C.42. REF 阵、线性方程组、秩

本节, 我们讨论 REF (row echelon form) 阵, 并用它研究线性方程组与秩.

我们知道, 最大的整数不存在: 对任何整数 $x$, 我们能作大于 $x$ 的整数, 如 $x+1$. 但我们可作 “Tiānyī 记号”, 且考虑它与数的关系:

定义 C.42.1. 我们定义 Tiānyī 记号为 $\infty$. Tiānyī 记号 $\infty$ 可被叫作 Tiānyī.

我们规定, 对任何整数 $x$, Tiānyī “不等于” $x$, 且 $x$ “不等于” Tiānyī: $$\begin{array}{r}\infty \ne x\text{且}x\ne \infty .\end{array}$$

我们规定, 对任何整数 $x$, Tiānyī “大于” $x$, 且 $x$ “小于” Tiānyī: $$\begin{array}{r}\infty >x\text{且}x<\infty .\end{array}$$

我们规定, Tiānyī “等于” Tiānyī: $$\begin{array}{r}\infty =\infty .\end{array}$$

Tiānyī 记号来自中国 Vocaloid (bōkālòyǐdo) Luò Tiānyī.

注意, $⩾$, $⩽$ 分别是 “大于或等于”, “小于或等于”. 于是, 对任何整数 $x$, 我们当然有 $\infty ⩾x$ 与 $x⩽\infty$.

现在, 我们可方便地定义 REF 阵.

定义 C.42.2. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵.

设 $i$ 是不超过 $m$ 的正整数. 若 $A$ 的行 $i$ 的元全为 $0$, 我们说, $A$ 的行 $i$ 的 pivot (pīvīte) 是 Tiānyī: $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(A;i)=\infty .\end{array}$$若 $A$ 的行 $i$ 有不为 $0$ 的元, 则一定存在不超过 $n$ 的正整数 $k_i$, 使 $[A{]}_{i,k_i}\ne 0$, 且当 $j<k_i$ 时, $[A{]}_{i,j}=0$. 我们说, $A$ 的行 $i$ 的 pivot 是 $k_i$: $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(A;i)=k_i.\end{array}$$

注意, $m\times n$ 阵 $A$ 有 $m$ pivots.

设存在不高于 $m$ 的非负整数 $r$, 使:

(1) 对任何不高于 $r$ 的正整数 $i$, $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(A;i)<\infty ;\end{array}$$

(2) 对任何低于 $r$ 的正整数 $i$, $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(A;i)<\mathrm{pivot}(A;i+1);\end{array}$$

(3) 对任何高于 $r$ 且不高于 $m$ 的整数 $i$, $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(A;i)=\infty .\end{array}$$

我们说, $A$ 是 REF 阵.

注意, 当 $r=0$ 时, 不存在不高于 $r$ 的正整数 (且不存在低于 $r$ 的正整数), 故条件 (1) 与 (2) 成立. 则 $A$ 的所有的 pivots 是 Tiānyī, 故 $A=0$.

注意, 当 $r=1$ 时, 不存在低于 $r$ 的正整数, 故条件 (2) 成立.

注意, $1\times n$ 阵是 REF 阵.

注意, 当 $r=m$ 时, 不存在整数, 其高于 $r$ 且不高于 $m$, 故条件 (3) 成立.

例 C.42.3. 零阵是 REF 阵 ($r=0$). $1\times n$ 阵也是 REF 阵.

下面的阵是 REF 阵, 其中, 我们标记了不为 Tiānyī 的 pivots 的位置: $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}\boxed{6}& 8& 15\\ 0& \boxed{4}& 15\\ 0& 0& \boxed{15}\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}\boxed{37}& 0& 73& 0& 1\\ 0& \boxed{39}& 54& 93& 0\\ 0& 0& 0& \boxed{86}& 20\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& \boxed{6}& 2& 8\\ 0& 0& 0& \boxed{3}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$

下面的阵不是 REF 阵, 其中, 我们标记了不为 Tiānyī 的 pivots 的位置: $$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}\boxed{1}\\ 0\\ \boxed{1}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}\boxed{37}& 73& 0& 0\\ 0& \boxed{39}& 0& 93\\ 0& \boxed{86}& 20& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& \boxed{6}\\ 0& 0& \boxed{2}& 0\\ 0& \boxed{8}& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$

定理 C.42.4. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 则我们可用行的倍加, 变 $A$ 为某 $m\times n$ REF 阵 $B$.

证. 我们用数学归纳法证明此事. 具体地, 设 $P(m)$ 为命题

对任何正整数 $m$, 对任何 $m\times n$ 阵 $A$, 用若干次行的倍加, 我们可变 $A$ 为 $m\times n$ 阵 $B$, 使 $B$ 是 REF 阵.

则, 我们的目标是, 对任何正整数 $m$, $P(m)$ 是对的.

$P(1)$ 是对的.

假定 $P(m-1)$ 是对的. 我们由此证 $P(m)$ 也是对的.

若 $A=0$, 则 $A$ 已是 REF 阵.

设 $A\ne 0$. 则 $A$ 有最小的 pivot, 且它小于 Tiānyī; 具体地, 存在不超过 $m$ 的正整数 $\ell$, 使对任何不超过 $m$ 的正整数 $i$, $\mathrm{pivot}(A;\ell )⩽\mathrm{pivot}(A;i)$, 且 $\mathrm{pivot}(A;\ell )<\infty$.

