73. Pfaffian 的性质

本节, 我们讨论 pfaffian 的一些性质.

回想, $1$ 级反称阵与 $3$ 级反称阵的 pfaffian 为 $0$. 一般地,

定理 73.1. 奇数级反称阵的 pfaffian 为 $0$.

证. 作命题 $P(k)$: 对任何 $2k-1$ 级反称阵 $A$, 必 $\mathrm{pf}(A)=0$. 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $k$, $P(k)$ 是对的.

$P(1)$ 不证自明.

我们设 $P(k-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $P(k)$ 是对的.

任取 $2k-1$ 级反称阵 $A$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& \sum _{j=2}^{2k-1}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\\ =& \sum _{j=2}^{2k-1}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}0\\ =& 0.\end{array}$$

所以, $P(k)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

定理 73.2. 设 $m$ 是整数. 设 $A$ 是 $2m$ 级反称阵. 设 $x$ 是数. 则 $\mathrm{pf}(xA)=x^m\mathrm{pf}(A)$. 特别地, $A^{\mathrm{T}}=(-1)A$ 的 pfaffian 是 $(-1{)}^m\mathrm{pf}(A)$.

证. 作命题 $P(m)$: 对任何 $2m$ 级反称阵 $A$, 必 $\mathrm{pf}(xA)=x^m\mathrm{pf}(A)$. 我们用数学归纳法证明, 对任何正整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的: $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}0& xa\\ -xa& 0\end{array}\right]=xa=x^1\mathrm{pf}\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right].\end{array}$$

我们设 $P(m-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $P(m)$ 是对的.

任取 $2m$ 级反称阵 $A$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(xA)=& \sum _{j=2}^{2m}(-1{)}^j[xA{]}_{1,j}\mathrm{pf}((xA)(1,j|1,j))\\ =& \sum _{j=2}^{2m}(-1{)}^{j}x[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(xA(1,j|1,j))\\ =& \sum _{j=2}^{2m}(-1{)}^{j}x[A{]}_{1,j}{x}^{m-1}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\\ =& x{x}^{m-1}\sum _{j=2}^{2m}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\\ =& x^m\mathrm{pf}(A).\end{array}$$

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

定理 73.3. 设 $A$, $B$, $C$ 是三个 $n$ 级反称阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$, $t$ 是数. 设 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$; 设 $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$. 则 $\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B)$.

证. 作命题 $P(n)$:

对任何数 $s$, $t$, 对任何不超过 $n$ 的正整数 $q$, 对任何适合如下条件的三个 $n$ 级反称阵 $A$, $B$, $C$, 必有 $\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B)$:

(1) $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$;

(2) $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$.

再作命题 $Q(n)$: $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. 我们用数学归纳法证明, 对任何高于 $1$ 的整数 $n$, $Q(n)$ 是对的.

$P(1)$ 不证自明.

$P(2)$ 是简单的. 无论 $q=1$ 或 $q=2$, 我们有 $[C{]}_{1,2}=s[A{]}_{1,2}+t[B{]}_{1,2}$. 则 $\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B)$.

综上, $Q(2)$ 是对的.

我们设 $Q(n-1)$ 是对的 ($n⩾3$). 则 $P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $Q(n)$ 是对的, 即 $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. $P(n-1)$ 当然是对的, 由假定. 所以, 我们由假定 “$P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的” 证 $P(n)$ 是对的, 得 $Q(n)$ 是对的.

设 $A$, $B$, $C$ 是三个 $n$ 级反称阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$, $t$ 是数. 设 $[A{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$; 设 $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}+t[B{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$.

若 $q=1$, 则 $[C{]}_{1,j}=s[A{]}_{1,j}+t[B{]}_{1,j}$, 且 $C(1,j|1,j)=A(1,j|1,j)=B(1,j|1,j)$, 对 $j>1$. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(C)\\ =& \sum _{j=2}^n(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& \sum _{j=2}^n(-1{)}^j(s[A{]}_{1,j}+t[B{]}_{1,j})\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& s\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))+t\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& s\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(B(1,j|1,j))\\ =& s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B).\end{array}$$

