17. 阵的积

前面, 我们学习了阵与阵的运算, 如阵的加、减、数乘. 本节, 我们学习阵的一个新运算, 阵的乘法. 对若干个阵作乘法的结果就是这些阵的积.

定义 17.1. 设 $A$ 是 $m\times s$ 阵, 且 $B$ 是 $s\times n$ 阵 (也就是, $A$ 有多少列, $B$ 就有多少行). 我们定义 $A$ 与 $B$ 的积 (注意 $A$, $B$ 的次序) 为一个 $m\times n$ 阵 $AB$, 其中, 对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$ 与任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, $$\begin{array}{rl}[AB{]}_{i,j}=& [A{]}_{i,1}[B{]}_{1,j}+[A{]}_{i,2}[B{]}_{2,j}+\cdots +[A{]}_{i,s}[B{]}_{s,j}\\ =& \sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}.\end{array}$$(通俗地, $AB$ 是 $m\times n$ 阵, 其 $(i,j)$-元就是 $A$ 的行 $i$ 跟 $B$ 的列 $j$ 的相应位置的元的积的和.)

可以看到, 阵的乘法跟阵的加法比, 有大的区别. 首先, 加法要求二个阵的尺寸相同, 而乘法要求第 1 个阵的列数等于第 2 个阵的行数. 其次, 阵的加法的定义用到的只不过是数的加法, 而阵的乘法的定义要同时用到数的加法与乘法.

阵的乘法, 不像数的乘法, 有可能是不可换的. 具体地, 设 $A$, $B$ 分别是 $m\times s$ 与 $s\times n$ 阵. 根据定义, $AB$ 是有意义的. 不过, $BA$ 无意义, 除非 $n=m$. 这还只是一方面. 另一方面, 就算 $n=m$, $AB$ 跟 $BA$ 的尺寸也不一样, 除非 $m=s=n$. 最后, 就算 $m=s=n$, $AB$ 也可以不等于 $BA$.

例 17.2. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 10& 7\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ 11& 9\end{array}\right].\end{array}$$根据定义, $$\begin{array}{rl}& AB=\left[\begin{array}{cc}3\cdot 5+2\cdot 11& 3\cdot 4+2\cdot 9\\ 10\cdot 5+7\cdot 11& 10\cdot 4+7\cdot 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}37& 30\\ 127& 103\end{array}\right],\\ & BA=\left[\begin{array}{cc}5\cdot 3+4\cdot 10& 5\cdot 2+4\cdot 7\\ 11\cdot 3+9\cdot 10& 11\cdot 2+9\cdot 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}55& 38\\ 123& 85\end{array}\right].\end{array}$$所以, 即使 $AB$, $BA$ 都是 $2$ 级阵, 它们也不相等.

我们知道, 若 $a$, $b$ 是二个非零的数, 那么 $ab\ne 0$. 不过, 对二个阵 $A$, $B$, 即使 $A\ne 0$, 且 $B\ne 0$, 仍有可能 $AB=0$ (此处的 $0$ 是零阵, 即元全为 $0$ 的阵).

例 17.3. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right].\end{array}$$根据定义, $$\begin{array}{rl}& AB=\left[\begin{array}{cc}0\cdot 0+0\cdot 0& 0\cdot 0+0\cdot 1\\ 1\cdot 0+0\cdot 0& 1\cdot 0+0\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$

阵的乘法跟数的乘法虽有不同的地方, 但更重要地, 有相同的 (或类似的) 地方.

定理 17.4. 设 $A$, $B$, $C$ 分别是 $m\times s$, $s\times n$, $n\times p$ 阵. 设 $D$ 是 $m\times s$ 阵. 设 $G$ 是 $s\times n$ 阵. 设 $x$ 是数. 则:

(1) (结合律) $(AB)C=A(BC)$;

(2) (分配律 1) $(A+D)B=AB+DB$;

(3) (分配律 2) $A(B+G)=AB+AG$;

(4) (单位阵的作用) $I_{m}A=A=A{I}_s$, 其中 $I_m$, $I_s$ 分别是 $m$, $s$ 级单位阵;

(5) (阵的数乘与乘法) $(xA)B=x(AB)=A(xB)$.

