C.35. 辛阵的行列式为 1

定理 C.35.1. 设 $K_m$ 是形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right]\end{array}$$的 $2m$ 级反称阵. 设 $2m$ 级阵 $A$ 适合 $A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A=K_m$. (我们说, $A$ 是一个辛阵.) 则 $\det (A)=1$.

证. 不难算出, $\det (K_m)=1$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)=\det (K_m)=1.\end{array}$$由$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(K_m)=\mathrm{pf}(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)=\mathrm{pf}(K_m)\det (A),\end{array}$$知$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)=\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)\det (A),\end{array}$$即$$1=1\det (A)=\det (A).$$证完.