设 $q\ne 1$. 那么, 当 $j\ne q$ 时, $[A{]}_{1,j}=[B{]}_{1,j}=[C{]}_{1,j}$, 且 $n-2$ 级反称阵 $A(1,j|1,j)$, $B(1,j|1,j)$, $C(1,j|1,j)$ 适合:

(1${}^{\prime }$) $[A(1,j|1,j){]}_{u,v}=[B(1,j|1,j){]}_{u,v}=[C(1,j|1,j){]}_{u,v}$, 对任何不等于 $q^{\prime }=q-\rho (q,1)-\rho (q,j)=q-1-\rho (q,j)$, 且不超过 $n-2$ 的正整数 $u$, $v$;

(2${}^{\prime }$) $[C(1,j|1,j){]}_{u,v}=s[A(1,j|1,j){]}_{u,v}+t[B(1,j|1,j){]}_{u,v}$, 若 $u=q^{\prime }$ 或 $v=q^{\prime }$.

于是, 由假定, 当 $j\ne q$ 时, $$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))=s\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\mathrm{pf}(B(1,j|1,j)).\end{array}$$

另一方面, 当 $j=q$ 时, $[C{]}_{1,j}=s[A{]}_{1,j}+t[B{]}_{1,j}$, 且 $C(1,j|1,j)=A(1,j|1,j)=B(1,j|1,j)$.

综上, 我们有$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(C)\\ =& \sum _{j=2}^n(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& (-1{)}^q[C{]}_{1,q}\mathrm{pf}(C(1,q|1,q))+\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& (-1{)}^q(s[A{]}_{1,j}+t[B{]}_{1,j})\mathrm{pf}(C(1,q|1,q))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}(s\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\mathrm{pf}(B(1,j|1,j)))\\ =& s(-1{)}^q[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,q|1,q))+t(-1{)}^q[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,q|1,q))\\ & +s\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(B(1,j|1,j))\\ =& s(-1{)}^q[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,q|1,q))+t(-1{)}^q[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(B(1,q|1,q))\\ & +s\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne q\end{array}}(-1{)}^j[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(B(1,j|1,j))\\ =& s\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))+t\sum _{j=2}^n(-1{)}^j[B{]}_{1,j}\mathrm{pf}(B(1,j|1,j))\\ =& s\mathrm{pf}(A)+t\mathrm{pf}(B).\end{array}$$

所以, $P(n)$ 是对的. 则 $Q(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

特别地, 若我们取 $A=B$, 且 $t=0$, 我们有

定理 73.4. 设 $A$, $C$ 是二个 $n$ 级反称阵. 设 $q$ 是不超过 $n$ 的正整数. 设 $s$ 是数. 设 $[A{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$; 设 $[C{]}_{i,j}=s[A{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$. 则 $\mathrm{pf}(C)=s\mathrm{pf}(A)$.

定理 73.5. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$. 设交换 $B$ 的行 $p$, $q$, 且不改变其他的行, 得阵 $C$. 则 $C$ 是反称阵, 且 $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$.

证. 我们先说明 $C$ 是反称阵. 交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$. 则$$\begin{array}{r}[B{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,q},& j=p;\\ [A{]}_{i,p},& j=q;\\ [A{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$交换 $B$ 的行 $p$, $q$, 且不改变其他的行, 得阵 $C$. 则$$\begin{array}{r}[C{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[B{]}_{q,j},& i=p;\\ [B{]}_{p,j},& i=q;\\ [B{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$

当 $i\ne p$, $i\ne q$, $j\ne p$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$. 则 $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{i,j}+[A{]}_{j,i}=0$, 且 $[C{]}_{i,i}=[A{]}_{i,i}=0$.

当 $i=p$, $j\ne p$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{q,j}=[A{]}_{q,j}$; 当 $j=p$, $i\ne p$, 且 $i\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{i,p}=[A{]}_{i,q}$. 则当 $i=p$, $j\ne p$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{q,j}+[C{]}_{j,q}=0$; 当 $j=p$, $i\ne p$, 且 $i\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{i,q}+[C{]}_{q,i}=0$.

当 $i=q$, $j\ne p$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{p,j}=[A{]}_{p,j}$; 当 $j=q$, $i\ne p$, 且 $i\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{i,q}=[A{]}_{i,p}$. 则当 $i=q$, $j\ne p$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{p,j}+[C{]}_{j,p}=0$; 当 $j=q$, $i\ne p$, 且 $i\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{i,p}+[C{]}_{p,i}=0$.