证. (1) 注意, $AB$ 是 $m\times n$ 阵, 故 $(AB)C$ 是 $m\times p$ 阵; 注意, $BC$ 是 $s\times p$ 阵, 故 $A(BC)$ 也是 $m\times p$ 阵. 根据阵的积的定义, $$\begin{array}{rl}[(AB)C{]}_{i,j}=& \sum _{\ell =1}^n[AB{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{\ell =1}^n\left(\sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,\ell }\right)[C{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{\ell =1}^n\sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,\ell }[C{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{k=1}^s\sum _{\ell =1}^n[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,\ell }[C{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}\left(\sum _{\ell =1}^n[B{]}_{k,\ell }[C{]}_{\ell ,j}\right)\\ =& \sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[BC{]}_{k,j}\\ =& [A(BC){]}_{i,j}.\end{array}$$

(2) 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是 $m\times n$ (我留它为您的习题). 根据阵的和与积的定义, $$\begin{array}{rl}[(A+D)B{]}_{i,j}=& \sum _{k=1}^s[A+D{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}\\ =& \sum _{k=1}^s([A{]}_{i,k}+[D{]}_{i,k})[B{]}_{k,j}\\ =& \sum _{k=1}^s([A{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}+[D{]}_{i,k}[B{]}_{k,j})\\ =& \sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}+\sum _{k=1}^s[D{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}\\ =& [AB{]}_{i,j}+[DB{]}_{i,j}\\ =& [AB+DB{]}_{i,j}.\end{array}$$

(3) 这跟分配律 1 的论证完全类似; 我留它为您的习题.

(4) 先证 $I_{m}A=A$. 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是 $m\times s$ (我留它为您的习题). 回想, 单位阵 $I$ 的 $(i,j)$-元是 $\delta (i,j)$; 具体地, $i=j$ 时, 它是 $1$, 而 $i\ne j$ 时, 它是 $0$. 根据阵的积的定义, $$\begin{array}{rl}[I_{m}A{]}_{i,j}=& \sum _{u=1}^m[I_m{]}_{i,u}[A{]}_{u,j}\\ =& \sum _{u=1}^m\delta (i,u)[A{]}_{u,j}\\ =& \delta (i,i)[A{]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽m\\ u\ne i\end{array}}\delta (i,u)[A{]}_{u,j}\\ =& 1[A{]}_{i,j}+\sum _{\begin{array}{c}1⩽u⩽m\\ u\ne i\end{array}}0[A{]}_{u,j}\\ =& [A{]}_{i,j}.\end{array}$$请允许我留另一部分为您的习题.

(5) 先证 $(xA)B=x(AB)$. 您还是要先说明, 等式二侧的阵的尺寸都是 $m\times n$ (我留它为您的习题). 根据阵的数乘与阵的积的定义, $$\begin{array}{rl}[(xA)B{]}_{i,j}=& \sum _{k=1}^s[xA{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}\\ =& \sum _{k=1}^{s}x[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}\\ =& x\sum _{k=1}^s[A{]}_{i,k}[B{]}_{k,j}\\ =& x[AB{]}_{i,j}\\ =& [x(AB){]}_{i,j}.\end{array}$$请允许我留另一部分为您的习题.

证毕.

由此, 我们可简单地写 $(AB)C$ 或 $A(BC)$ 为 $ABC$, 且可简单地写 $x(AB)$, $(xA)B$, $A(xB)$ 为 $xAB$ (当然, $x$ 是一个数).

定理 17.5. 设 $B$ 是 $s\times m$ 阵. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $A$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ (于是, 我们可写 $A=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$). 则$$\begin{array}{r}BA=[B{a}_1,B{a}_2,\dots ,B{a}_n].\end{array}$$

证. 每一个 $B{a}_j$ 都是 $s\times 1$ 阵, 故 $[B{a}_1,B{a}_2,\dots ,B{a}_n]$ 是 $s\times n$ 阵. 当然, $BA$ 也是 $s\times n$ 阵. 根据阵的积的定义, $$\begin{array}{rl}[BA{]}_{i,j}=& \sum _{k=1}^m[B{]}_{i,k}[A{]}_{k,j}\\ =& \sum _{k=1}^m[B{]}_{i,k}[a_j{]}_{k,1}\\ =& [B{a}_j{]}_{i,1}\\ =& [[B{a}_1,B{a}_2,\dots ,B{a}_n]{]}_{i,j}.\end{array}$$

证毕.

定理 17.6. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $A$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$ (于是, 我们可写 $A=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$). 设 $X$ 是一个 $n\times 1$ 阵. 则$$\begin{array}{r}AX=[X{]}_{1,1}{a}_1+[X{]}_{2,1}{a}_2+\cdots +[X{]}_{n,1}{a}_n.\end{array}$$

证. $AX$ 自然是一个 $m\times 1$ 阵. 不难看出, 待证等式的右侧也是 $m\times 1$ 阵. 根据阵的积、和、数乘的定义, $$\begin{array}{rl}[AX{]}_{i,1}=& \sum _{k=1}^n[A{]}_{i,k}[X{]}_{k,1}\\ =& \sum _{k=1}^n[a_k{]}_{i,1}[X{]}_{k,1}\\ =& \sum _{k=1}^n[[X{]}_{k,1}{a}_k{]}_{i,1}\\ =& {\left[\sum _{k=1}^n[X{]}_{k,1}{a}_k\right]}_{i,1}.\end{array}$$

证毕.