C.41. 线性方程组与秩

本节, 我们讨论线性方程组与阵的秩.

回想, 线性方程组是形如 $AX=B$ 的阵等式, 其中, $A$, $B$ 是 $m\times n$, $m\times 1$ 阵, 且 $X$ 是未知的 $n\times 1$ 阵. 若 $n\times 1$ 阵 $C$ 适合 $AC=B$, 则 $C$ 是 $AX=B$ 的一个解.

在第一章, 节 27, 我们有

定理 C.41.1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times 1$ 阵. 作一个 $m\times (n+1)$ 阵 $G$, 其中, $$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,1},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$(通俗地, 在 $A$ 的最后一列的右侧加入一列 $B$, 得到尺寸较大的阵 $G$.) 设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(1) 若 $G$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $AX=B$ 有解. 进一步地, 若 $r<n$, 则 $AX=B$ 的解不唯一; 若 $r=n$, 则 $AX=B$ 的解唯一.

(2) 若 $G$ 有一个行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $AX=B$ 无解.

本节, 我们推广此事, 且定义与讨论阵的秩.

我们说, 行列式是方阵的一个重要的属性. 不过, 不是方阵的阵没有行列式, 故行列式不是不是方阵的阵的属性. 但是, 秩是每一个阵都有的一个重要的属性.

定理 C.41.2. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $B$ 是 $m\times t$ 阵. 作 $m\times (n+t)$ 阵 $G$, 其中, $$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,j-n},& j>n.\end{array}\end{array}$$设 $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(1) 设存在 $n\times t$ 阵 $C$, 使 $AC=B$. 则 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

(2) 反过来, 设 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 则存在 $n\times t$ 阵 $C$, 使 $AC=B$. 进一步地, 若 $r<n$, 则这样的 $C$ 不唯一; 若 $r=n$, 则这样的 $C$ 唯一.

注意, 若我们取 $t=1$, 则这就是上个定理.

证. (1) 设 $n\times t$ 阵 $C$ 使 $AC=B$.

若 $G$ 没有 $r+1$ 级子阵, 则 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

下设 $G$ 有 $r+1$ 级子阵. 则 $r+1⩽m$, 且 $r+1⩽n+t$.

作 $n\times (n+t)$ 阵 $H$, 其中, $$\begin{array}{r}[H{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[I_n{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [C{]}_{i,j-n},& j>n.\end{array}\end{array}$$则 $AH$ 是 $n\times (n+t)$ 阵. 当 $j⩽n$ 时, $$\begin{array}{rl}[AH{]}_{i,j}=& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[H{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[I_n{]}_{\ell ,j}\\ =& [A{I}_n{]}_{i,j}\\ =& [A{]}_{i,j}\\ =& [G{]}_{i,j};\end{array}$$当 $j>n$ 时, $$\begin{array}{rl}[AH{]}_{i,j}=& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[H{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,j-n}\\ =& [AC{]}_{i,j-n}\\ =& [B{]}_{i,j-n}\\ =& [G{]}_{i,j}.\end{array}$$则 $AH=G$.

设 $1⩽i_1<i_2<\cdots <i_{r+1}⩽m$. 设 $1⩽j_1<j_2<\cdots <j_{r+1}⩽n+t$. 作 $G$ 的一个 $r+1$ 级子阵$$\begin{array}{r}{G}^{\prime }=G\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_{r+1}}{j_1,j_2,\dots ,j_{r+1}}\right).\end{array}$$我们证明, $\det (G^{\prime })=0$.

