C.35. 辛阵的行列式为 1

现在, 我们可以证明, 辛阵的行列式为 $1$.

回想, 说一个 $2m$ 级阵 $A$ 是辛阵, 若 $A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A=K_m$, 其中 $K_m$ 是形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right]\end{array}$$的 $2m$ 级反称阵.

不难算出, $\det (K_m)=1$. 则 $\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)=\det (K_m)=1$. 由 $\mathrm{pf}(K_m)=\mathrm{pf}(A^{\mathrm{T}}{K}_{m}A)=\mathrm{pf}(K_m)\det (A)$, 知 $\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)=\mathrm{pf}(K_m)\mathrm{pf}(K_m)\det (A)$, 即 $1=1\det (A)=\det (A)$.

当然, 还有别的证明辛阵的行列式为 $1$ 的方法, 但我就不在这儿说它们了.