C.40. 古伴、倍加、倍乘

本节, 我们用倍加与倍乘研究古伴.

回想, 在 “古伴的性质 (1)” 与 “古伴的性质 (3)”, 我们证明了, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $B$, 与任何数 $c$,$$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(A^{\mathrm{T}})& =(\mathrm{adj}(A){)}^{\mathrm{T}},\\ \mathrm{adj}(cA)& =c^{n-1}\mathrm{adj}(A),\\ \det (\mathrm{adj}(A))& =(\det (A){)}^{n-1},\\ \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))& =(\det (A){)}^{n-2}A,\\ \mathrm{adj}(BA)& =\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B).\end{array}$$前二个式的证明是简单的, 但后三个式的证明是难的. 证明式 3 与式 4 时, 我们要讨论 $\det (A)\ne 0$ 时的与 $\det (A)=0$ 时的情形; 证明式 5 时, 我们用了 Binet–Cauchy 公式, 因为, 虽然我们在 $\det (BA)\ne 0$ 时证明了式 5, 我们未能在 $\det (BA)=0$ 时, 用别的方法证明它.

在上节, 当证明一些跟行列式有关的定理时, 我们证明了式 (C.39.1) 与式 (C.39.2), 并反复地用它们. 类似地, 若我们用倍加与倍乘研究古伴, 我们也应先证明类似的关系.

定理 C.40.1. 设 $D$ 是 $n$ 级阵, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 则当 $i\ne j$ 时, $[\mathrm{adj}(D){]}_{i,j}=0$.

证. 我证明, 若 $n$ 级阵 $U$ 适合, 当 $i>j$ 时, $[U{]}_{i,j}=0$, 则当 $i>j$ 时, $[\mathrm{adj}(U){]}_{i,j}=0$. 那么, 用转置, 或类似地, 您能证明, 若 $n$ 级阵 $L$ 适合, 当 $i<j$ 时, $[L{]}_{i,j}=0$, 则当 $i<j$ 时, $[\mathrm{adj}(L){]}_{i,j}=0$. 则由它们, 待证的事是对的, 因为 $i\ne j$ 相当于 $i>j$ 或 $i<j$.

设 $n$ 级阵 $U$ 适合, 当 $i>j$ 时, $[U{]}_{i,j}=0$. 注意, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(U){]}_{i,j}=(-1{)}^{j+i}\det (U(j|i)).\end{array}$$设 $1⩽s<t⩽n$. 记$$\begin{array}{r}V=U(s|t)=U(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,\dots ,i_{n-1}}{j_1,\dots ,j_{n-1}}),\end{array}$$其中, $i_1<\cdots <i_{n-1}$, 且 $j_1<\cdots <j_{n-1}$. 注意, $i_1$, $\dots$, $i_{n-1}$ 比 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 少 $s$, 且 $j_1$, $\dots$, $j_{n-1}$ 比 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 少 $t$. 我们说明, $\det (V)=0$.

我们说, $i_k⩾j_k$. 其实, 具体地, 对 $k=1$, $\dots$, $n-1$, $$\begin{array}{r}{i}_k=\{\begin{array}{ll}k,& k<s;\\ k+1,& k⩾s,\end{array}\end{array}$$且$$\begin{array}{r}{j}_k=\{\begin{array}{ll}k,& k<t;\\ k+1,& k⩾t,\end{array}\end{array}$$既然 $s<t$, 则对小于 $n$ 的正整数 $k$, $k$ 一定适合如下三条件的一个: (i) $k<s$; (ii) $s⩽k<t$; (iii) $t⩽k$. 对 (i), $i_k=k=j_k$; 对 (ii), $i_k=k+1=j_k+1>j_k$; 对 (iii), $i_k=k+1=j_k$. 于是, 若 $u>v$, 则 $i_u⩾j_u>j_v$. 则 $[V{]}_{u,v}=[U{]}_{i_u,j_v}=0$. 则 $\det (V)=[V{]}_{1,1}[V{]}_{2,2}\dots [V{]}_{n-1,n-1}$. 注意, $[V{]}_{s,s}=[U{]}_{i_s,j_s}=[U{]}_{s+1,s}=0$. 则 $\det (V)=0$. 则 $[\mathrm{adj}(U){]}_{t,s}=(-1{)}^{s+t}\det (U(s|t))=0$, 若 $t>s$.

证完.