若 $\ell \ne 1$, 我们可用三次行的倍加, 以 “几乎” 交换行 $1$ 与行 $\ell$, 得 $m\times n$ 阵 $A_1$: $$\begin{array}{rl}(x,y)\to & (x+1y,y)=(x+y,y)\\ \to & (x+y,y+(-1)(x+y))=(x+y,-x)\\ \to & (x+y+1(-x),-x)=(y,-x).\end{array}$$具体地, $$\begin{array}{r}[A_1{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{\ell ,j},& i=1;\\ -[A{]}_{1,j},& i=\ell ;\\ [A{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$则 $\mathrm{pivot}(A_1;1)=\mathrm{pivot}(A;\ell )$, $\mathrm{pivot}(A_1;\ell )=\mathrm{pivot}(A;1)$ (以非零的数乘一行不改变它的 pivot), 且 $\mathrm{pivot}(A_1;i)=\mathrm{pivot}(A;i)$ (若 $i\ne \ell$ 或 $1$).

若 $\ell =1$, 则我们不变, 取 $A_1$ 为 $A$.

综上, 我们可用行的倍加, 变 $A$ 为 $A_1$, 使 $A_1$ 的行 $1$ 有最小的 pivot, 且它小于 Tiānyī.

记 $k_1=\mathrm{pivot}(A_1;1)$. 注意, 既然 $A_1$ 的行 $1$ 有最小的 pivot, 且它小于 Tiānyī, 那么, 对 $j<k_1$, 必 $[A_1{]}_{i,j}=0$. 注意, $[A_1{]}_{1,k_1}\ne 0$. 那么, 对 $A_1$, 我们加行 $1$ 的 $-[A_1{]}_{2,k_1}/[A_1{]}_{1,k_1}$ 倍于行 $2$, 加行 $1$ 的 $-[A_1{]}_{3,k_1}/[A_1{]}_{1,k_1}$ 倍于行 $3$, …… 加行 $1$ 的 $-[A_1{]}_{m,k_1}/[A_1{]}_{1,k_1}$ 倍于行 $m$, 得阵 $C$. 则对 $j<k_1$, 必 $[C{]}_{i,j}=0$, 且 $[C{]}_{1,k_1}\ne 0$, 且 $[C{]}_{i,k_1}=0$, 若 $i>1$. 则 $C$ 的行 $1$ 有最小的 pivot $k_1$, 且它小于 Tiānyī.

若 $k_1=n$, 则 $C$ 已是 REF 阵.

设 $k_1<n$. 考虑 $(m-1)\times (n-k_1)$ 阵 $C(1|1,2,\dots ,k_1)$. 由假定, 用若干次行的倍加, 我们可变 $C(1|1,2,\dots ,k_1)$ 为 $(m-1)\times (n-k_1)$ 阵 $T$, 使 $T$ 是 REF 阵.

注意, 既然当 $1<i$, 且 $j⩽k_1$ 时, $[C{]}_{i,j}=0$, 那么, 无论如何对 $C$ 的不是行 $1$ 的行作倍加, 得到的阵的 $(i,j)$-元是 $0$ ($1<i$, 且 $j⩽k_1$). 那么, 作若干次行的倍加后, 我们可变 $C$ 为 $m\times n$ 阵 $B$, 使$$\begin{array}{r}[B{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[T{]}_{i-1,j-k_1},& \text{i>1, 且 j>k1};\\ [C{]}_{i,j},& \text{其他}.\end{array}\end{array}$$注意, 对 $i>1$, $$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(B;i)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{pivot}(T;i-1)+k_1,& \mathrm{pivot}(T;i-1)<\infty ;\\ \infty ,& \mathrm{pivot}(T;i-1)=\infty .\end{array}\end{array}$$由此可见, $B$ 是 REF 阵.

所以, $P(m)$ 是对的. 由数学归纳法, 待证命题成立.

证完.

例 C.42.5. 记$$\begin{array}{r}{A}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],A_2=\left[\begin{array}{cccc}37& 73& 0& 0\\ 0& 39& 0& 93\\ 0& 86& 20& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],A_3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 6\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 8& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$

对 $A_1$, 我们加行 $1$ 的 $-1$ 倍于行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right].\end{array}$$这是 REF 阵.

对 $A_2$, 我们加行 $2$ 的 $-86/39$ 倍于行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}37& 73& 0& 0\\ 0& 39& 0& 93\\ 0& 0& 20& -2666/13\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$$这是 REF 阵.

对 $A_3$, 我们用三次行的倍加, “交换” 行 $1$ 与行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccc}0& 8& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& -6\end{array}\right].\end{array}$$这是 REF 阵.

例 C.42.6. 设$$\begin{array}{r}G=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& 1& 17\\ 1& 0& 1& 1& 1& 15\\ 1& 1& 0& 1& 1& 14\\ 1& 1& 1& 0& 1& 12\\ 1& 1& 1& 1& 0& 10\end{array}\right].\end{array}$$我们用行的倍加变它为 REF 阵.

注意, 当 $j⩽5$ 时, $G$ 的列 $j$ 的 $5$ 个元的和为 $4$. 于是, 我们考虑分别地加行 $2$, $3$, $4$, $5$ 于行 $1$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}4& 4& 4& 4& 4& 68\\ 1& 0& 1& 1& 1& 15\\ 1& 1& 0& 1& 1& 14\\ 1& 1& 1& 0& 1& 12\\ 1& 1& 1& 1& 0& 10\end{array}\right].\end{array}$$然后, 我们分别地加行 $1$ 的 $-1/4$ 倍于行 $2$, $3$, $4$, $5$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}4& 4& 4& 4& 4& 68\\ 0& -1& 0& 0& 0& -2\\ 0& 0& -1& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& -1& 0& -5\\ 0& 0& 0& 0& -1& -7\end{array}\right].\end{array}$$这是 REF 阵. 当然, 若我们分别地加行 $2$, $3$, $4$, $5$ 的 $4$ 倍于行 $1$, 则我们有$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccc}4& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& -2\\ 0& 0& -1& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& -1& 0& -5\\ 0& 0& 0& 0& -1& -7\end{array}\right].\end{array}$$这仍是 REF 阵.