当 $i=p$, 且 $j=p$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{q,p}=[A{]}_{q,q}=0$; 当 $i=q$, 且 $j=q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{p,q}=[A{]}_{p,p}=0$.

当 $i=p$, 且 $j=q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{q,q}=[A{]}_{q,p}$; 当 $i=q$, 且 $j=p$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{p,p}=[A{]}_{p,q}$. 则当 $i=p$, 且 $j=q$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{q,p}+[A{]}_{p,q}=0$; 当 $i=q$, 且 $j=p$ 时, $[C{]}_{i,j}+[C{]}_{j,i}=[A{]}_{p,q}+[A{]}_{q,p}=0$.

我们再说明 $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$. 以下, 我们无妨设 $p<q$.

作命题 $P(n)$:

对任何 $n$ 级反称阵 $A$, 对任何 $1⩽p<q⩽n$, 若 $B$ 是交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列得到的阵, 且 $C$ 是交换 $B$ 的行 $p$, $q$, 且不改变其他的行得到的阵, 则 $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$.

再作命题 $Q(n)$: $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. 我们用数学归纳法证明, 对任何高于 $1$ 的整数 $n$, $Q(n)$ 是对的.

$P(1)$ 不证自明. 既然没有二列或二行可交换, 我们认为, 它是平凡地对的.

$P(2)$ 是简单的. 既然 $n=2$, 且 $1⩽p<q⩽n$, 则 $p=1$, 且 $q=2$. 不难写出, 若 $A=\left[\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right]$, 则交换列 $1$, $2$, 并交换行 $1$, $2$ 后, 我们有 $C=\left[\begin{array}{cc}0& -a\\ a& 0\end{array}\right]$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(C)=-a=-\mathrm{pf}(A).\end{array}$$

综上, $Q(2)$ 是对的.

我们设 $Q(n-1)$ 是对的 ($n⩾3$). 则 $P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的. 我们要由此证明 $Q(n)$ 是对的, 即 $P(n-1)$ 与 $P(n)$ 是对的. $P(n-1)$ 当然是对的, 由假定. 所以, 我们由假定 “$P(n-2)$ 与 $P(n-1)$ 是对的” 证 $P(n)$ 是对的, 得 $Q(n)$ 是对的.

设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $1⩽p<q⩽n$. 设交换 $A$ 的列 $p$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$. 设交换 $B$ 的行 $p$, $q$, 且不改变其他的行, 得阵 $C$. 我们分类讨论.

