72. Pfaffian

我们说, 行列式是方阵的一个重要的属性. 反称阵是方阵, 故行列式也是反称阵的一个重要的属性. 本节, 我们学习反称阵的另一个属性. 它也是重要的, 且与行列式有关.

定义 72.1 (pfaffian). 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 定义 $A$ 的 pfaffian 为$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(A)=\{\begin{array}{ll}0,& n=1;\\ [A{]}_{1,2},& n=2;\\ \sum _{j=2}^n(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j)),& n⩾3.\end{array}\end{array}$$

注意, 我们只对反称阵定义 pfaffian.

我们计算不高于 $4$ 级的反称阵的 pfaffian.

例 72.2. 设 $A$ 是 $1$ 级反称阵. 则 $\mathrm{pf}(A)=0$.

回想, $\det (A)$ 也是 $0$.

例 72.3. 设 $A$ 是 $2$ 级反称阵. 则 $\mathrm{pf}(A)=[A{]}_{1,2}$.

回想, $\det (A)=[A{]}_{1,2}^2$; 于是, $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

例 72.4. 设 $A$ 是 $3$ 级反称阵. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& (-1{)}^2[A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))+(-1{)}^3[A{]}_{1,3}\mathrm{pf}(A(1,3|1,3))\\ =& [A{]}_{1,2}0-[A{]}_{1,3}0\\ =& 0.\end{array}$$

回想, $\det (A)$ 也是 $0$.

例 72.5. 设 $A$ 是 $4$ 级反称阵. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& (-1{)}^2[A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))+(-1{)}^3[A{]}_{1,3}\mathrm{pf}(A(1,3|1,3))\\ & +(-1{)}^4[A{]}_{1,4}\mathrm{pf}(A(1,4|1,4))\\ =& [A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}-[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}.\end{array}$$

回想, $\det (A)=([A{]}_{1,2}[A{]}_{3,4}-[A{]}_{1,3}[A{]}_{2,4}+[A{]}_{1,4}[A{]}_{2,3}{)}^2$; 于是, $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

看来, 对不高于 $4$ 级的反称阵 $A$, 我们有 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$. 我们会说明, 这对任何级的反称阵 $A$ 都是对的. 为此, 我们会证明 pfaffian 的一些性质, 再利用这些性质解决此事.

最后, 我们看一些特别的阵的 pfaffian.

例 72.6. 作 $2m$ 级反称阵$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccccccc}0& b_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -b_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& b_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right].\end{array}$$我们计算 $\mathrm{pf}(B)$. 由 pfaffian 的定义, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(B)=(-1{)}^2[B{]}_{1,2}\mathrm{pf}(B(1,2|1,2))=b_1\mathrm{pf}(B(1,2|1,2))\end{array}$$(注意, 对任何 $j>2$, 有 $[B{]}_{1,j}=0$). 不难看出, $$\begin{array}{r}B(1,2|1,2)=\left[\begin{array}{ccccc}0& b_2& \cdots & 0& 0\\ -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right].\end{array}$$则, 类似地, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(B(1,2|1,2))=b_2\mathrm{pf}(B(1,2,3,4|1,2,3,4)).\end{array}$$故$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(B)=b_1{b}_2\mathrm{pf}(B(1,2,3,4|1,2,3,4)).\end{array}$$…… 最后, 我们算出$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(B)=b_1{b}_2\dots b_{m-1}\mathrm{pf}(B(1,2,\dots ,2m-2|1,2,\dots ,2m-2))=b_1{b}_2\dots b_{m-1}{b}_m.\end{array}$$回想, $\det (B)=(b_1{b}_2\dots b_m{)}^2$; 于是, $\det (B)=(\mathrm{pf}(B){)}^2$.

例 72.7. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $D$ 是 $t$ 级反称阵. 作 $n+t$ 级阵$$\begin{array}{r}M=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right].\end{array}$$不难验证, $M$ 也是一个反称阵. 我们用数学归纳法证明, $\mathrm{pf}(M)=\mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D)$.