现在, 我们讨论线性方程组.

回想, 线性方程组是形如$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n& =b_1,\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n& =b_2,\\ & \dots ,\\ a_{m,1}{x}_1+a_{m,2}{x}_2+\cdots +a_{m,n}{x}_n& =b_m\end{array}$$的方程组, 其中, $a_{1,1}$, $a_{1,2}$, $\dots$, $a_{1,n}$, $a_{2,1}$, $a_{2,2}$, $\dots$, $a_{2,n}$, $\dots$, $a_{m,1}$, $a_{m,2}$, $\dots$, $a_{m,n}$, $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_m$ 是事先指定的 $mn+m$ 个数, 且 $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$ 是未知数. 若数 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 适合,$$\begin{array}{rl}{a}_{1,1}{c}_1+a_{1,2}{c}_2+\cdots +a_{1,n}{c}_n& =b_1,\\ a_{2,1}{c}_1+a_{2,2}{c}_2+\cdots +a_{2,n}{c}_n& =b_2,\\ & \dots ,\\ a_{m,1}{c}_1+a_{m,2}{c}_2+\cdots +a_{m,n}{c}_n& =b_m,\end{array}$$我们说, $x_1=c_1$, $x_2=c_2$, $\dots$, $x_n=c_n$ 是此方程组的一个解.

我们可用若干次 “加一个方程的倍于另一个方程” 的行为, 变一个线性方程组为简单的线性方程组, 且它们有相同的解.

定理 C.42.7. 考虑线性方程组$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n& =b_1,\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n& =b_2,\\ & \dots ,\\ a_{m,1}{x}_1+a_{m,2}{x}_2+\cdots +a_{m,n}{x}_n& =b_m.\end{array}$$(C.42.1)设 $p$, $q$ 是不超过 $m$ 的正整数, 且互不相同. 设 $s$ 是数. 加方程 $p$ 的 $s$ 倍于方程 $q$, 且不改变其他的方程, 得线性方程组$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}^{\prime }{x}_1+a_{1,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{1,n}^{\prime }{x}_n& =b_1^{\prime },\\ a_{2,1}^{\prime }{x}_1+a_{2,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{2,n}^{\prime }{x}_n& =b_2^{\prime },\\ & \dots ,\\ a_{m,1}^{\prime }{x}_1+a_{m,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{m,n}^{\prime }{x}_n& =b_m^{\prime },\end{array}$$(C.42.2)其中, $$\begin{array}{r}{a}_{i,j}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}{a}_{i,j},& i\ne q;\\ a_{q,j}+s{a}_{p,j},& i=q,\end{array}\end{array}$$且$$\begin{array}{r}{b}_i^{\prime }=\{\begin{array}{ll}{b}_i,& i\ne q;\\ b_q+s{b}_p,& i=q.\end{array}\end{array}$$则方程组 (C.42.1) 的解都是方程组 (C.42.2) 的解, 且方程组 (C.42.2) 的解都是方程组 (C.42.1) 的解.

证. 设数 $c_1$, $c_2$, $\dots$, $c_n$ 适合$$\begin{array}{rl}{a}_{1,1}{c}_1+a_{1,2}{c}_2+\cdots +a_{1,n}{c}_n& =b_1,\\ a_{2,1}{c}_1+a_{2,2}{c}_2+\cdots +a_{2,n}{c}_n& =b_2,\\ & \dots ,\\ a_{m,1}{c}_1+a_{m,2}{c}_2+\cdots +a_{m,n}{c}_n& =b_m.\end{array}$$那么, 若 $i\ne q$, 则$$\begin{array}{rl}& a_{i,1}^{\prime }{c}_1+a_{i,2}^{\prime }{c}_2+\cdots +a_{i,n}^{\prime }{c}_n\\ =& a_{i,1}{c}_1+a_{i,2}{c}_2+\cdots +a_{i,n}{c}_n\\ =& b_i\\ =& b_i^{\prime };\end{array}$$若 $i=q$, 则$$\begin{array}{rl}& a_{i,1}^{\prime }{c}_1+a_{i,2}^{\prime }{c}_2+\cdots +a_{i,n}^{\prime }{c}_n\\ =& (a_{q,1}+s{a}_{p,1})c_1+(a_{q,2}+s{a}_{p,2})c_2+\cdots +(a_{q,n}+s{a}_{p,n})c_n\\ =& (a_{q,1}{c}_1+a_{q,2}{c}_2+\cdots +a_{q,n}{c}_n)+s(a_{p,1}{c}_1+a_{p,2}{c}_2+\cdots +a_{p,n}{c}_n)\\ =& b_q+s{b}_p\\ =& b_i^{\prime }.\end{array}$$则方程组 (C.42.1) 的解都是方程组 (C.42.2) 的解.