考虑$$\begin{array}{r}{A}^{\prime }=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_{r+1}}{1,2,\dots ,n}\right),H^{\prime }=H\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\dots ,n}{j_1,j_2,\dots ,j_{r+1}}\right).\end{array}$$则 $[A^{\prime }{]}_{u,v}=[A{]}_{i_u,v}$, 且 $[H^{\prime }{]}_{u,v}=[H{]}_{u,j_v}$. 则 $A^{\prime }{H}^{\prime }$ 是 $r+1$ 级阵. 注意, $[G^{\prime }{]}_{u,v}=[G{]}_{i_u,j_v}$. 注意, $$\begin{array}{rl}[A^{\prime }{H}^{\prime }{]}_{u,v}=& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A^{\prime }{]}_{u,\ell }[H^{\prime }{]}_{\ell ,v}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i_u,\ell }[H{]}_{\ell ,j_v}\\ =& [AH{]}_{i_u,j_v}\\ =& [G{]}_{i_u,j_v}\\ =& [G^{\prime }{]}_{u,v}.\end{array}$$则 $A^{\prime }{H}^{\prime }=G^{\prime }$.

设 $A^{\prime }$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $n$ 分别是 $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$. 设 $H^{\prime }$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $r+1$ 分别是 $h_1$, $h_2$, $\dots$, $h_{r+1}$. 则$$\begin{array}{rl}{G}^{\prime }=& A^{\prime }{H}^{\prime }\\ =& [A^{\prime }{h}_1,A^{\prime }{h}_2,\dots ,A^{\prime }{h}_{r+1}]\\ =& \left[\sum _{k_1=1}^n[h_1{]}_{k_1,1}{a}_{k_1},\sum _{k_2=1}^n[h_2{]}_{k_2,1}{a}_{k_2},\dots ,\sum _{k_{r+1}=1}^n[h_{r+1}{]}_{k_{r+1},1}{a}_{k_{r+1}}\right]\\ =& \left[\sum _{k_1=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_1,1}{a}_{k_1},\sum _{k_2=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_2,2}{a}_{k_2},\dots ,\sum _{k_{r+1}=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}{a}_{k_{r+1}}\right].\end{array}$$由行列式的多线性, $$\begin{array}{rl}& \det (G^{\prime })\\ =& \det \left[\sum _{k_1=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_1,1}{a}_{k_1},\sum _{k_2=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_2,2}{a}_{k_2},\dots ,\sum _{k_{r+1}=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}{a}_{k_{r+1}}\right]\\ =& \sum _{k_1=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_1,1}\det \left[a_{k_1},\sum _{k_2=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_2,2}{a}_{k_2},\dots ,\sum _{k_{r+1}=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}{a}_{k_{r+1}}\right]\\ =& \sum _{k_1=1}^n\sum _{k_2=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_1,1}[H^{\prime }{]}_{k_2,2}\det \left[a_{k_1},a_{k_2},\dots ,\sum _{k_{r+1}=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}{a}_{k_{r+1}}\right]\\ =& \dots \\ =& \sum _{k_1=1}^n\sum _{k_2=1}^n\cdots \sum _{k_{r+1}=1}^n[H^{\prime }{]}_{k_1,1}[H^{\prime }{]}_{k_2,2}\dots [H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}\det [a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}]\\ =& \sum _{1⩽k_1,k_2,\dots ,k_{r+1}⩽n}[H^{\prime }{]}_{k_1,1}[H^{\prime }{]}_{k_2,2}\dots [H^{\prime }{]}_{k_{r+1},r+1}\det [a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}].\end{array}$$

若在 $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_{r+1}$, 有二个数相同, 则 $[a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}]$ 有相同的二列. 由行列式的交错性, $\det [a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}]=0$.

若 $k_1$, $k_2$, $\dots$, $k_{r+1}$ 互不相同 (注意, 此时, $n⩾r+1$), 我们适当地交换 $[a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}]$ 的列的次序, 以变它为 $A^{\prime }$ 的一个 $r+1$ 级子阵, 其当然是 $A$ 的一个 $r+1$ 级子阵. 由行列式的反称性, $$\begin{array}{rl}\det [a_{k_1},a_{k_2},\dots ,a_{k_{r+1}}]=& \pm \det \left(A^{\prime }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\dots ,r+1}{k_1,k_2,\dots ,k_{r+1}}\right)\right)\\ =& \pm \det \left(A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_{r+1}}{k_1,k_2,\dots ,k_{r+1}}\right)\right)\\ =& 0.\end{array}$$于是, $\det (G^{\prime })$ 是一些 $0$ 的和. 则 $\det (G^{\prime })=0$.

