18. Binet–Cauchy 公式 (青春版)

设 $A$, $B$ 都是 $n$ 级阵. 那么, $BA$ 当然也是 $n$ 级阵. $A$, $B$, $BA$ 都是 $n$ 级阵, 故, 它们都有行列式. 本节, 我们学习三者的行列式的关系.

定理 18.1 (Binet–Cauchy 公式, 青春版). 设 $A$, $B$ 都是 $n$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\det (BA)=\det (B)\det (A).\end{array}$$

我用一个例助您理解, 此定理在说什么.

例 18.2. 设$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 10& 7\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 4\\ 11& 9\end{array}\right].\end{array}$$不难算出$$\begin{array}{r}AB=\left[\begin{array}{cc}37& 30\\ 127& 103\end{array}\right],BA=\left[\begin{array}{cc}55& 38\\ 123& 85\end{array}\right].\end{array}$$可以看到, $AB\ne BA$.

不过, $\det (AB)=\det (BA)$. 一方面, 我们可直接验证: $$\begin{array}{rl}& \det (AB)=37\cdot 103-127\cdot 30=1,\\ & \det (BA)=55\cdot 85-123\cdot 38=1.\end{array}$$另一方面, Binet–Cauchy 公式 (青春版) 指出, $$\begin{array}{rl}\det (AB)=& \det (A)\det (B)\\ =& \det (B)\det (A)\\ =& \det (BA).\end{array}$$毕竟, 数的乘法是可换的.

证. 考虑定义在全体 $n$ 级阵上的函数 $f(C)=\det (BC)$, 其中 $C=[c_1,c_2,\dots ,c_n]$ 是 $n$ 级阵.

(1) $f$ 是多线性的. 对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $c_1$, $\dots$, $c_{j-1}$, $c_{j+1}$, $\dots$, $c_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& f([\dots ,c_{j-1},sx+ty,c_{j+1},\dots ])\\ =& \det [\dots ,B{c}_{j-1},B(sx+ty),B{c}_{j+1},\dots ]\\ =& \det [\dots ,B{c}_{j-1},sBx+tBy,B{c}_{j+1},\dots ]\\ =& s\det [\dots ,B{c}_{j-1},Bx,B{c}_{j+1},\dots ]+t\det [\dots ,B{c}_{j-1},By,B{c}_{j+1},\dots ]\\ =& sf([\dots ,c_{j-1},x,c_{j+1},\dots ])+tf([\dots ,c_{j-1},y,c_{j+1},\dots ]).\end{array}$$我们用到了阵的运算律与行列式的多线性.

(2) $f$ 是交错性的. 因为若 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 中有二个相等, 则 $B{c}_1$, $B{c}_2$, $\dots$, $B{c}_n$ 中也有二个相等. 再利用行列式的交错性, $f(C)=\det (BC)=0$.

所以, 对任何 $n$ 级阵 $A$, $f(A)=f(I)\det (A)$. 注意, $BI=B$, 故$$\det (BA)=f(A)=f(I)\det (A)=\det (B)\det (A).$$证毕.

或许, (方) 阵的行列式与阵的积的定义是较复杂的, 跟阵的转置、加、减、数乘比. 不过, Binet–Cauchy 公式 (的青春版) 给出了一个关系: 二个同级的方阵的积的行列式等于这二个阵的行列式的积.