对方程组 (C.42.2), 我们加方程 $p$ 的 $-s$ 倍于方程 $q$, 且不改变其他的方程, 得方程组$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}^{\prime \prime }{x}_1+a_{1,2}^{\prime \prime }{x}_2+\cdots +a_{1,n}^{\prime \prime }{x}_n& =b_1^{\prime \prime },\\ a_{2,1}^{\prime \prime }{x}_1+a_{2,2}^{\prime \prime }{x}_2+\cdots +a_{2,n}^{\prime \prime }{x}_n& =b_2^{\prime \prime },\\ & \dots ,\\ a_{m,1}^{\prime \prime }{x}_1+a_{m,2}^{\prime \prime }{x}_2+\cdots +a_{m,n}^{\prime \prime }{x}_n& =b_m^{\prime \prime },\end{array}$$(C.42.3)其中, $$\begin{array}{r}{a}_{i,j}^{\prime \prime }=\{\begin{array}{ll}{a}_{i,j}^{\prime },& i\ne q;\\ a_{q,j}^{\prime }+(-s)a_{p,j}^{\prime },& i=q,\end{array}\end{array}$$且$$\begin{array}{r}{b}_i^{\prime \prime }=\{\begin{array}{ll}{b}_i^{\prime },& i\ne q;\\ b_q^{\prime }+(-s)b_p^{\prime },& i=q.\end{array}\end{array}$$则当 $i\ne q$ 时, $$\begin{array}{rl}{a}_{i,j}^{\prime \prime }& =a_{i,j}^{\prime }=a_{i,j},\\ b_i^{\prime \prime }& =b_i^{\prime }=b_i,\end{array}$$且当 $i=q$ 时, $$\begin{array}{rl}{a}_{i,j}^{\prime \prime }& =a_{q,j}^{\prime }-s{a}_{p,j}^{\prime }=a_{q,j}+s{a}_{p,j}-s{a}_{p,j}=a_{i,j},\\ b_i^{\prime \prime }& =b_q^{\prime }-s{b}_p^{\prime }=b_q+s{b}_p-s{b}_p=b_i.\end{array}$$故方程组 (C.42.3) 就是方程组 (C.42.1). 那么, 由前面的讨论, 方程组 (C.42.2) 的解都是方程组 (C.42.3) 的解, 即方程组 (C.42.1) 的解.

证完.

考虑线性方程组$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n& =b_1,\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n& =b_2,\\ & \dots ,\\ a_{m,1}{x}_1+a_{m,2}{x}_2+\cdots +a_{m,n}{x}_n& =b_m.\end{array}$$(C.42.4)我们说, 它跟 $m\times (n+1)$ 阵$$G=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \cdots & a_{1,n}& b_1\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \cdots & a_{2,n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m,1}& a_{m,2}& \cdots & a_{m,n}& b_m\end{array}\right]$$(C.42.5)对应: 给定线性方程组 (C.42.4), 我们能以 $m\times (n+1)$ 阵表示它, 且反过来, 给定 $m\times (n+1)$ 阵 (C.42.5), 我们能还原它为线性方程组 (C.42.4). 并且, 对线性方程组 (C.42.4), 加方程 $p$ 的 $s$ 倍于方程 $q$ ($q\ne p$), 且不改变其他的方程, 相当于对阵 (C.42.5), 加行 $p$ 的 $s$ 倍于行 $q$ ($q\ne p$), 且不改变其他的行.

我们知道, 我们可用行的倍加, 变一个阵为一个 REF 阵. 设我们用行的倍加, 变阵 (C.42.5) 为 REF 阵$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccccccc}& a_{1,k_1}^{\prime }& \cdots & a_{1,k_2}^{\prime }& \cdots & a_{1,k_r}^{\prime }& \cdots & b_1^{\prime }\\ & 0& \cdots & a_{2,k_2}^{\prime }& \cdots & a_{2,k_r}^{\prime }& \cdots & b_2^{\prime }\\ \mathsf{O}& ⋮& & ⋮& & ⋮& \cdots & ⋮\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & a_{r,k_r}^{\prime }& \cdots & b_r^{\prime }\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & b_{r+1}^{\prime }\\ & & & & \mathsf{O}& & & \end{array}\right],\end{array}$$其中, $\mathsf{O}$ 表示可能出现的 $0$; 具体地, 存在不高于 $m$ 的非负整数 $r$, 使$$\begin{array}{rl}\mathrm{pivot}(G^{\prime };i)=k_i⩽n,& \text{i=1, 2, …, r};\\ \mathrm{pivot}(G^{\prime };i)<\mathrm{pivot}(G^{\prime };i+1),& \text{i=1, …, r−1};\\ \mathrm{pivot}(G^{\prime };r+1)=& \{\begin{array}{ll}n+1,& b_{r+1}^{\prime }\ne 0;\\ \infty ,& b_{r+1}^{\prime }=0;\end{array}\\ \mathrm{pivot}(G^{\prime };i)=\infty ,& \text{i>r+1}.\end{array}$$(注意, 若 $r=m$, 则行 $r+1$, $r+2$, $\dots$ 当然不出现.) 则方程组 (C.42.4) 被相应地变为$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,k_1}^{\prime }{x}_{k_1}+\sum _{k_1<j⩽n}{a}_{1,j}^{\prime }{x}_j& =b_1^{\prime },\\ a_{2,k_2}^{\prime }{x}_{k_2}+\sum _{k_2<j⩽n}{a}_{2,j}^{\prime }{x}_j& =b_2^{\prime },\\ & \dots ,\\ a_{r,k_r}^{\prime }{x}_{k_r}+\sum _{k_r<j⩽n}{a}_{r,j}^{\prime }{x}_j& =b_r^{\prime },\\ 0& =b_{r+1}^{\prime },\\ 0& =0,\\ & \dots ,\\ 0& =0,\end{array}$$(C.42.6)其中, $1⩽k_1<k_2<\cdots <k_r⩽n$, 且 $a_{i,k_i}^{\prime }\ne 0$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $r$). (注意, 若 $r=m$, 则方程 $r+1$, $r+2$, $\dots$ 当然不出现.) 由前面的讨论, 方程组 (C.42.6) 与方程组 (C.42.4) 有相同的解.