(2) 设 $G$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

设 $B$ 的列 $1$, $2$, $\dots$, $t$ 分别是 $b_1$, $b_2$, $\dots$, $b_t$. 作 $t$ 个 $m\times (n+1)$ 阵 $G_v$ ($v=1$, $2$, $\dots$, $t$): $$\begin{array}{r}[G_v{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [b_v{]}_{i,1}=[B{]}_{i,v},& j=n+1.\end{array}\end{array}$$不难看出, $G_v$ 是 $G$ 的子阵, 故 $G_v$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 则由上个定理, 存在 $n\times 1$ 阵 $c_v$, 使 $A{c}_v=b_v$.

作 $n\times t$ 阵 $C=[c_1,c_2,\dots ,c_t]$. 则 $AC$ 是 $m\times t$ 阵, 且$$\begin{array}{rl}[AC{]}_{i,j}=& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[C{]}_{\ell ,j}\\ =& \sum _{1⩽\ell ⩽n}[A{]}_{i,\ell }[c_j{]}_{\ell ,1}\\ =& [A{c}_j{]}_{i,1}\\ =& [b_j{]}_{i,1}\\ =& [B{]}_{i,j}.\end{array}$$则 $AC=B$.

注意, 若 $r<n$, 则, 由上个定理, 存在 $n\times 1$ 阵 $c_1^{\prime }$, 使 $c_1^{\prime }\ne c_1$, 且 $A{c}_1^{\prime }=b_1$. 再作 $C^{\prime }=[c_1^{\prime },c_2,\dots ,c_t]$. 则我们可类似地证明, $A{C}^{\prime }=B$. 不过, $C^{\prime }$ 当然不等于 $C$, 因为 $C^{\prime }$ 与 $C$ 的列 $1$ 不相等. 于是, 若 $r<n$, 则适合 $AC=B$ 的 $C$ 不唯一.

最后, 注意, 若 $r=n$, 则 $m\times n$ 阵 $A$ 有行列式非零的 $n$ 级子阵. 设 $n\times t$ 阵 $P$, $Q$ 适合, $AP=B$, 且 $AQ=B$. 则 $AP=AQ$. 由消去律, $P=Q$ (见 “消去律”). 于是, 若 $r=n$, 则适合 $AC=B$ 的 $C$ 唯一.

证完.

由此可见, 对一个阵, “有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 但没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵” 的 $r$ 或许是重要的属性. 我们定义

定义 C.41.3. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 则存在唯一的非负整数 $r$, 使 (见第一章, 节 25):

(1) $A$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵;

(2) $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

我们定义 $A$ 的秩, $\mathrm{rank}(A)$, 为 $r$.

注意, 若 $A=0$, 则 $r=0$ (因为我们约定, “$0$ 级阵” 的行列式为 $1$).

回想, 若 $A$ 是 $m\times n$ 阵, 且 $B$ 是 $m\times t$ 阵, 则 $[A,B]$ 是 $m\times (n+t)$ 阵 $G$, 其中,$$\begin{array}{r}[G{]}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}[A{]}_{i,j},& j⩽n;\\ [B{]}_{i,j-n},& j>n.\end{array}\end{array}$$则我们可如此改写上个定理的 (1):

定理 C.41.4. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $C$ 是 $n\times t$ 阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{rank}([A,AC])=\mathrm{rank}(A).\end{array}$$

证. 设 $r=\mathrm{rank}(A)$. 则 $A$ 有行列式非零的 $r$ 级子阵, 且 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. $A$ 是 $[A,AC]$ 的子阵, 故 $[A,AC]$ 也有行列式非零的 $r$ 级子阵. 由上个定理的 (1), $[A,AC]$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 则 $\mathrm{rank}([A,AC])=r$.