(1) $p=1$, 且 $q=2$. 当 $d_1>2$, $d_2>2$, 且 $d_2\ne d_1$ 时, $[A{]}_{2,d_2}$ 是 $A(1,d_1|1,d_1)$ 的 $(1,d_2-1-\rho (d_2,d_1))$-元. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(A)\\ =& \sum _{2⩽d_1⩽n}(-1{)}^{d_1}[A{]}_{1,d_1}\mathrm{pf}(A(1,d_1|1,d_1))\\ =& (-1{)}^2[A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))+\sum _{3⩽d_1⩽n}(-1{)}^{d_1}[A{]}_{1,d_1}\mathrm{pf}(A(1,d_1|1,d_1))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽d_1⩽n}(-1{)}^{d_1}[A{]}_{1,d_1}\sum _{\begin{array}{c}3⩽d_2⩽n\\ d_2\ne d_1\end{array}}(-1{)}^{d_2-1-\rho (d_2,d_1)}\\ & \cdot [A{]}_{2,d_2}\mathrm{pf}(A(1,2,d_1,d_2|1,2,d_1,d_2))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽d_1⩽n}\sum _{\begin{array}{c}3⩽d_2⩽n\\ d_2\ne d_1\end{array}}(-1{)}^{d_1}[A{]}_{1,d_1}(-1{)}^{d_2-1-\rho (d_2,d_1)}\\ & \cdot [A{]}_{2,d_2}\mathrm{pf}(A(1,2,d_1,d_2|1,2,d_1,d_2))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}3⩽d_1,d_2⩽n\\ d_2\ne d_1\end{array}}(-1{)}^{d_1+d_2-1-\rho (d_2,d_1)}[A{]}_{1,d_1}[A{]}_{2,d_2}\mathrm{pf}(A(1,2,d_1,d_2|1,2,d_1,d_2))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽d_1<d_2⩽n}(-1{)}^{d_1+d_2-1-\rho (d_2,d_1)}[A{]}_{1,d_1}[A{]}_{2,d_2}\mathrm{pf}(A(1,2,d_1,d_2|1,2,d_1,d_2))\\ & +\sum _{3⩽d_2<d_1⩽n}(-1{)}^{d_1+d_2-1-\rho (d_2,d_1)}[A{]}_{1,d_1}[A{]}_{2,d_2}\mathrm{pf}(A(1,2,d_1,d_2|1,2,d_1,d_2))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k-1-1}[A{]}_{1,j}[A{]}_{2,k}\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{k+j-1}[A{]}_{1,k}[A{]}_{2,j}\mathrm{pf}(A(1,2,k,j|1,2,k,j))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}[A{]}_{1,j}[A{]}_{2,k}\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}(-1)[A{]}_{1,k}[A{]}_{2,j}\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}([A{]}_{1,j}[A{]}_{2,k}-[A{]}_{1,k}[A{]}_{2,j})\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k))\\ =& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{1,j}& [A{]}_{1,k}\\ [A{]}_{2,j}& [A{]}_{2,k}\end{array}\right]\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k)).\end{array}$$类似地, $$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(C)=& [C{]}_{1,2}\mathrm{pf}(C(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}\det \left[\begin{array}{cc}[C{]}_{1,j}& [C{]}_{1,k}\\ [C{]}_{2,j}& [C{]}_{2,k}\end{array}\right]\mathrm{pf}(C(1,2,j,k|1,2,j,k)).\end{array}$$注意, $[C{]}_{1,2}=-[A{]}_{1,2}$, 且 $A(1,2|1,2)=C(1,2|1,2)$; 再注意, $3⩽j<k⩽n$ 时, $[C{]}_{1,j}=[A{]}_{2,j}$, $[C{]}_{1,k}=[A{]}_{2,k}$, $[C{]}_{2,j}=[A{]}_{1,j}$, $[C{]}_{2,k}=[A{]}_{1,k}$, 且 $A(1,2,j,k|1,2,j,k)=C(1,2,j,k|1,2,j,k)$. 故$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(C)=& -[A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{2,j}& [A{]}_{2,k}\\ [A{]}_{1,j}& [A{]}_{1,k}\end{array}\right]\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k)).\end{array}$$由此可见, $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$.

(2) $2⩽p=q-1⩽n-1$. 则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(A)\\ =& \sum _{2⩽j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))\\ =& (-1{)}^p[A{]}_{1,p}\mathrm{pf}(A(1,p|1,p))+(-1{)}^{p+1}[A{]}_{1,p+1}\mathrm{pf}(A(1,p+1|1,p+1))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne p,p+1\end{array}}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(1,j|1,j)).\end{array}$$类似地, $$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(C)\\ =& (-1{)}^p[C{]}_{1,p}\mathrm{pf}(C(1,p|1,p))+(-1{)}^{p+1}[C{]}_{1,p+1}\mathrm{pf}(C(1,p+1|1,p+1))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne p,p+1\end{array}}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j)).\end{array}$$注意, $[C{]}_{1,p}=[A{]}_{1,p+1}$, $[C{]}_{1,p+1}=[A{]}_{1,p}$, $C(1,p|1,p)=A(1,p+1|1,p+1)$, 且 $C(1,p+1|1,p+1)=A(1,p|1,p)$; 再注意, $j>2$, $j\ne p$, 且 $j\ne p+1$ 时, $[C{]}_{1,j}=[A{]}_{1,j}$, 且 $C(1,j|1,j)$ 可被认为是交换 $A(1,j|1,j)$ 的列 $p^{\prime }$, $p^{\prime }+1$, 并交换行 $p^{\prime }$, $p^{\prime }+1$ 得到的反称阵 (其中 $p^{\prime }=p-\rho (p,1)-\rho (p,j)=p-1-\rho (p,j)$). 由假定, $\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))=(-1)\mathrm{pf}(A(1,j|1,j))$. 故$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(C)\\ =& (-1{)}^p[A{]}_{1,p+1}\mathrm{pf}(A(1,p+1|1,p+1))+(-1{)}^{p+1}[A{]}_{1,p}\mathrm{pf}(A(1,p|1,p))\\ & +\sum _{\begin{array}{c}2⩽j⩽n\\ j\ne p,p+1\end{array}}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}(-1)\mathrm{pf}(A(1,j|1,j)).\end{array}$$由此可见, $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$.