(1) 设 $b_{r+1}^{\prime }\ne 0$. 则方程组 (C.42.6) 的方程 $r+1$ 是矛盾. 则方程组 (C.42.6) 无解. 则方程组 (C.42.4) 也无解. (注意, 此时必 $r<m$.)

(2) 设 $b_{r+1}^{\prime }=0$ (当 $r<m$), 或 “$0=b_{r+1}^{\prime }$” 不存在 (当 $r=m$).

若 $r=n$, 则 $k_i=i$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $n$). 则方程组 (C.42.6) 形如$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,1}^{\prime }{x}_1+a_{1,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{1,n}^{\prime }{x}_n& =b_1^{\prime },\\ a_{2,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{2,n}^{\prime }{x}_n& =b_2^{\prime },\\ & \dots ,\\ a_{n,n}^{\prime }{x}_n& =b_n^{\prime },\end{array}$$其中, $a_{i,i}^{\prime }\ne 0$. 这里, 我们未写形如 $0=0$ 的方程 (若它们存在), 因为它们是恒等式, 且去除它们不影响方程组的解. 由方程 $n$, 我们有$$\begin{array}{r}{a}_{n,n}^{\prime }{x}_n=b_n^{\prime },x_n=\frac{b_n^{\prime }}{a_{n,n}^{\prime }};\end{array}$$代入它到方程 $n-1$, 我们有$$\begin{array}{r}{a}_{n-1,n-1}^{\prime }{x}_{n-1}+a_{n-1,n}^{\prime }{x}_n=b_{n-1}^{\prime },x_{n-1}=\frac{b_{n-1}^{\prime }-a_{n-1,n}^{\prime }{x}_n}{a_{n-1,n-1}^{\prime }};\end{array}$$…… 最后, 我们有$$\begin{array}{r}{a}_{1,1}^{\prime }{x}_1+a_{1,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{1,n}^{\prime }{x}_n=b_1^{\prime },x_1=\frac{b_1^{\prime }-(a_{1,2}^{\prime }{x}_2+\cdots +a_{1,n}^{\prime }{x}_n)}{a_{1,1}^{\prime }}.\end{array}$$则方程组 (C.42.6) 有唯一的解. 则方程组 (C.42.4) 有唯一的解.

若 $r<n$, 则从 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 去除 $k_1$, $\dots$, $k_r$ 后, 还剩 $n-r$ 个数. 我们从小到大地叫这 $n-r$ 个数为 ${\ell }_1$, $\dots$, ${\ell }_{n-r}$. 于是, 我们移含 $x_{{\ell }_1}$, $\dots$, $x_{{\ell }_{n-r}}$ 的项到右侧, 有$$\{\begin{array}{rl}{a}_{1,k_1}^{\prime }{x}_{k_1}+a_{1,k_2}^{\prime }{x}_{k_2}+\cdots +a_{1,k_r}^{\prime }{x}_{k_r}& =b_1^{\prime }-(a_{1,{\ell }_1}^{\prime }{x}_{{\ell }_1}+\cdots +a_{1,{\ell }_{n-r}}^{\prime }{x}_{{\ell }_{n-r}}),\\ a_{2,k_2}^{\prime }{x}_{k_2}+\cdots +a_{2,k_r}^{\prime }{x}_{k_r}& =b_2^{\prime }-(a_{2,{\ell }_1}^{\prime }{x}_{{\ell }_1}+\cdots +a_{2,{\ell }_{n-r}}^{\prime }{x}_{{\ell }_{n-r}}),\\ & \dots ,\\ a_{r,k_r}^{\prime }{x}_{k_r}& =b_r^{\prime }-(a_{r,{\ell }_1}^{\prime }{x}_{{\ell }_1}+\cdots +a_{r,{\ell }_{n-r}}^{\prime }{x}_{{\ell }_{n-r}}),\end{array}$$其中, $a_{i,k_i}^{\prime }\ne 0$. 这里, 我们未写形如 $0=0$ 的方程 (若它们存在). 选取 $x_{{\ell }_1}$, $\dots$, $x_{{\ell }_{n-r}}$ 后, 我们可类似地, 从后向前地确定 $x_{k_r}$, $x_{k_{r-1}}$, $\dots$, $x_{k_1}$:$$\begin{array}{rl}{x}_{k_i}& =\frac{1}{a_{i,k_i}^{\prime }}\left(b_i^{\prime }-\sum _{1⩽v⩽n-r}{a}_{i,{\ell }_v}^{\prime }{x}_{{\ell }_v}-\sum _{i<w⩽r}{a}_{i,k_w}^{\prime }{x}_{k_w}\right),\text{i=r, r−1, …, 1}.\end{array}$$(这里, 注意, 若 $i=r$, 则$$\begin{array}{r}-\sum _{i<w⩽r}{a}_{i,k_w}^{\prime }{x}_{k_w}\end{array}$$被认为是 $0$.) 注意, $x_{{\ell }_1}$, $\dots$, $x_{{\ell }_{n-r}}$ 可取任何数. 则方程组 (C.42.6) 有不唯一的解. 则方程组 (C.42.4) 也有不唯一的解.

注意, $r>n$ 是不可能的, 因为 $r⩽k_r⩽n$. (注意, $1⩽k_1<k_2<\cdots <k_r⩽n$, 故 $n⩾k_r⩾k_{r-1}+1⩾\cdots ⩾r_1+r-1⩾1+r-1=r$.)

综上, 我们有

定理 C.42.8. 考虑线性方程组 (C.42.4). 通过若干次 “加一个方程的倍于另一个方程” 的行为, 我们可变方程组 (C.42.4) 为方程组 (C.42.6), 且它们有相同的解.

