47. (关于列的) 多线性

本节, 我想证明 (关于列的) 多线性.

其实, 在第一章, 节 13, 我已用按一列展开行列式的公式证明了它. 不过, 我想, 知道别的证明是好的.

以下, 设 $P(n)$ 为命题

对任何不超过 $n$ 的正整数 $j$, 任何 $n-1$ 个 $n\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_n$, 任何二个 $n\times 1$ 阵 $x$, $y$, 任何二个数 $s$, $t$, 有$$\begin{array}{rl}& \det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_n]\\ =& s\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_n]+t\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_n].\end{array}$$

则, 我们的目标是: 对任何正整数 $n$, $P(n)$ 是对的.

证. (用按一列展开) 见第一章, 节 13.

证毕.

证. (用按列 $1$ 展开) 不难验证 $P(1)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取不超过 $m$ 的正整数 $j$. 任取 $m-1$ 个 $m\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_m$. 任取二个 $m\times 1$ 阵 $x$, $y$. 任取二个数 $s$, $t$. 作三个 $m$ 级阵 $A$, $B$, $C$: $A$, $B$, $C$ 的列 $k$ 为 $a_k$ ($k\ne j$); $A$ 的列 $j$ 为 $x$; $B$ 的列 $j$ 为 $y$; $C$ 的列 $j$ 为 $sx+ty$. 则$$\begin{array}{rl}& \det (A)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_m];\\ & \det (B)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_m];\\ & \det (C)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_m].\end{array}$$不难发现, 若 $k\ne j$, 则 $[A{]}_{i,k}=[B{]}_{i,k}=[C{]}_{i,k},$ 故 $A(i|j)=B(i|j)=C(i|j).$

设 $j=1$. 那么$$\begin{array}{rl}& \det (C)\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[C{]}_{i,j}\det (C(i|j))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}(s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j})\det (C(i|j))\\ =& s\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (C(i|j))+t\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (C(i|j))\\ =& s\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[A{]}_{i,j}\det (A(i|j))+t\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+j}[B{]}_{i,j}\det (B(i|j))\\ =& s\det (A)+t\det (B).\end{array}$$

设 $j>1$. 设 $A(i|1)$, $B(i|1)$, $C(i|1)$ 的列 $j-1$ 分别是 $p$, $q$, $r$. 则 $r=sp+tq$. 由假定, $\det (C(i|1))=s\det (A(i|1))+t\det (B(i|1))$. 从而$$\begin{array}{rl}& \det (C)\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[C{]}_{i,1}\det (C(i|1))\\ =& \sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[C{]}_{i,1}(s\det (A(i|1))+t\det (B(i|1)))\\ =& s\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[C{]}_{i,1}\det (A(i|1))+t\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[C{]}_{i,1}\det (B(i|1))\\ =& s\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[A{]}_{i,1}\det (A(i|1))+t\sum _{i=1}^m(-1{)}^{i+1}[B{]}_{i,1}\det (B(i|1))\\ =& s\det (A)+t\det (B).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

证. (用按行 $1$ 展开) 不难验证 $P(1)$ 是对的.

现在, 我们假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们要证 $P(m)$ 也是对的.

任取不超过 $m$ 的正整数 $j$. 任取 $m-1$ 个 $m\times 1$ 阵 $a_1$, $\dots$, $a_{j-1}$, $a_{j+1}$, $\dots$, $a_m$. 任取二个 $m\times 1$ 阵 $x$, $y$. 任取二个数 $s$, $t$. 作三个 $m$ 级阵 $A$, $B$, $C$: $A$, $B$, $C$ 的列 $k$ 为 $a_k$ ($k\ne j$); $A$ 的列 $j$ 为 $x$; $B$ 的列 $j$ 为 $y$; $C$ 的列 $j$ 为 $sx+ty$. 则$$\begin{array}{rl}& \det (A)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},x,a_{j+1},\dots ,a_m];\\ & \det (B)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},y,a_{j+1},\dots ,a_m];\\ & \det (C)=\det [a_1,\dots ,a_{j-1},sx+ty,a_{j+1},\dots ,a_m].\end{array}$$

一方面, 若 $k=j$, 则 $[C{]}_{1,k}=s[A{]}_{1,k}+t[B{]}_{1,k}$, 且 $A(1|k)=B(1|k)=C(1|k)$. 另一方面, 若 $k\ne j$, 则 $[A{]}_{i,k}=[B{]}_{i,k}=[C{]}_{i,k}$. 设 $A(1|k)$, $B(1|k)$, $C(1|k)$ 的列 $j-\rho (j,k)$ 分别是 $p$, $q$, $r$. 则 $r=sp+tq$. 由假定, $\det (C(1|k))=s\det (A(1|k))+t\det (B(1|k))$. 从而$$\begin{array}{rl}& \det (C)\\ =& \sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[C{]}_{1,k}\det (C(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}[C{]}_{1,j}\det (C(1|j))+\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[C{]}_{1,k}\det (C(1|k))\\ =& (-1{)}^{1+j}(s[A{]}_{1,j}+t[B{]}_{1,j})\det (C(1|j))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[C{]}_{1,k}(s\det (A(1|k))+t\det (B(1|k)))\\ =& s(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (C(1|j))+t(-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (C(1|j))\\ & +s\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[C{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ & +t\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[C{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& s(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))+t(-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (B(1|j))\\ & +s\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ & +t\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[B{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& s(-1{)}^{1+j}[A{]}_{1,j}\det (A(1|j))+s\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ & +t(-1{)}^{1+j}[B{]}_{1,j}\det (B(1|j))+t\sum _{\begin{array}{c}1⩽k⩽m\\ k\ne j\end{array}}(-1{)}^{1+k}[B{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& s\sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))+t\sum _{k=1}^m(-1{)}^{1+k}[B{]}_{1,k}\det (B(1|k))\\ =& s\det (A)+t\det (B).\end{array}$$所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.