证完.

定理 C.41.5. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 则 $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A^{\mathrm{T}})$.

证. 注意, $A^{\mathrm{T}}$ 的子阵是 $A$ 的某子阵的转置, 且 $(A^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=A$ 的子阵也是 $A^{\mathrm{T}}$ 的某子阵的转置. 于是, 若 $A$ 有行列式非零的 $r$ 级子阵, 则 $A^{\mathrm{T}}$ 也有行列式非零的 $r$ 级子阵, 且若 $A$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵, 则 $A^{\mathrm{T}}$ 也没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵.

证完.

定理 C.41.6. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $C$ 是 $n\times t$ 阵. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{rank}(AC)⩽\mathrm{rank}(A).\end{array}$$

证 1. 设 $r=\mathrm{rank}(A)$. 记 $B=AC$. 我们证明, $B$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 若 $B$ 没有 $r+1$ 级子阵, 则 $B$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 若 $B$ 有 $r+1$ 级子阵, 我们任取一个 $r+1$ 级子阵$$\begin{array}{r}{B}^{\prime }=B\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_{r+1}}{j_1,j_2,\dots ,j_{r+1}}\right),\end{array}$$其中, $1⩽i_1<i_2<\dots i_{r+1}⩽m$, 且 $1⩽j_1<j_2<\cdots <j_{r+1}⩽t$, 并证明, $\det (B^{\prime })=0$. 就像前面的讨论那样, 我们考虑$$\begin{array}{r}{A}^{\prime }=A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_{r+1}}{1,2,\dots ,n}\right),C^{\prime }=C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1,2,\dots ,n}{j_1,j_2,\dots ,j_{r+1}}\right).\end{array}$$就像前面的讨论那样, 我们可验证, $A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }$. 于是, 就像前面的讨论那样, 我们可证明, $\det (B^{\prime })=0$. 请允许我留它们为您的习题.

证完.

证 2. 我们用已有的结论. 注意, $AC$ 是 $[A,AC]$ 的子阵, 故 $\mathrm{rank}(AC)⩽\mathrm{rank}([A,AC])$. 则由前面的讨论, $$\mathrm{rank}(AC)⩽\mathrm{rank}([A,AC])=\mathrm{rank}(A).$$证完.

定理 C.41.7. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $C$ 是 $n\times t$ 阵. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(AC)& ⩽\mathrm{rank}(A),\\ \mathrm{rank}(AC)& ⩽\mathrm{rank}(C).\end{array}$$

证. 不等式 1 已被证明. 我们现在证明不等式 2. 注意, $$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(AC)=& \mathrm{rank}((AC{)}^{\mathrm{T}})\\ =& \mathrm{rank}(C^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}})\\ ⩽& \mathrm{rank}(C^{\mathrm{T}})\\ =& \mathrm{rank}(C).\end{array}$$

证完.

定理 C.41.8. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阵. 设 $P$ 是 $n$ 级阵, 且 $\det (P)\ne 0$. 设 $Q$ 是 $m$ 级阵, 且 $\det (Q)\ne 0$. 则$$\begin{array}{r}\mathrm{rank}(QAP)=\mathrm{rank}(A).\end{array}$$

证. 设 $P_1=(\det (P){)}^{-1}\mathrm{adj}(P)$, 且 $Q_1=(\det (Q){)}^{-1}\mathrm{adj}(Q)$. 则 $P{P}_1=I_n$, 且 $Q_{1}Q=I_m$. 则$$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(A)⩾& \mathrm{rank}(AP)\\ ⩾& \mathrm{rank}(QAP)\\ ⩾& \mathrm{rank}(QAP{P}_1)\\ ⩾& \mathrm{rank}(Q_{1}QAP{P}_1)\\ =& \mathrm{rank}((Q_{1}Q)A(P{P}_1))\\ =& \mathrm{rank}(I_{m}A{I}_n)\\ =& \mathrm{rank}(A).\end{array}$$则 $\mathrm{rank}(A)⩾\mathrm{rank}(QAP)⩾\mathrm{rank}(A)$.