(1) 若 $b_{r+1}^{\prime }\ne 0$, 则方程组 (C.42.4) 无解.

(2) 若 $b_{r+1}^{\prime }=0$ (或 “$0=b_{r+1}^{\prime }$” 不存在), 则方程组 (C.42.4) 有解. 进一步地, 若 $r=n$, 则方程组 (C.42.4) 有唯一的解; 若 $r<n$, 则方程组 (C.42.4) 有不唯一的解. ($r>n$ 是不可能的.)

现在, 我们考虑 REF 阵的秩.

定理 C.42.9. 设 $F$ 是 REF 阵. 设 $F$ 有 $r$ 个非零行. 则 $\mathrm{rank}(F)=r$.

证. 我们知道, $\mathrm{pivot}(F;1)<\mathrm{pivot}(F;2)<\cdots <\mathrm{pivot}(F;r)<\infty$, 且对高于 $r$ 的 $i$, $F$ 的行 $i$ 是 $0$. 记 $k_i=\mathrm{pivot}(F;i)$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $r$). 则 $[F{]}_{i,k_i}\ne 0$. 则 $F$ 有行列式非零的 $r$ 级子阵, 因为$$\begin{array}{rl}\det \left(F\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\dots ,r}{k_1,k_2,\dots ,k_r}\right)\right)=& \det \left[\begin{array}{cccc}[F{]}_{1,k_1}& [F{]}_{1,k_2}& \cdots & [F{]}_{1,k_r}\\ 0& [F{]}_{2,k_2}& \cdots & [F{]}_{2,k_r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & [F{]}_{r,k_r}\end{array}\right]\\ =& [F{]}_{1,k_1}\dots [F{]}_{r,k_r}\\ \ne & 0.\end{array}$$然后, $F$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 若 $F$ 没有 $r+1$ 级子阵, 则 $F$ 当然没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 设 $F$ 有 $r+1$ 级子阵. 那么, 在 $F$ 的任何 (不同的) $r+1$ 行, 必存在一行, 其是 $0$. (因为当 $u$ 不等于 $1$, $2$, $\dots$, $r$ 的任何一个时, $F$ 的行 $u$ 是 $0$.) 则 $F$ 的任何 $r+1$ 级子阵必有一行, 其是 $0$. 则它的行列式为 $0$. 则 $\mathrm{rank}(F)=r$.

证完.

于是, 若我们用行的倍加变 $A$ 为 REF 阵 $F$, 则 $A$ 的秩是 $F$ 的非零行的数目, 因为 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(F)$.

定理 C.42.10. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 作 $m\times (n+1)$ 阵 $G$ 如下: $$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,1},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$

(1) 设用若干次行的倍加, 我们可变 $G$ 为 REF 阵$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccccccc}& [G^{\prime }{]}_{1,k_1}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,k_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,n+1}\\ & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,k_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,n+1}\\ \mathsf{O}& ⋮& & ⋮& & ⋮& \cdots & ⋮\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r,n+1}\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}\\ & & & & \mathsf{O}& & & \end{array}\right],\end{array}$$其中, $\mathsf{O}$ 表示可能出现的 $0$, $1⩽k_1<k_2<\cdots <k_r⩽n$, 且 $[G^{\prime }{]}_{i,k_i}\ne 0$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $r$). ($[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$ 可能不存在.) 则由 $G^{\prime }$ 的前 $n$ 列作成的 $m\times n$ 阵 $A^{\prime }$ 也是 REF 阵, 且这些行的倍加可变 $A$ 为 $A^{\prime }$.

(2) $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\prime })=r$, 且 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(G^{\prime })$.

(3) $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}\ne 0$ 对应 $\mathrm{rank}(G^{\prime })>\mathrm{rank}(A^{\prime })$, 即 $\mathrm{rank}(G)>\mathrm{rank}(A)$.

(4) $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}=0$ (或 “$[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$” 不存在) 对应 $\mathrm{rank}(G^{\prime })=\mathrm{rank}(A^{\prime })$, 即 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(A)$.

证. (1) 我们知道, 我们可用若干次行的倍加, 变 $G$ 为 REF 阵 $G^{\prime }$. 则存在非负整数 $u$, 使$$\begin{array}{r}\mathrm{pivot}(G^{\prime };1)<\mathrm{pivot}(G^{\prime };2)<\cdots <\mathrm{pivot}(G^{\prime };u-1)<\mathrm{pivot}(G^{\prime };u)<\infty ,\end{array}$$且对 $i>u$, $G^{\prime }$ 的行 $i$ 是 $0$. 记 $\mathrm{pivot}(G^{\prime };i)={\ell }_i$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $u$).

若 ${\ell }_u=n+1$, 则 $G^{\prime }$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccccc}& [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_1}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_{u-1}}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,n+1}\\ & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,{\ell }_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,{\ell }_{u-1}}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,n+1}\\ \mathsf{O}& ⋮& & ⋮& & ⋮& \cdots & ⋮\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{u-1,{\ell }_{u-1}}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{u-1,n+1}\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{u,n+1}\\ & & & & \mathsf{O}& & & \end{array}\right],\end{array}$$其中, $\mathsf{O}$ 表示可能出现的 $0$, 下同. 记 $r=u-1$, 且 $k_i={\ell }_i$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $u-1$).

若 ${\ell }_u⩽n$, 则 $G^{\prime }$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccccc}& [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_1}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,{\ell }_u}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,n+1}\\ & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,{\ell }_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,{\ell }_u}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,n+1}\\ \mathsf{O}& ⋮& & ⋮& & ⋮& \cdots & ⋮\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{u,{\ell }_u}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{u,n+1}\\ & & & & \mathsf{O}& & & \end{array}\right]\end{array}$$记 $r=u$, 且 $k_i={\ell }_i$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $u$).