定理 C.40.2. 设 $D$ 是 $n$ 级阵, 且当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 则$$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(D){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\det (D(i|i))=\prod _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i\end{array}}[D{]}_{\ell ,\ell },& i=j;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

证. 我们知道, 当 $i\ne j$ 时, $[\mathrm{adj}(D){]}_{i,j}=0$. 当 $i=j$ 时, $$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(D){]}_{i,j}=& (-1{)}^{i+i}\det (D(i|i))\\ =& \det (D(i|i))\\ =& [D(i|i){]}_{1,1}[D(i|i){]}_{2,2}\dots [D(i|i){]}_{n-1,n-1}\\ =& \prod _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i\end{array}}[D{]}_{\ell ,\ell }.\end{array}$$

证完.

定理 C.40.3. 设 $n$ 是正整数. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 则$$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}s,& i=j\ne q;\\ 1,& i=j=q;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (\mathrm{adj}(M(n;q;s)))=(\det (M(n;q;s)){)}^{n-1}.\end{array}$$进一步地, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(M(n;q;s))){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{s}^{n-2},& i=j\ne q;\\ s^{n-1},& i=j=q;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(M(n;q;s)))=(\det (M(n;q;s)){)}^{n-2}M(n;q;s).\end{array}$$

证. 回想, $M(n;q;s)$ 是 $n$ 级阵, 且$$\begin{array}{r}[M(n;q;s){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\ne q;\\ s,& i=j=q;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$注意, $$\begin{array}{r}\det (M(n;q;s))=1^{n-1}s=s.\end{array}$$

由前面的讨论, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{1}^{n-2}s,& i=j\ne q;\\ 1^{n-1},& i=j=q;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (\mathrm{adj}(M(n;q;s)))=s^{n-1}1=s^{n-1}=(\det (M(n;q;s)){)}^{n-1}.\end{array}$$

进一步地, 由前面的讨论, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(M(n;q;s))){]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}{s}^{n-2}1,& i=j\ne q;\\ s^{n-1},& i=j=q;\\ 0,& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(M(n;q;s)))=& s^{n-2}M(n;q;s)\\ =& (\det (M(n;q;s)){)}^{n-2}M(n;q;s).\end{array}$$

证完.

定理 C.40.4. 设 $n$ 是正整数. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(AM(n;q;s))=\mathrm{adj}(M(n;q;s))\mathrm{adj}(A).\end{array}$$

证. 注意, 以数 $s$ 乘 $A$ 的列 $q$, 且不改变其他的列, 我们得阵 $AM(n;q;s)$.

当 $i\ne q$ 时, $(AM(n;q;s))(j|i)$ 的列 $q-\rho (q,i)$ 是 $A(j|i)$ 的列 $q-\rho (q,i)$ 的 $s$ 倍, 且 $(AM(n;q;s))(j|i)$ 与 $A(j|i)$ 的其他的列相同; 这里, 回想, 对任何整数 $i$, $j$, $$\begin{array}{r}\rho (i,j)=\{\begin{array}{ll}0,& i<j;\\ 1,& i⩾j.\end{array}\end{array}$$则 $\det ((AM(n;q;s))(j|i))=s\det (A(j|i))$. 则, 当 $i\ne q$ 时, $$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(AM(n;q;s)){]}_{i,j}=& (-1{)}^{j+i}\det ((AM(n;q;s))(j|i))\\ =& (-1{)}^{j+i}s\det (A(j|i))\\ =& s[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$当 $i=q$ 时, $(AM(n;q;s))(j|i)=A(j|i)$. 则$$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(AM(n;q;s)){]}_{i,j}=& (-1{)}^{j+i}\det ((AM(n;q;s))(j|i))\\ =& (-1{)}^{j+i}\det (A(j|i))\\ =& [\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$另一方面, $$\begin{array}{rl}& [\mathrm{adj}(M(n;q;s))\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& \sum _{1⩽k⩽n}[\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,k}[\mathrm{adj}(A){]}_{k,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ k\ne i\end{array}}[\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,k}[\mathrm{adj}(A){]}_{k,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ k\ne i\end{array}}[\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,k}[\mathrm{adj}(A){]}_{k,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ k\ne i\end{array}}0[\mathrm{adj}(A){]}_{k,j}\\ =& [\mathrm{adj}(M(n;q;s)){]}_{i,i}[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$

证完.