作命题 $P(n)$: 对任何 $n$ 级反称阵 $A$, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]=\mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D).\end{array}$$再作命题 $Q(n)$: $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. 我们用数学归纳法证明, 对任何高于 $1$ 的整数 $n$, $Q(n)$ 是对的.

首先, $P(1)$ 是对的, 因为 $n=1$ 时, $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]\end{array}$$的行 $1$ 的元全为 $0$, 故由 pfaffian 的定义, 此阵的 pfaffian 是 $0$.

然后, $P(2)$ 是对的. 记 $J=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]$, 其中 $A$ 是 $2$ 级反称阵. 由 pfaffian 的定义, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(J)=(-1{)}^2[J{]}_{1,2}\mathrm{pf}(J(1,2|1,2))=[A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(D)=\mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D).\end{array}$$

由此可见, $Q(2)$ 是对的.

我们设 $Q(n-1)$ 是对的 ($n⩾3$). 则 $P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $Q(n)$ 是对的, 即 $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. $P(n-1)$ 当然是对的, 由假定. 所以, 我们由假定 “$P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的” 证 $P(n)$ 是对的, 得 $Q(n)$ 是对的.

任取一个 $n$ 级反称阵 $A$. 记 $M=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]$. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(M)\\ =& \sum _{2⩽j⩽n+t}(-1{)}^j[M{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[M{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))+\sum _{n+1⩽j⩽n+t}(-1{)}^j[M{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))+\sum _{n+1⩽j⩽n+t}(-1{)}^{j}0\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j)).\end{array}$$注意, $2⩽j⩽n$ 时, $$\begin{array}{r}M(1,j|1,j)=\left[\begin{array}{cc}A(1,j|1,j)& 0\\ 0& D\end{array}\right].\end{array}$$由假定, $\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))=\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\mathrm{pf}(D)$. 从而$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(M)=& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(M(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\mathrm{pf}(D)\\ =& \left(\sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\right)\mathrm{pf}(D)\\ =& \mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D).\end{array}$$

所以, $P(n)$ 是对的. 则 $Q(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

回想, 当 $A$ 是 $n$ 级阵, $D$ 是 $t$ 级阵, 且 $C$ 是 $n\times t$ 阵时, $$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right]=\det (A)\det (D).\end{array}$$那么, 当 $A$, $D$ 是反称阵, 且 $C=0$ 时, $\det (M)$ 当然也是 $\det (A)\det (D)$. 不过, 用现有的知识, 我们还不知道 $M$ 的行列式与 pfaffian 的关系.

在看最后一个例前, 我们先计算一类阵的行列式. 设 $A$, $D$ 分别是 $n$ 即阵与 $t$ 级阵. 设 $C$ 是 $n\times t$ 阵. 作 $n+t$ 级阵$$\begin{array}{r}P=\left[\begin{array}{cc}C& A\\ D& 0\end{array}\right].\end{array}$$我们计算 $\det (P)$. 为此, 我们可用反称性. 具体地, 交换 $P$ 的列 $t+1$ 与列 $t$, 得阵 $P_t$. 则 $\det (P_t)=(-1)\det (P)$. 再交换 $P_t$ 的列 $t$ 与列 $t-1$, 得阵 $P_{t-1}$. 则 $\det (P_{t-1})=(-1)\det (P_t)=(-1{)}^2\det (P)$. …… 再交换 $P_2$ 的列 $2$ 与列 $1$, 得阵 $P_1$. 则 $\det (P_1)=(-1)\det (P_2)=(-1{)}^t\det (P)$. 注意, 我们作了 $t$ 次相邻的列的交换, 使 $P$ 的列 $t+1$ 到列 $1$ 的位置, 且其他的列的相对位置不变. 类似地, 我们再分别对 $P_1$ 的列 $t+2$, $\dots$, $t+n$ 也相邻地向左移 $t$ 次, 即可使 $P$ 的列 $t+1$, $\dots$, $t+n$ 分别到列 $1$, $\dots$, $n$ 的位置, 变 $P$ 为$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right].\end{array}$$我们一共作了 $t+(n-1)t=nt$ 次列的交换. 故$$\begin{array}{r}\det \left[\begin{array}{cc}C& A\\ D& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{nt}\det \left[\begin{array}{cc}A& C\\ 0& D\end{array}\right]=(-1{)}^{nt}\det (A)\det (D).\end{array}$$特别地, 若我们取 $D=-A^{\mathrm{T}}$, 且 $C=0$, 则$$\begin{array}{rl}\det \left[\begin{array}{cc}0& A\\ -A^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]=& (-1{)}^{n^2}\det (-A^{\mathrm{T}})\det (A)\\ =& (-1{)}^{n^2}(-1{)}^n\det (A^{\mathrm{T}})\det (A)\\ =& (-1{)}^{n(n+1)}\det (A)\det (A)\\ =& (\det (A){)}^2.\end{array}$$(注意, $n(n+1)$ 是一个偶数.)