(3) 其他的情形. 不难看出, 我们已证, 若列 $p$, $q$ (行 $p$, $q$) 是相邻的 (即 $p=q-1$; 注意, 我们已约定 $p<q$), 则 $\mathrm{pf}(C)=-\mathrm{pf}(A)$. 那么, 其他的情形自然是当列 $p$, $q$ (行 $p$, $q$) 不是相邻的时的情形.

交换 $A$ 的列 $p$, $p+1$, 并交换行 $p$, $p+1$, 得反称阵 $C_1$. 则 $\mathrm{pf}(C_1)=-\mathrm{pf}(A)=(-1{)}^1\mathrm{pf}(A)$. 交换 $C_1$ 的列 $p+1$, $p+2$, 并交换行 $p+1$, $p+2$, 得反称阵 $C_2$. 则 $\mathrm{pf}(C_2)=-\mathrm{pf}(C_1)=(-1{)}^2\mathrm{pf}(A)$. …… 交换 $C_{q-p-1}$ 的列 $q-1$, $q$, 并交换行 $q-1$, $q$, 得反称阵 $C_{q-p}$. 则 $\mathrm{pf}(C_{q-p})=-\mathrm{pf}(C_{q-p-1})=(-1{)}^{q-p}\mathrm{pf}(A)$.

记 $G_0=C_{q-p}$. 则 $\mathrm{pf}(G_0)=(-1{)}^{q-p}\mathrm{pf}(A)$. 交换 $G_0$ 的列 $q-2$, $q-1$, 并交换行 $q-2$, $q-1$, 得反称阵 $G_1$. 则 $\mathrm{pf}(G_1)=-\mathrm{pf}(G_0)=(-1{)}^{q-p+1}\mathrm{pf}(A)$. 交换 $G_1$ 的列 $q-3$, $q-2$, 并交换行 $q-3$, $q-2$, 得反称阵 $G_2$. 则 $\mathrm{pf}(G_2)=-\mathrm{pf}(G_1)=(-1{)}^{q-p+2}\mathrm{pf}(A)$. …… 交换 $G_{q-p-2}$ 的列 $p$, $p+1$, 并交换行 $p$, $p+1$, 得反称阵 $G_{q-p-1}$. 则 $\mathrm{pf}(G_{q-p-1})=-\mathrm{pf}(G_{q-p-2})=(-1{)}^{q-p+(q-p-1)}\mathrm{pf}(A)$. 不难看出, $C=G_{q-p-1}$. 所以, $\mathrm{pf}(C)=(-1{)}^{2(q-p)-1}\mathrm{pf}(A)=-\mathrm{pf}(A)$.

所以, $P(n)$ 是对的. 则 $Q(n)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证毕.

定理 73.6. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $A$ 的列 $p$, $q$ 相等 (于是, 显然, $A$ 的行 $p$, $q$ 也相等). 则 $\mathrm{pf}(A)=0$.

证. 无妨设 $p<q$. 我们分类讨论.

(1) $p=1$, 且 $q=2$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& [A{]}_{1,2}\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}\det \left[\begin{array}{cc}[A{]}_{1,j}& [A{]}_{1,k}\\ [A{]}_{2,j}& [A{]}_{2,k}\end{array}\right]\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k)).\end{array}$$因为 $A$ 的列 $1$, $2$ 相等, 故 $A$ 的行 $1$, $2$ 也相等 (注意, $A$ 是反称阵), 且 $[A{]}_{1,2}=[A{]}_{1,1}=0$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& 0\mathrm{pf}(A(1,2|1,2))\\ & +\sum _{3⩽j<k⩽n}(-1{)}^{j+k}0\mathrm{pf}(A(1,2,j,k|1,2,j,k))\\ =& 0.\end{array}$$

(2) 其他的情形. 我们先说明:

设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 设 $p$, $q$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $p\ne q$. 设 $A$ 的列 $p$, $q$ 相等 (于是, 显然, $A$ 的行 $p$, $q$ 也相等). 再设 $u$, $v$ 是不超过 $n$ 的正整数, 且 $u\ne v$. 设交换 $A$ 的列 $u$, $v$, 且不改变其他的列, 得阵 $B$. 设交换 $B$ 的行 $u$, $v$, 且不改变其他的行, 得反称阵 $C$. 则 $C$ 仍有二列相同 (当然, 也有二行相同).