定理 C.40.5. 设 $n$ 是正整数. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $s$ 是数. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))=E(n;p,q;-s).\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (\mathrm{adj}(E(n;p,q;s)))=(\det (E(n;p,q;s)){)}^{n-1}.\end{array}$$进一步地, $$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(E(n;p,q;s)))=(\det (E(n;p,q;s)){)}^{n-2}E(n;p,q;s).\end{array}$$

证. 回想, $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)=I_n$, 且 $\det (E(n;p,q;s))=1$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))=& \mathrm{adj}(E(n;p,q;s))I_n\\ =& \mathrm{adj}(E(n;p,q;s))(E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s))\\ =& (\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))E(n;p,q;s))E(n;p,q;-s)\\ =& (\det (E(n;p,q;s))I_n)E(n;p,q;-s)\\ =& \det (E(n;p,q;s))I_{n}E(n;p,q;-s)\\ =& E(n;p,q;-s).\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det (\mathrm{adj}(E(n;p,q;s)))=\det (E(n;p,q;-s))=1=(\det (E(n;p,q;s)){)}^{n-1}.\end{array}$$进一步地, $$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(E(n;p,q;s)))=& \mathrm{adj}(E(n;p,q;-s))\\ =& E(n;p,q;-(-s))\\ =& (\det (E(n;p,q;s)){)}^{n-2}E(n;p,q;s).\end{array}$$

证完.

定理 C.40.6. 设 $n$ 是正整数. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $s$ 是数. 设 $A$ 是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(AE(n;p,q;s))=\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))\mathrm{adj}(A).\end{array}$$

证. 注意, 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$, 且不改变其他的列, 我们得阵 $AE(n;p,q;s)$.

当 $i=q$ 时, $(AE(n;p,q;s))(j|i)=A(j|i)$. 则$$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(AE(n;p,q;s)){]}_{i,j}=& (-1{)}^{j+i}\det ((AE(n;p,q;s))(j|i))\\ =& (-1{)}^{j+i}\det (A(j|i))\\ =& [\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$

当 $i\ne q$, 且 $i\ne p$ 时, $(AE(n;p,q;s))(j|i)$ 可被认为是对 $A(j|i)$ 作一次列的倍加得到的阵. 则 $\det ((AE(n;p,q;s))(j|i))=\det (A(j|i))$. 则, 类似地, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(AE(n;p,q;s)){]}_{i,j}=[\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$

设 $i=p$. 作 $n$ 级阵 $C$, 使 $[C{]}_{u,v}=[A{]}_{u,v}$ (若 $v\ne q$), 且 $[C{]}_{u,q}=[A{]}_{u,p}$. 则 $AE(n;p,q;s)$, $A$, $C$ 的列 $v$ 相等 (若 $v\ne q$), 且 $[AE(n;p,q;s){]}_{u,q}=[A{]}_{u,q}+s[A{]}_{u,p}=1[A{]}_{u,q}+s[C{]}_{u,q}$. 然后, 考虑 $(AE(n;p,q;s))(j|p)$, $A(j|p)$, $C(j|p)$. 记 $q^{\prime }=q-\rho (q,p)$. 则 $AE(n;p,q;s))(j|p)$ 的列 $q^{\prime }$ 仍是 $A(j|p)$ 的列 $q^{\prime }$ 的 $1$ 倍加 $C(j|p)$ 的列 $q^{\prime }$ 的 $s$ 倍, 且 $(AE(n;p,q;s))(j|p)$, $A(j|p)$, $C(j|p)$ 的其他的列相同. 由多线性, $$\begin{array}{r}\det ((AE(n;p,q;s))(j|p))=1\det (A(j|p))+s\det (C(j|p)).\end{array}$$

考虑 $n-1$ 级阵 $A(j|q)$. 注意, $A$ 的列 $v$ ($v\ne q$) 对应 $A(j|q)$ 的列 $v-\rho (v,q)$, 且 $C$ 的列 $w$ ($w\ne p$) 对应 $C(j|p)$ 的列 $w-\rho (w,p)$. 注意, $A$, $C$ 的列 $u$ 相等 (若 $u\ne q$). 于是, 若 $w\ne p$, 且 $w\ne q$, 则 $A$ 的列 $w$ 对应 $A(j|q)$ 的列 $w-\rho (w,q)$, 与 $C(j|p)$ 的列 $w-\rho (w,p)$. 因为 $A$ 的列 $p$ 等于 $C$ 的列 $q$, 则 $A$ 的列 $p$ 对应 $C(j|p)$ 的列 $q-\rho (q,p)$. 当然, $A$ 的列 $p$ 也对应 $A(j|q)$ 的列 $p-\rho (p,q)$. 所以, 不计次序, $C(j|p)$ 与 $A(j|q)$ 有相同的列. 注意, $C(j|p,q)=A(j|p,q)$. 记 $L$ 是从 $A$ 的列 $p$ 去除行 $j$ 得到的 $(n-1)\times 1$ 阵. 于是, 我们可如此得到 $A(j|q)$ 与 $C(j|p)$: 在 $A(j|p,q)$ 的某列的左侧或右侧加入 $L$, 得 $A(j|q)$; 在 $A(j|p,q)$ 的某列的左侧或右侧加入 $L$, 得 $C(j|p)$. 于是, 若我们对 $C(j|p)$ 作若干次相邻的列的交换, 我们可变它为 $A(j|q)$.