于是, 统一地, $G^{\prime }$ 形如$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cccccccc}& [G^{\prime }{]}_{1,k_1}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,k_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{1,n+1}\\ & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,k_2}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{2,n+1}\\ \mathsf{O}& ⋮& & ⋮& & ⋮& \cdots & ⋮\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r,k_r}& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r,n+1}\\ & 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & [G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}\\ & & & & \mathsf{O}& & & \end{array}\right],\end{array}$$其中, $1⩽k_1<k_2<\cdots <k_r⩽n$, 且 $[G^{\prime }{]}_{i,k_i}\ne 0$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $r$). ($[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$ 可能不存在.)

设 $A^{\prime }$ 是由 $G^{\prime }$ 的前 $n$ 列作成的 $m\times n$ 阵. 则 $\mathrm{pivot}(A^{\prime };i)=\mathrm{pivot}(G^{\prime };i)$ ($i=1$, $2$, $\dots$, $r$), 且对 $i>u$, $A^{\prime }$ 的行 $i$ 是 $0$. 则 $A^{\prime }$ 是 REF 阵.

设形如 $E(m;p,q;s)$ ($p\ne q$) 的阵 $E_1$, $E_2$, $\dots$, $E_w$ 使$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=E_w(\dots (E_2(E_{1}G))).\end{array}$$记 $P=E_w\dots E_2{E}_1$. 则 $G^{\prime }=PG$. 设 $G$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$, $n+1$ 是 $g_1$, $g_2$, $\dots$, $g_n$, $g_{n+1}$. 注意, $g_j$ 也是 $A$ 的列 $j$ ($j=1$, $2$, $\dots$, $n$). 则$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=[P{g}_1,P{g}_2,\dots ,P{g}_n,P{g}_{n+1}].\end{array}$$则$$\begin{array}{r}{A}^{\prime }=[P{g}_1,P{g}_2,\dots ,P{g}_n]=P[g_1,g_2,\dots ,g_n]=PA.\end{array}$$则$$\begin{array}{r}{A}^{\prime }=E_w(\dots (E_2(E_{1}A))).\end{array}$$

(2) 倍加不改变秩. 注意, $A^{\prime }$ 有 $r$ 个非零行.

(3) (4) 若 $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}\ne 0$, 则 $G^{\prime }$ 有 $r+1$ 个非零行. 则 $\mathrm{rank}(G^{\prime })>\mathrm{rank}(A^{\prime })$.

若 $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}=0$ (或 “$[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$” 不存在), 则 $G^{\prime }$ 有 $r$ 个非零行. 则 $\mathrm{rank}(G^{\prime })=\mathrm{rank}(A^{\prime })$.

若 $\mathrm{rank}(G^{\prime })>\mathrm{rank}(A^{\prime })$, 则 $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$ 不能是 $0$ (若不然, 则 $\mathrm{rank}(G^{\prime })=\mathrm{rank}(A^{\prime })$; 这是矛盾).

若 $\mathrm{rank}(G^{\prime })=\mathrm{rank}(A^{\prime })$, 则 “$[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}$” 不存在, 或 $[G^{\prime }{]}_{r+1,n+1}=0$ (若不然, 则 $\mathrm{rank}(G^{\prime })>\mathrm{rank}(A^{\prime })$; 这是矛盾).

证完.

综上, 我们能用 REF 阵判断线性方程组是否有解, 判断线性方程组的解是否唯一 (若解存在), 解线性方程组 (若解存在), 且求阵的秩. 用行的倍加变阵为 REF 阵或许比求它的子阵的行列式简单.

例 C.42.11. 解线性方程组$$\{\begin{array}{rl}0x_1+1x_2+1x_3+1x_4+1x_5& =17,\\ 1x_1+0x_2+1x_3+1x_4+1x_5& =15,\\ 1x_1+1x_2+0x_3+1x_4+1x_5& =14,\\ 1x_1+1x_2+1x_3+0x_4+1x_5& =12,\\ 1x_1+1x_2+1x_3+1x_4+0x_5& =10.\end{array}$$(C.42.7)

记$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1& 0\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}17\\ 15\\ 14\\ 12\\ 10\end{array}\right].\end{array}$$则方程组 (C.42.7) 相当于 $AX=B$.

线性方程组 (C.42.7) 对应 $5\times (5+1)$ 阵$$\begin{array}{r}G=[A,B]=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 1& 1& 1& 17\\ 1& 0& 1& 1& 1& 15\\ 1& 1& 0& 1& 1& 14\\ 1& 1& 1& 0& 1& 12\\ 1& 1& 1& 1& 0& 10\end{array}\right].\end{array}$$由前面的例, 我们可用行的倍加, 变 $G$ 为$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccccc}4& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 0& -2\\ 0& 0& -1& 0& 0& -3\\ 0& 0& 0& -1& 0& -5\\ 0& 0& 0& 0& -1& -7\end{array}\right].\end{array}$$设 $A^{\prime }$ 是由 $G^{\prime }$ 的前 $5$ 列作成的阵. 则 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(G^{\prime })=\mathrm{rank}(A^{\prime })=\mathrm{rank}(A)=5$. 故方程组 (C.42.7) 有解. 因为 $A$ 的秩等于 $A$ 的列数, 方程组 (C.42.7) 有唯一的解.

