA)\\ =& f(I(C_1{C}_2\dots C_w))\\ =& f(((((I{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& f((((I{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})m(\det (C_w))\\ =& \dots \\ =& f(I)m(\det (C_1))m(\det (C_2))\dots m(\det (C_w))\\ =& f(I)m(\det (C_1)\det (C_2)\dots \det (C_w))\\ =& f(I)m(\det (C_1{C}_2)\dots \det (C_w))\\ =& \dots \\ =& f(I)m(\det (C_1{C}_2\dots C_w))\\ =& f(I)m(\det (A)).\end{array}$$

证完.

定理 C.39.5. 设定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f$ 适合:

(1) $f(AB)=f(A)f(B)$, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $B$.

(2) 设 $n$ 级阵 $D$ 适合, 若 $i\ne j$, 则 $[D{]}_{i,j}=0$. 则 $f(D)=m(\det (D))$. 这里, 定义在数上的函数 $m$ 是保乘的: $m(1)=1$, 且对任何数 $s$, $t$, 有 $m(st)=m(s)m(t)$.

那么, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=m(\det (A))$.

证. 注意, $f(M(n;q;s))=m(\det (M(n;q;s)))$, 且 $f(I)=m(\det (I))=1$.

设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 设 $s$ 是数. 我们证明, $$\begin{array}{r}f(E(n;p,q;s))=m(\det (E(n;p,q;s))).\end{array}$$设数 $t\ne 1$, 且 $t\ne 0$. 记 $U=E(n;p,q;s/(1-t))$, $V=E(n;p,q;-s/(1-t))$, $G=M(n;p;t)$, 且 $H=M(n;p;1/t)$. 注意, $[UV{]}_{p,q}=[U{]}_{p,q}+[U{]}_{q,q}(-s/(1-t))=0$, 且 $[UV{]}_{i,j}=[U{]}_{i,j}=[I_n{]}_{i,j}$ (其他的情形). 故 $UV=I_n$. 注意, $[GH{]}_{p,p}=[G{]}_{p,p}(1/t)=1$, 且 $[GH{]}_{i,j}=[G{]}_{i,j}=[I_n{]}_{i,j}$ (其他的情形). 故 $GH=I_n$. 我们计算 $UGVH$. 首先, $[UG{]}_{p,p}=[U{]}_{p,p}t=t$, $[UG{]}_{p,q}=[U{]}_{p,q}=s/(1-t)$, 且 $[UG{]}_{i,j}=[U{]}_{i,j}$ (其他的情形). 则 $[UGV{]}_{p,p}=[UG{]}_{p,p}=t$, $[UGV{]}_{p,q}=[UG{]}_{p,q}+[UG{]}_{p,p}(-s/(1-t))=s/(1-t)-st/(1-t)=s$, 且 $[UGV{]}_{i,j}=[UG{]}_{i,j}=[U{]}_{i,j}$ (其他的情形). 则 $[UGVH{]}_{p,p}=[UGV{]}_{p,p}(1/t)=1$, $[UGVH{]}_{p,q}=[UGV{]}_{p,q}=s$, 且 $[UGVH{]}_{i,j}=[UGV{]}_{i,j}=[U{]}_{i,j}$ (其他的情形). 则 $UGVH=E(n;p,q;s)$. 故$$\begin{array}{rl}f(E(n;p,q;s))=& f(UGVH)\\ =& f(UG)f(VH)\\ =& f(U)f(G)f(V)f(H)\\ =& f(U)f(V)f(G)f(H)\\ =& f(UV)f(GH)\\ =& f(I)f(I)\\ =& 1\\ =& m(\det (E(n;p,q;s))).\end{array}$$

我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}f(X{C}_k)=f(X)f(C_k)=f(X)m(\det (C_k)).\end{array}$$注意, $A=IA$. 则$$\begin{array}{rl}f(A)=& f(IA)\\ =& f(I(C_1{C}_2\dots C_w))\\ =& f(((((I{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& f((((I{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})m(\det (C_w))\\ =& \dots \\ =& f(I)m(\det (C_1))m(\det (C_2))\dots m(\det (C_w))\\ =& f(I)m(\det (C_1)\det (C_2)\dots \det (C_w))\\ =& f(I)m(\det (C_1{C}_2)\dots \det (C_w))\\ =& \dots \\ =& f(I)m(\det (C_1{C}_2\dots C_w))\\ =& f(I)m(\det (A))\\ =& m(\det (A)).\end{array}$$

证完.