回想, $q^{\prime }=q-\rho (q,p)$. 我们再记 $p^{\prime }=p-\rho (p,q)$. 则 $L$ 在 $A(j|q)$ 的列 $p^{\prime }$ 的位置, 且 $L$ 在 $C(j|p)$ 的列 $q^{\prime }$ 的位置.

若 $p^{\prime }=q^{\prime }$, 则 $C(j|p)=A(j|q)$. 则 $\det (C(j|p))=(-1{)}^{q^{\prime }-p^{\prime }}\det (A(j|q))$.

若 $p^{\prime }<q^{\prime }$, 则我们记 $C_0=C(j|p)$. 那么, 对 $C_k$, 我们交换列 $q^{\prime }-k$ 与 $q^{\prime }-k-1$, 得阵 $C_{k+1}$ ($0⩽k<q^{\prime }-p^{\prime }$). 注意, 作 $q^{\prime }-p^{\prime }$ 次相邻的列的交换后, 我们得 $C_{q^{\prime }-p^{\prime }-1}=A(j|q)$. 则 $\det (C(j|p))=(-1{)}^{q^{\prime }-p^{\prime }}\det (A(j|q))$.

若 $p^{\prime }>q^{\prime }$, 则我们记 $C_0^{\prime }=C(j|p)$. 那么, 对 $C_k^{\prime }$, 我们交换列 $q^{\prime }+k$ 与 $q^{\prime }+k+1$, 得阵 $C_{k+1}^{\prime }$ ($0⩽k<p^{\prime }-q^{\prime }$). 注意, 作 $p^{\prime }-q^{\prime }$ 次相邻的列的交换后, 我们得 $C_{p^{\prime }-q^{\prime }+1}^{\prime }=A(j|q)$. 则 $\det (C(j|p))=(-1{)}^{p^{\prime }-q^{\prime }}\det (A(j|q))=(-1{)}^{q^{\prime }-p^{\prime }}\det (A(j|q))$.

综上, $$\begin{array}{rl}\det (C(j|p))=& (-1{)}^{q^{\prime }-p^{\prime }}\det (A(j|q))\\ =& (-1{)}^{q-\rho (q,p)-p+\rho (p,q)}\det (A(j|q))\\ =& (-1{)}^{q-\rho (q,p)-p-\rho (p,q)}\det (A(j|q))\\ =& (-1{)}^{q-p-1}\det (A(j|q)).\end{array}$$则$$\begin{array}{r}\det ((AE(n;p,q;s))(j|p))=\det (A(j|p))-s(-1{)}^{q-p}\det (A(j|q)).\end{array}$$于是, 当 $i=p$ 时, $$\begin{array}{rl}& [\mathrm{adj}(AE(n;p,q;s)){]}_{i,j}\\ =& (-1{)}^{j+p}\det ((AE(n;p,q;s))(j|p))\\ =& (-1{)}^{j+p}\det (A(j|p))-(-1{)}^{j+p}s(-1{)}^{q-p}\det (A(j|q))\\ =& (-1{)}^{j+p}\det (A(j|p))-s(-1{)}^{j+q}\det (A(j|q))\\ =& [\mathrm{adj}(A){]}_{p,j}-s[\mathrm{adj}(A){]}_{q,j}\\ =& [E(n;p,q;-s)\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& [\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$最后, 回想, 当 $i\ne p$ 时, $$\begin{array}{rl}[\mathrm{adj}(AE(n;p,q;s)){]}_{i,j}=& [\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& [E(n;p,q;-s)\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}\\ =& [\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))\mathrm{adj}(A){]}_{i,j}.\end{array}$$

证完.

好的. 我们现在可以统一地证明下面的定理.