例 72.8. 设 $A$ 是一个 $m$ 级阵. 为方便, 我们记$$\begin{array}{r}S(A)=\left[\begin{array}{cc}0& A\\ -A^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right].\end{array}$$不难看出, $S(A)$ 是一个 $2m$ 级反称阵. 我们用数学归纳法证明, $\mathrm{pf}(A)=(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A)$. 这也说明, pfaffian 跟行列式有一些关系.

作命题 $P(m)$: 对任何 $m$ 级阵 $A$, $\mathrm{pf}(A)=(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A)$. 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的. 设 $A=[a]$. 则 $S(A)=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right]$. 由定义, $\det (A)=a$, 且 $\mathrm{pf}(S(A))=a=(-1{)}^{1(1-1)/2}\det (A)$.

我们设 $P(m-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $P(m)$ 是对的.

任取 $m$ 级阵 $A$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(S(A))=& \sum _{j=2}^{2m}(-1{)}^j[S(A){]}_{1,j}\mathrm{pf}((S(A))(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽m}(-1{)}^j[S(A){]}_{1,j}\mathrm{pf}((S(A))(1,j|1,j))\\ & +\sum _{m+1⩽j⩽2m}(-1{)}^j[S(A){]}_{1,j}\mathrm{pf}((S(A))(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽m}(-1{)}^{j}0\mathrm{pf}((S(A))(1,j|1,j))\\ & +\sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{m+k}[S(A){]}_{1,m+k}\mathrm{pf}((S(A))(1,m+k|1,m+k))\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{m+k}[A{]}_{1,k}\mathrm{pf}(S(A(1|k)))\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{m-1}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\mathrm{pf}(S(A(1|k)))\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}(-1{)}^{m-1}\mathrm{pf}(S(A(1|k))).\end{array}$$注意, $A(1|k)$ 是 $m-1$ 级阵. 由假定, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(S(A(1|k)))=(-1{)}^{(m-1)(m-2)/2}\det (A(1|k)).\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(S(A))=& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}(-1{)}^{m-1}\mathrm{pf}(S(A(1|k)))\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}(-1{)}^{m-1}(-1{)}^{(m-1)(m-2)/2}\det (A(1|k))\\ =& \sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A(1|k))\\ =& (-1{)}^{m(m-1)/2}\sum _{1⩽k⩽m}(-1{)}^{1+k}[A{]}_{1,k}\det (A(1|k))\\ =& (-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

最后, 不难看出, $\det (S(A))=(\det (A){)}^2=(\mathrm{pf}(S(A)){)}^2$.

我们作一个小结.

定理 72.9. (1) 设 $A$, $D$ 是 $n$ 级与 $t$ 级反称阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& D\end{array}\right]=\mathrm{pf}(A)\mathrm{pf}(D).\end{array}$$

(2) 设 $A$ 是 $m$ 级阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}0& A\\ -A^{\mathrm{T}}& 0\end{array}\right]=(-1{)}^{m(m-1)/2}\det (A).\end{array}$$特别地, 取 $A=I_m$, 即知 $K_m=\left[\begin{array}{cc}0& I_m\\ -I_m& 0\end{array}\right]$ 的 pfaffian 是 $(-1{)}^{m(m-1)/2}$.

(3) $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}\left[\begin{array}{ccccccc}0& b_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -b_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& b_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right]=b_1{b}_2\dots b_m.\end{array}$$