A.5.   次方程

我们知道, 理论地, 每一个   次方程都是可被 (根式) 求解的, 其中, , , . 本节, 我展现一个解   次方程的方法.

任取一个   次方程(A.5.1)其中, .

是方程 (A.5.1) 的一个解. 则  次方程组(A.5.2)的一个解.

反过来, 设 是方程组 (A.5.2) 的一个解. 那么, . 从而 是方程 (A.5.1) 的一个解.

这么看来, 我们可变解   次方程的问题为解   次方程组的问题.

待定复数 . 作一个跟方程组 (A.5.2) 同解的方程组(A.5.3)其中,计算 的判别式 是一个关于    次式, 故 是一个   次方程. 理论地, 这是可解的. 解出一个 . 从而, 我们可用老方法解方程组 (A.5.3), 进而得到方程 (A.5.1) 的解.

例 A.5.1. 解方程

考虑方程组此方程组的解的首个分量即为原方程的解.

待定复数 . 作出同解方程组其中, 计算 的判别式所以, 我们可取 . 则所以因为 , 故注意, 我们的目的是求解 (原方程的) , 而 只是辅助量, 故我们用 消去了 , 进而直接求解 . 我们不必同时解出 .

  次方程是不难求解的. 不难算出经验证, 它们都是原方程的解.

最后, 有一件事值得提.

(). 记 . 记 . 设 是数. 设则对任何数 , , 因为 , 且 .

我们知道, 存在 , 使存在复数 , , , , , , 使对任何 , ,(注意, . 则 , 且 .) 则则存在复数 , , 使存在复数 , , 使

由此, 我们有 (回想在 “准备” 的讨论)

定理 A.5.2. 是不超过 的正整数. 设  次式 (). 则存在复数 , , , 使

最后, 我指出, 如下一般的定理是对的. 不过, 我就不在这儿证明它了. 若您想知道更多, 您可以找相关的文献.

定理 A.5.3 (代数基本定理). 是正整数. 设  次式 (). 则存在复数 , , , 使