首先, 如上个定理的论证, 我们可具体地写下 $C$ 的元: $$\begin{array}{r}[C{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& \text{i=u, i=v, j=u, 且 j=v};\\ [A{]}_{v,j},& \text{i=u, j=u, 且 j=v};\\ [A{]}_{i,v},& \text{j=u, i=u, 且 i=v};\\ [A{]}_{u,j},& \text{i=v, j=u, 且 j=v};\\ [A{]}_{i,u},& \text{j=v, i=u, 且 i=v};\\ [A{]}_{v,v},& \text{i=j=u};\\ [A{]}_{u,u},& \text{i=j=v};\\ [A{]}_{v,u},& \text{i=u, 且 j=v};\\ [A{]}_{u,v},& \text{i=v, 且 j=u}.\end{array}\end{array}$$然后, 我们可分类讨论. 无妨设 $p<q$, 且 $u<v$. 则:

若 $p\ne u$, $p\ne v$, 且 $q\ne u$, $q\ne v$, 则我们可验证, $C$ 的列 $p$, $q$ 相等;

若 $p=u$, 且 $q=v$, 则我们可验证, $C$ 的列 $p$, $q$ 相等;

若 $p=u$, $q\ne v$, 则我们可验证, $C$ 的列 $q$, $v$ 相等;

若 $p=v$, 则我们可验证, $C$ 的列 $u$, $q$ 相等;

若 $q=u$, 则我们可验证, $C$ 的列 $p$, $v$ 相等;

若 $q=v$, 且 $p\ne u$, 则我们可验证, $C$ 的列 $u$, $p$ 相等.

(2.1) $1=p<2<q$. 交换 $A$ 的列 $2$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B_1$. 交换 $B_1$ 的行 $2$, $q$, 且不改变其他的行, 得反称阵 $C_1$. 则 $C_1$ 的列 $1$, $2$ 相等, 故 $\mathrm{pf}(C_1)=0$. 另一方面, $\mathrm{pf}(C_1)=-\mathrm{pf}(A)$, 故 $\mathrm{pf}(A)=0$.

(2.2) $2=p<q$. 交换 $A$ 的列 $1$, $q$, 且不改变其他的列, 得阵 $B_2$. 交换 $B_2$ 的行 $1$, $q$, 且不改变其他的行, 得反称阵 $C_2$. 则 $C_2$ 的列 $1$, $2$ 相等, 故 $\mathrm{pf}(C_2)=0$. 另一方面, $\mathrm{pf}(C_2)=-\mathrm{pf}(A)$, 故 $\mathrm{pf}(A)=0$.

(2.3) $2<p<q$. 交换 $A$ 的列 $2$, $p$, 且不改变其他的列, 得阵 $B_3$. 交换 $B_3$ 的行 $2$, $p$, 且不改变其他的行, 得反称阵 $C_3$. 则 $C_3$ 的列 $2$, $q$ 相等, 故 $\mathrm{pf}(C_3)=0$ (我们已证此情形). 另一方面, $\mathrm{pf}(C_3)=-\mathrm{pf}(A)$, 故 $\mathrm{pf}(A)=0$.

证毕.

有了这些性质, 我们可以证明倍加与反称阵的 pfaffian 的关系. 这是重要的.

定理 73.7. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$ ($p\ne q$), 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 加 $B$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$, 且不改变其他的行, 得 $n$ 级阵 $C$. 则 $\mathrm{pf}(C)=\mathrm{pf}(A)$.

