75. Pfaffian 的性质 (续)

前面, 我们得到了 pfaffian 的多的性质. 以下三条是重要的:

定理 75.1. 设 $A$, $C$ 是二个 $n$ 级反称阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 设 $[A{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$; 设 $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$. 则 $\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)$.

定理 75.2. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ ($p\ne q$), 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 加 $B$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$, 且不改变其他的行, 得 $n$ 级阵 $C$. 则 $\mathrm{pf}(C)=\mathrm{pf}(A)$.

定理 75.3. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 则 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

本节, 我们证明 pfaffian 的一个新的重要的性质. 为此, 我们先改写第 2 条性质.

定理 75.4. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $s$ 是数. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}((E(n;p,q;s){)}^{\mathrm{T}}AE(n;p,q;s))=\mathrm{pf}(A)\det (E(n;p,q;s)).\end{array}$$

证. 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$, 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 加 $B$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$, 且不改变其他的行, 得 $n$ 级阵 $C$. 则 $\mathrm{pf}(C)=\mathrm{pf}(A)$.

注意, $C=(E(n;p,q;s){)}^{\mathrm{T}}AE(n;p,q;s)$, 故$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}((E(n;p,q;s){)}^{\mathrm{T}}AE(n;p,q;s))=\mathrm{pf}(A).\end{array}$$再注意, $\det (E(n;p,q;s))=1$, 故$$\mathrm{pf}((E(n;p,q;s){)}^{\mathrm{T}}AE(n;p,q;s))=\mathrm{pf}(A)\det (E(n;p,q;s)).$$证毕.

好的. 现在, 我们可以证明本节的主要结论了.

定理 75.5. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $P$ 是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(P^{\mathrm{T}}AP)=\mathrm{pf}(A)\det (P).\end{array}$$

证. 若 $\det (P)=0$, 则 $\det (P^{\mathrm{T}}AP)=\det (P^{\mathrm{T}}A)\det (P)=0$. 则 $P^{\mathrm{T}}AP$ 的 pfaffian 为 $0$. 所以, 若 $\det (P)=0$, 则命题是对的.

若 $\det (P)\ne 0$, 则存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ ($s$ 是一个数, $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_w$, 使 $M=P{E}_1{E}_2\dots E_w$ 适合$$\begin{array}{r}[M{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}\det (P),& i=j=1;\\ [I_n{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(P^{\mathrm{T}}AP)=& \mathrm{pf}(P^{\mathrm{T}}AP)1\\ =& \mathrm{pf}(P^{\mathrm{T}}AP)\det (E_1)\det (E_2)\dots \det (E_{w-1})\det (E_w)\\ =& \mathrm{pf}(E_1^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)E_1)\det (E_2)\dots \det (E_{w-1})\det (E_w)\\ =& \dots \\ =& \mathrm{pf}(E_{w-1}^{\mathrm{T}}\dots (E_2^{\mathrm{T}}(E_1^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)E_1)E_2)\dots E_{w-1})\det (E_w)\\ =& \mathrm{pf}(E_w^{\mathrm{T}}(E_{w-1}^{\mathrm{T}}\dots (E_2^{\mathrm{T}}(E_1^{\mathrm{T}}(P^{\mathrm{T}}AP)E_1)E_2)\dots E_{w-1})E_w)\\ =& \mathrm{pf}((E_w^{\mathrm{T}}{E}_{w-1}^{\mathrm{T}}\dots E_2^{\mathrm{T}}{E}_1^{\mathrm{T}}{P}^{\mathrm{T}})A(P{E}_1{E}_2\dots E_{w-1}{E}_w))\\ =& \mathrm{pf}((P{E}_1{E}_2\dots E_{w-1}{E}_w{)}^{\mathrm{T}}A(P{E}_1{E}_2\dots E_{w-1}{E}_w))\\ =& \mathrm{pf}(M^{\mathrm{T}}AM).\end{array}$$我们计算 $M^{\mathrm{T}}AM$: $$\begin{array}{rl}[M^{\mathrm{T}}AM{]}_{i,j}=& \sum _{k=1}^n[M^{\mathrm{T}}{]}_{i,k}[AM{]}_{k,j}\\ =& \sum _{k=1}^n[M{]}_{k,i}[AM{]}_{k,j}\\ =& [M{]}_{i,i}[AM{]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ k\ne i\end{array}}[M{]}_{k,i}[AM{]}_{k,j}\\ =& [M{]}_{i,i}[AM{]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽n\\ k\ne i\end{array}}0[AM{]}_{k,j}\\ =& [M{]}_{i,i}[AM{]}_{i,j}\\ =& [M{]}_{i,i}\sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i,\ell }[M{]}_{\ell ,j}\\ =& [M{]}_{i,i}([A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne j\end{array}}[A{]}_{i,\ell }[M{]}_{\ell ,j})\\ =& [M{]}_{i,i}([A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne j\end{array}}[A{]}_{i,\ell }0)\\ =& [M{]}_{i,i}[A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}.\end{array}$$当 $i\ne 1$, $j\ne 1$ 时, $$\begin{array}{r}[M{]}_{i,i}[A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}=1[A{]}_{i,j}1=[A{]}_{i,j};\end{array}$$当 $i=1$, $j\ne 1$ 时, $$\begin{array}{r}[M{]}_{i,i}[A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}=\det (P)[A{]}_{i,j}1=\det (P)[A{]}_{i,j};\end{array}$$当 $i\ne 1$, $j=1$ 时, $$\begin{array}{r}[M{]}_{i,i}[A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}=1[A{]}_{i,j}\det (P)=\det (P)[A{]}_{i,j};\end{array}$$当 $i=1$, $j=1$ 时, $$\begin{array}{r}[M{]}_{i,i}[A{]}_{i,j}[M{]}_{j,j}=\det (P)0\det (P)=0=\det (P)[A{]}_{i,j}.\end{array}$$则$$\mathrm{pf}(P^{\mathrm{T}}AP)=\mathrm{pf}(M^{\mathrm{T}}AM)=\det (P)\mathrm{pf}(A)=\mathrm{pf}(A)\det (P).$$证毕.