定理 C.40.7. 设 $A$, $B$ 是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(BA)=\mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B).\end{array}$$

证. 我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(X{C}_k)=\mathrm{adj}(C_k)\mathrm{adj}(X).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(BA)=& \mathrm{adj}(B(C_1{C}_2\dots C_{w-1}{C}_w))\\ =& \mathrm{adj}(((((B{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}((((B{C}_1)C_2)\dots )C_{w-1})\\ =& \dots \\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2)\mathrm{adj}(C_1)\mathrm{adj}(B)\\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_1{C}_2)\mathrm{adj}(B)\\ =& \dots \\ =& \mathrm{adj}(C_1{C}_2\dots C_w)\mathrm{adj}(B)\\ =& \mathrm{adj}(A)\mathrm{adj}(B).\end{array}$$

证完.

定理 C.40.8. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 则 $\det (\mathrm{adj}(A))=(\det (A){)}^{n-1}$.

证. 我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(X{C}_k)=\mathrm{adj}(C_k)\mathrm{adj}(X),\end{array}$$且$$\begin{array}{r}\det (\mathrm{adj}(C_k))=(\det (C_k){)}^{n-1}.\end{array}$$注意, $$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(A)=& \mathrm{adj}(C_1{C}_2\dots C_{w-1}{C}_w)\\ =& \mathrm{adj}((((C_1{C}_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(((C_1{C}_2)\dots )C_{w-1})\\ =& \dots \\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2)\mathrm{adj}(C_1).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}& \det (\mathrm{adj}(A))\\ =& \det (\mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2)\mathrm{adj}(C_1))\\ =& \det (\mathrm{adj}(C_w))\det (\mathrm{adj}(C_{w-1}))\dots \det (\mathrm{adj}(C_2))\det (\mathrm{adj}(C_1))\\ =& (\det (C_w){)}^{n-1}(\det (C_{w-1}){)}^{n-1}\dots (\det (C_2){)}^{n-1}(\det (C_1){)}^{n-1}\\ =& (\det (C_1){)}^{n-1}(\det (C_2){)}^{n-1}\dots (\det (C_{w-1}){)}^{n-1}(\det (C_w){)}^{n-1}\\ =& (\det (C_1)\det (C_2)\dots \det (C_w){)}^{n-1}\\ =& (\det (C_1{C}_2)\dots \det (C_w){)}^{n-1}\\ =& (\det (C_1{C}_2\dots C_w){)}^{n-1}\\ =& (\det (A){)}^{n-1}.\end{array}$$

证完.

定理 C.40.9. 设 $A$ 是 $n$ 级阵 ($n⩾2$). 则 $\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))=(\det (A){)}^{n-2}A$.

证. 我们知道, 存在若干个 $n$ 级阵 $C_1$, $C_2$, $\dots$, $C_w$, 使 $A=C_1{C}_2\dots C_w$, 其中, 每个 $C_k$ 形如 $E(n;p,q;s)$ 或 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$. 则对任何 $n$ 级阵 $X$, $$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(X{C}_k)=\mathrm{adj}(C_k)\mathrm{adj}(X),\end{array}$$且$$\begin{array}{r}\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_k))=(\det (C_k){)}^{n-2}{C}_k.\end{array}$$注意, $$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(A)=& \mathrm{adj}(C_1{C}_2\dots C_{w-1}{C}_w)\\ =& \mathrm{adj}((((C_1{C}_2)\dots )C_{w-1})C_w)\\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(((C_1{C}_2)\dots )C_{w-1})\\ =& \dots \\ =& \mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2)\mathrm{adj}(C_1).\end{array}$$则 (注意, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $B$, $\mathrm{adj}(YX)=\mathrm{adj}(X)\mathrm{adj}(Y)$) $$\begin{array}{rl}& \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(A))\\ =& \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2)\mathrm{adj}(C_1))\\ =& \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_1))\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_w)\mathrm{adj}(C_{w-1})\dots \mathrm{adj}(C_2))\\ =& \dots \\ =& \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_1))\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_2))\dots \mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_{w-1}))\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(C_w))\\ =& ((\det (C_1){)}^{n-2}{C}_1)((\det (C_2){)}^{n-2}{C}_2)\dots ((\det (C_w){)}^{n-2}{C}_w)\\ =& ((\det (C_1){)}^{n-2}(\det (C_2){)}^{n-2}\dots (\det (C_w){)}^{n-2})(C_1{C}_2\dots C_w)\\ =& (\det (C_1)\det (C_2)\dots \det (C_w){)}^{n-2}(C_1{C}_2\dots C_w)\\ =& (\det (C_1{C}_2)\dots \det (C_w){)}^{n-2}(C_1{C}_2\dots C_w)\\ =& (\det (C_1{C}_2\dots C_w){)}^{n-2}(C_1{C}_2\dots C_w)\\ =& (\det (A){)}^{n-2}A.\end{array}$$

证完.