证. 加 $A$ 的列 $p$ 的 $s$ 倍于列 $q$, 且不改变其他的列, 得 $n$ 级阵 $B$. 则$$\begin{array}{r}[B{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j\ne q;\\ [A{]}_{i,q}+s[A{]}_{i,p},& j=q.\end{array}\end{array}$$加 $B$ 的行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$, 且不改变其他的行, 得 $n$ 级阵 $C$. 则 $C$ 是反称阵, 且$$\begin{array}{r}[C{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[B{]}_{i,j},& i\ne q;\\ [B{]}_{q,j}+s[B{]}_{p,j},& i=q.\end{array}\end{array}$$当 $i=q$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{q,j}+s[B{]}_{p,j}=[A{]}_{q,j}+s[A{]}_{p,j}$; 当 $j=q$, 且 $i\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{i,q}=[A{]}_{i,q}+s[A{]}_{i,p}$; 当 $i\ne q$, 且 $j\ne q$ 时, $[C{]}_{i,j}=[B{]}_{i,j}=[A{]}_{i,j}$; 当 $i=q=j$ 时, $[C{]}_{i,j}=0=[A{]}_{i,j}$. 作 $n$ 级阵 $G$ 如下: $$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{p,j},& \text{i=q, 且 j=q};\\ [A{]}_{i,p},& \text{j=q, 且 i=q};\\ [A{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则 $G$ 是反称阵, 且 $G$ 的列 $p$, $q$ 相等, 且:

(1) $[A{]}_{i,j}=[G{]}_{i,j}=[C{]}_{i,j}$, 对任何不等于 $q$, 且不超过 $n$ 的正整数 $i$, $j$;

(2) $[C{]}_{i,j}=1[A{]}_{i,j}+s[G{]}_{i,j}$, 若 $i=q$ 或 $j=q$.

所以, $$\mathrm{pf}(C)=1\mathrm{pf}(A)+s\mathrm{pf}(G)=\mathrm{pf}(A)+s0=\mathrm{pf}(A).$$证毕.

现在, 我们可以证明, 反称阵的行列式与 pfaffian 有如下关系.

定理 73.8. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵. 则 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

证. 设 $n$ 是奇数. 则 $\det (A)=0$, 且 $\mathrm{pf}(A)=0$.

再设 $n=2m$ 是偶数. 则利用若干次列的倍加, 与对应的行的倍加 (先列后行, 交替地作), 我们可变 $A$ 为$$\begin{array}{r}B=\left[\begin{array}{ccccccc}0& b_1& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ -b_1& 0& 0& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& 0& b_2& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& -b_2& 0& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & 0& b_m\\ 0& 0& 0& 0& \cdots & -b_m& 0\end{array}\right].\end{array}$$则 $\det (B)=\det (A)$, 且 $\mathrm{pf}(B)=\mathrm{pf}(A)$. 最后, 注意, $\det (B)=(\mathrm{pf}(B){)}^2$, 故 $\det (A)=(\mathrm{pf}(A){)}^2$.

证毕.

例 73.9. 设 $S$ 是 “整”, 或 “有理”, 或 “实”, 或 “复” 中的一个. 我们约定, 当 $S$ 是 “整” 时, $S$-数是整数; 当 $S$ 是 “有理” 时, $S$-数是有理数; 当 $S$ 是 “实” 时, $S$-数是实数; 当 $S$ 是 “复” 时, $S$-数是复数. 于是, 二个 $S$-数的和、差、积还是 $S$-数.

若一个阵的元全为 $S$-数, 我们说, 此阵是一个 $S$-阵.

现在, 我们设 $A$ 是一个 $S$-反称阵 ($A$ 是反称阵, 且 $A$ 是 $S$-阵). 因为 pfaffian 的定义是由一些数的和、差、积作成的, 且不含除法, 故 $\mathrm{pf}(A)$ 是一个 $S$-数. 则 $\det (A)$ 是一个 $S$-数的平方. 具体地, 若 $A$ 是一个整反称阵, 则 $\det (A)$ 是一个整数的平方 (完全平方数); 若 $A$ 是一个实反称阵, 则 $\det (A)$ 是一个实数的平方 (非负实数).

我以一件小事结束本节.

