A.4. $1$ 元 $4$ 次方程

我们知道, 理论地, 每一个 $1$ 元 $m$ 次方程都是可被 (根式) 求解的, 其中 $m = 1$ , $2$ , $3$ . 本节, 我展现一个解 $1$ 元 $4$ 次方程的方法.

任取一个 $1$ 元 $4$ 次方程 $a_{0} x^{4} + a_{1} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{3} x + a_{4} = 0,$ (A.4.1)其中 $a_{0} \neq = 0$ .

设 $s$ 是方程 (A.4.1) 的一个解. 则 $a_{0} (s^{2})^{2} + a_{1} s s^{2} + a_{2} s^{2} + a_{3} s + a_{4} = 0.$ 则 $(s, s^{2})$ 是 $2$ 元 $2$ 次方程组 ${f_{1} (x, y) = a_{1} x y + a_{0} y^{2} + a_{3} x + a_{2} y + a_{4} = 0, f_{2} (x, y) = x^{2} - y = 0$ (A.4.2)的一个解.

反过来, 设 $(u, v)$ 是方程组 (A.4.2) 的一个解. 那么, $v = u^{2}$ . 从而 $a_{1} u u^{2} + a_{0} (u^{2})^{2} + a_{3} u + a_{2} u^{2} + a_{4} = 0,$ 即 $a_{0} u^{4} + a_{1} u^{3} + a_{2} u^{2} + a_{3} u + a_{4} = 0.$ 故 $u$ 是方程 (A.4.1) 的一个解.

这么看来, 我们可变解 $1$ 元 $4$ 次方程的问题为解 $2$ 元 $2$ 次方程组的问题.

待定复数 $k$ . 作一个跟方程组 (A.4.2) 同解的方程组 ${f_{3} (x, y) = 0, f_{2} (x, y) = 0,$ (A.4.3)其中 $f_{3} (x, y) = = f_{1} (x, y) + k f_{2} (x, y) k x^{2} + \frac{a _{1}}{2} \cdot 2 x y + a_{0} y^{2} + \frac{a _{3}}{2} \cdot 2 x + \frac{a _{2} - k}{2} \cdot 2 y + a_{4} .$ 计算 $f_{3} (x, y)$ 的判别式 $Δ_{3} = = det ⎣ ⎡ k a_{1} /2 a_{3} /2 a_{1} /2 a_{0} (a_{2} - k) /2 a_{3} /2 (a_{2} - k) /2 a_{4} ⎦ ⎤ \frac{k ^{3} - 2 a _{2} k ^{2} - ( 4 a _{0} a _{4} - a _{1} a _{3} - a _{2}^{2} ) k + ( a _{0} a _{3}^{2} + a _{1}^{2} a _{4} - a _{1} a _{2} a _{3} )}{- 4} .$ $Δ_{3}$ 是一个关于 $k$ 的 $1$ 元 $3$ 次式, 故 $Δ_{3} = 0$ 是一个 $1$ 元 $3$ 次方程. 理论地, 这是可解的. 解出一个 $k$ . 从而, 我们可用老方法解方程组 (A.4.3), 进而得到方程 (A.4.1) 的解.

例 A.4.1. 解方程 $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 44 x - 48 = 0.$

考虑方程组 ${f_{1} (x, y) = - 2 x y + y^{2} + 44 x - 10 y - 48 = 0, f_{2} (x, y) = x^{2} - y = 0.$ 此方程组的解的首个分量即为原方程的解.

待定复数 $k$ . 作出同解方程组 ${f_{3} (x, y) = 0, f_{2} (x, y) = 0,$ 其中 $f_{3} (x, y) = = f_{1} (x, y) + k f_{2} (x, y) k x^{2} - 2 x y + y^{2} + 44 x - (k + 10) y - 48.$ 计算 $f_{3} (x, y)$ 的判别式 $Δ_{3} = det ⎣ ⎡ k - 1 22 - 1 1 - k /2 - 5 22 - k /2 - 5 - 48 ⎦ ⎤ = - \frac{1}{4} (k + 8) (k^{2} + 12 k + 108) .$ 所以, 我们可取 $k = - 8$ . 则 $f_{3} (x, y) = = = = = - 8 x^{2} - 2 x y + y^{2} + 44 x - 2 y - 48 y^{2} - 2 (x + 1) y - 8 x^{2} + 44 x - 48 (y - x - 1)^{2} - (x + 1)^{2} - 8 x^{2} + 44 x - 48 (y - x - 1)^{2} - (3 x - 7)^{2} (y + 2 x - 8) (y - 4 x + 6) .$ 所以 $y + 2 x - 8 = 0 或 y - 4 x + 6 = 0.$ 因为 $x^{2} - y = 0$ , 故 $x^{2} + 2 x - 8 = 0 或 x^{2} - 4 x + 6 = 0.$ 注意, 我们的目的是求解 (原方程的) $x$ , 而 $y$ 只是辅助量, 故我们用 $y = x^{2}$ 消去了 $y$ , 进而直接求解 $x$ . 我们不必同时解出 $x$ 与 $y$ .

$1$ 元 $2$ 次方程是不难求解的. 不难算出 $x = - 4 或 x = 2 或 x = 2 + i 2 或 x = 2 - i 2 .$ 经验证, 它们都是原方程的解.

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