$G^{\prime }$ 对应线性方程组$$\{\begin{array}{rl}4x_1& =0,\\ -x_2& =-2,\\ -x_3& =-3,\\ -x_4& =-5,\\ -x_5& =-7.\end{array}$$它与方程组 (C.42.7) 有相同的解. 由此, 我们可解得 $x_1=0$, $x_2=2$, $x_3=3$, $x_4=5$, $x_5=7$.

由上面的计算, 我们看出, $\det (A)=\det (A^{\prime })=4\cdot (-1{)}^4=4$. 于是, 理论地, 我们也可用 Cramer 公式解线性方程组 (C.42.7). 不过, 计算行列式不是简单的事情: 若我们用 Cramer 公式 1, $$\begin{array}{r}X=(\det (A){)}^{-1}\mathrm{adj}(A)B,\end{array}$$则我们要计算 $5\cdot 5=25$ 个 $4$ 级阵的行列式; 若我们用 Cramer 公式 2, $$\begin{array}{r}{x}_i=\frac{\det (A\{i,B\})}{\det (A)},i=1,2,3,4,5\end{array}$$(其中, $A\{i,B\}$ 是以 $B$ 代阵 $A$ 的列 $i$ 后得到的阵), 则我们要计算 $5$ 个 $5$ 级阵的行列式.

例 C.42.12. 设 $k$ 是参数. 考虑由 $3$ 个关于 $x$, $y$ 的 $2$ 元 $1$ 次方程作成的方程组$$\{\begin{array}{rlrlr}1x& +& ky& =& 1,\\ kx& +& 1y& =& 1,\\ (-k^2+k+1)x& +& 1y& =& k^2-2k+2,\end{array}$$(C.42.8)若方程组 (C.42.8) 有解, $k$ 应适合什么条件? 反过来, 当 $k$ 适合什么条件时, 方程组 (C.42.8) 有解? 当方程组 (C.42.8) 有解时, 求它的解.

记$$\begin{array}{r}A=\left[\begin{array}{cc}1& k\\ k& 1\\ -k^2+k+1& 1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ k^2-2k+2\end{array}\right].\end{array}$$则方程组 (C.42.8) 相当于 $AX=B$.

线性方程组 (C.42.8) 对应 $3\times (2+1)$ 阵$$\begin{array}{r}G=[A,B]=\left[\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ k& 1& 1\\ -k^2+k+1& 1& k^2-2k+2\end{array}\right].\end{array}$$加行 $1$ 的 $-k$ 倍于行 $2$, 且加行 $1$ 的 $-(k^2+k+1)$ 倍于行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ 0& 1-k^2& 1-k\\ 0& (1-k^2)(1-k)& (1-k)(1-2k)\end{array}\right].\end{array}$$加行 $2$ 的 $k-1$ 倍于行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ 0& 1-k^2& 1-k\\ 0& 0& k^2-k\end{array}\right]=H.\end{array}$$注意, $H$ 不一定是 REF 阵, 因为 $k$ 是参数. 我们要分类讨论.

设 $1-k^2\ne 0$. 则 $H$ 是 REF 阵. 设 $G^{\prime }=H$. 设 $A^{\prime }$ 是由 $G^{\prime }$ 的前 $2$ 列作成的阵. 则 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\prime })=2$. 注意, $$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(G)=& \mathrm{rank}(G^{\prime })\\ =& \{\begin{array}{ll}2,& \text{k2−k=0, 且 1−k2=0};\\ 3,& \text{k2−k=0, 且 1−k2=0}\end{array}\\ =& \{\begin{array}{ll}2,& k=0;\\ 3,& \text{k=0 且 k=1 且 k=−1}.\end{array}\end{array}$$所以, 当 $1-k^2\ne 0$ 时, 若方程组 (C.42.8) 有解, 必 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(A)$, 即 $k=0$. 反过来, 当 $k=0$ 时, $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(A)$, 故方程组 (C.42.8) 有解. 因为 $A$ 的秩等于 $A$ 的列数, 则当 $k=0$ 时, 方程组 (C.42.8) 有唯一的解.

进一步地, 当 $k=0$ 时, $G^{\prime }$ 对应线性方程组$$\{\begin{array}{rl}x& =1,\\ y& =1,\\ 0& =0.\end{array}$$它与方程组 (C.42.8) (其中, $k=0$) 有相同的解. 则 $x=1$, $y=1$.

设 $1-k^2=0$. 则 $k=1$, 或 $k=-1$. 则$$\begin{array}{r}H=\left[\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ 0& 0& 1-k\\ 0& 0& 1-k\end{array}\right].\end{array}$$加行 $2$ 的 $-1$ 倍于行 $3$, 得$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ 0& 0& 1-k\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=G^{\prime }.\end{array}$$$G^{\prime }$ 是 REF 阵. 设 $A^{\prime }$ 是由 $G^{\prime }$ 的前 $2$ 列作成的阵. 则 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\prime })=1$. 注意, $$\begin{array}{r}\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(G^{\prime })=\{\begin{array}{ll}1,& k=1;\\ 2,& k=-1.\end{array}\end{array}$$所以, 当 $1-k^2=0$ 时, 若方程组 (C.42.8) 有解, 必 $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(A)$, 即 $k=1$. 反过来, 当 $k=1$ 时, $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(A)$, 故方程组 (C.42.8) 有解. 因为 $A$ 的秩小于 $A$ 的列数, 则当 $k=1$ 时, 方程组 (C.42.8) 有不唯一的解.

进一步地, 当 $k=1$ 时, $G^{\prime }$ 对应线性方程组$$\{\begin{array}{rl}x+y& =1,\\ 0& =0,\\ 0& =0.\end{array}$$它与方程组 (C.42.8) (其中, $k=1$) 有相同的解. 则 $x=1-c$, $y=c$, 其中, $c$ 是任何数.