不难看出, 在 pfaffian 的定义里, $[A{]}_{1,2}$, $[A{]}_{1,3}$, $\dots$, $[A{]}_{1,n}$ 全为 $A$ 的行 $1$ 的元, 故我们说, 定义按行 $1$ 展开 pfaffian. 我们知道, 我们可按一行展开行列式. 类似地, 我们也可按一行展开 pfaffian:

定理 73.10. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵 ($n>2$). 设 $i$ 是不超过 $n$ 的正整数. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{pf}(A)=\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)).\end{array}$$

证. 设 $i=1$. 则 $i-1+j+\rho (i,j)=j$, 若 $j>1$. 所以, 这是对的.

设 $i>1$. 交换 $A$ 的列 $i-1$, $i$, 并交换行 $i-1$, $i$, 得反称阵 $C_1$. 则 $\mathrm{pf}(C_1)=-\mathrm{pf}(A)=(-1{)}^1\mathrm{pf}(A)$. 交换 $C_1$ 的列 $i-2$, $i-1$, 并交换行 $i-2$, $i-1$, 得反称阵 $C_2$. 则 $\mathrm{pf}(C_2)=-\mathrm{pf}(C_1)=(-1{)}^2\mathrm{pf}(A)$. …… 交换 $C_{i-2}$ 的列 $1$, $2$, 并交换行 $1$, $2$, 得反称阵 $C_{i-1}$. 则 $\mathrm{pf}(C_{i-1})=-\mathrm{pf}(C_{i-2})=(-1{)}^{i-1}\mathrm{pf}(A)$. 记 $C=C_{i-1}$. 则 $\mathrm{pf}(A)=(-1{)}^{i-1}\mathrm{pf}(C)$. 我们有如下发现.

(1) $A(i|i)=C(1|1)$.

(2) 当 $j<i$ 时, $[A{]}_{i,j}=[C{]}_{1,j+1}$; 当 $j>i$ 时, $[A{]}_{i,j}=[C{]}_{1,j}$. 于是, 当 $2⩽j⩽i$ 时, $[C{]}_{1,j}=[A{]}_{i,j-1}$; 当 $j>i$ 时, $[C{]}_{1,j}=[A{]}_{i,j}$.

(3) 当 $j<i$ 时, $A(i,j|i,j)=C(1,j+1|1,j+1)$; 当 $j>i$ 时, $A(i,j|i,j)=C(1,j|1,j)$. 于是, 当 $2⩽j⩽i$ 时, $C(1,j|1,j)=A(i,j-1|i,j-1)$; 当 $j>i$ 时, $C(1,j|1,j)=A(i,j|i,j)$.

则$$\begin{array}{rl}& \mathrm{pf}(C)\\ =& \sum _{j=2}^n(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽i}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))+\sum _{i<j⩽n}(-1{)}^j[C{]}_{1,j}\mathrm{pf}(C(1,j|1,j))\\ =& \sum _{2⩽j⩽i}(-1{)}^j[A{]}_{i,j-1}\mathrm{pf}(A(i,j-1|i,j-1))+\sum _{i<j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{1⩽j<i}(-1{)}^{j+1}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))+\sum _{i<j⩽n}(-1{)}^j[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{1⩽j<i}(-1{)}^{j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))+\sum _{i<j⩽n}(-1{)}^{j+\rho (i,j)}[A{]}_{1,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)).\end{array}$$故$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& (-1{)}^{i-1}\mathrm{pf}(C)\\ =& (-1{)}^{i-1}\sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{i-1}(-1{)}^{j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽j⩽n\\ j\ne i\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)).\end{array}$$

证毕.

例 73.11. 设 $A$ 是 $n$ 级反称阵 ($n>2$). 注意, $[A{]}_{i,j}=-[A{]}_{j,i}$. 于是, 若 $j$ 是不超过 $n$ 的正整数, 由按行 $j$ 展开, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{pf}(A)=& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽n\\ i\ne j\end{array}}(-1{)}^{j-1+i+\rho (j,i)}[A{]}_{j,i}\mathrm{pf}(A(j,i|j,i))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽n\\ i\ne j\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+1-\rho (i,j)}(-[A{]}_{i,j})\mathrm{pf}(A(i,j|i,j))\\ =& \sum _{\begin{array}{c}1⩽i⩽n\\ i\ne j\end{array}}(-1{)}^{i-1+j+\rho (i,j)}[A{]}_{i,j}\mathrm{pf}(A(i,j|i,j)).\end{array}$$形式地, 这是按列 $j$ 展开 pfaffian.