注意, 前面的三个证明几乎是一样的: 我们写 $A$ 为一些阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$ 的积, 分别地 “提出” $\det (C_w)$, $\dots$, $\det (C_2)$, $\det (C_1)$, 且再 “重组” 它们为 $\det (C_1{C}_2\dots C_w)$, 即 $\det (A)$.

定理 C.39.6. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 则 $\det (A^{\mathrm{T}})=\det (A)$.

证. 我们知道, 存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ 的阵 $E_1$, $F_1$, $E_2$, $F_2$, $\dots$, $E_u$, $F_u$, 与若干个形如 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$ 的阵 $M_1$, $M_2$, $\dots$, $M_n$, 使$$\begin{array}{rl}A=& F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1\\ =& I{F}_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1.\end{array}$$则 (注意, $M(n;q;s)$ 的转置是 $M(n;q;s)$) $$\begin{array}{rl}{A}^{\mathrm{T}}=& (F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1{)}^{\mathrm{T}}\\ =& E_1^{\mathrm{T}}{E}_2^{\mathrm{T}}\dots E_u^{\mathrm{T}}{M}_n^{\mathrm{T}}\dots M_2^{\mathrm{T}}{M}_1^{\mathrm{T}}{F}_u^{\mathrm{T}}\dots F_2^{\mathrm{T}}{F}_1^{\mathrm{T}}\\ =& I{E}_1^{\mathrm{T}}{E}_2^{\mathrm{T}}\dots E_u^{\mathrm{T}}{M}_n\dots M_2{M}_1{F}_u^{\mathrm{T}}\dots F_2^{\mathrm{T}}{F}_1^{\mathrm{T}}.\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& \det (A)\\ =& \det (I)\cdot \det (F_1)\det (F_2)\dots \det (F_u)\cdot \det (M_1)\det (M_2)\dots \det (M_n)\\ & \cdot \det (E_u)\dots \det (E_2)\det (E_1)\\ =& \det (I)\det (M_1)\det (M_2)\dots \det (M_n).\end{array}$$注意, 每个 $E_k^{\mathrm{T}}$ 或每个 $F_k^{\mathrm{T}}$ 也形如 $E(n;p,q;s)$ (具体地, $E(n;p,q;s)$ 的转置是 $E(n;q,p;s)$). 则$$\begin{array}{rl}& \det (A^{\mathrm{T}})\\ =& \det (I)\cdot \det (E_1^{\mathrm{T}})\det (E_2^{\mathrm{T}})\dots \det (E_u^{\mathrm{T}})\cdot \det (M_n)\dots \det (M_2)\det (M_1)\\ & \cdot \det (F_u^{\mathrm{T}})\dots \det (F_2^{\mathrm{T}})\det (F_1^{\mathrm{T}})\\ =& \det (I)\det (M_n)\dots \det (M_2)\det (M_1)\\ =& \det (I)\det (M_1)\det (M_2)\dots \det (M_n)\\ =& \det (A).\end{array}$$

证完.

定理 C.39.7. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且互不相同. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 则 $\det (B)=-\det (A)$.

证. 我们知道, 存在 $n$ 级阵 $E_1=E(n;q,p;1)$, $E_2=E(n;p,q;-1)$, $E_3=E(n;q,p;1)$, 与 $M=M(n;q;-1)$, 使 $B=A{E}_1{E}_2{E}_{3}M$. 注意, $\det (M)=-1$. 则$$\begin{array}{rl}\det (B)=& \det (A{E}_1{E}_2{E}_{3}M)\\ =& -\det (A{E}_1{E}_2{E}_3)\\ =& -\det (A).\end{array}$$

证完.