证完.

由此可见, 倍加不改变秩: 对 $m\times n$ 阵 $A$,$$\begin{array}{rl}\mathrm{rank}(AE(n;p,q;s))& =\mathrm{rank}(A),\\ \mathrm{rank}(E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime }))& =\mathrm{rank}(A).\end{array}$$(回想, $E(n;p,q;s)E(n;p,q;-s)=I_n$, 且 $E(m;p^{\prime },q^{\prime };-s^{\prime })E(m;p^{\prime },q^{\prime };s^{\prime })=I_m$, 若 $p\ne q$, 且 $p^{\prime }\ne q^{\prime }$.)

例 C.41.9. 设 $m\times n$ 阵 $D$ 适合, 若 $i\ne j$, 则 $[D{]}_{i,j}=0$. 设存在 $r$ 个正整数 $i_1$, $i_2$, $\dots$, $i_r$ ($1⩽i_1<i_2<\cdots <i_r$, 且 $i_r⩽m$, 且 $i_r⩽n$), 使 $[D{]}_{i_k,i_k}\ne 0$ ($k=1$, $\dots$, $r$), 且 $u$ 不等于 $i_1$, $\dots$, $i_r$ 的任何一个时, $[D{]}_{u,u}=0$. 则 $\mathrm{rank}(D)=r$.

首先, $D$ 有一个行列式非零的 $r$ 级子阵, 因为$$\begin{array}{rl}\det \left(D\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i_1,i_2,\dots ,i_r}{i_1,i_2,\dots ,i_r}\right)\right)=& \det \left[\begin{array}{cccc}[D{]}_{i_1,i_1}& 0& \cdots & 0\\ 0& [D{]}_{i_2,i_2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & [D{]}_{i_r,i_r}\end{array}\right]\\ =& [D{]}_{i_1,i_1}\dots [D{]}_{i_r,i_r}\\ \ne & 0.\end{array}$$然后, $D$ 没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 若 $D$ 没有 $r+1$ 级子阵, 则 $D$ 当然没有行列式非零的 $r+1$ 级子阵. 设 $D$ 有 $r+1$ 级子阵. 那么, 在 $D$ 的任何 (不同的) $r+1$ 列, 必存在一列, 其是零. (因为当 $v$ 不等于 $i_1$, $\dots$, $i_r$ 的任何一个时, $[D{]}_{v,v}\ne 0$, 且若 $u\ne v$, 则 $[D{]}_{u,v}\ne 0$. 则当 $v$ 不等于 $i_1$, $\dots$, $i_r$ 的任何一个时, $D$ 的列 $v$ 的元全为 $0$.) 则 $D$ 的任何 $r+1$ 级子阵必有一列, 其是零. 则它的行列式为 $0$. 则 $\mathrm{rank}(D)=r$.

最后, 我们讨论 $n$ 级阵 ($n⩾2$) $A$ 的古伴 $\mathrm{adj}(A)$ 的秩.

若 $\mathrm{rank}(A)=n$, 则 $\det (A)\ne 0$. 则 $\det (\mathrm{adj}(A))=(\det (A){)}^{n-1}\ne 0$. 则 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))=n$.

若 $\mathrm{rank}(A)<n-1$, 则 $A$ 的 $n-1$ 级子阵 $A(j|i)$ 的行列式为 $0$. 则 $\mathrm{adj}(A)=0$. $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))=0$.

有挑战的情形或许是当 $\mathrm{rank}(A)=n-1$ 时. 我们证明, $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))=1$.

证 1. 我们说, 若 $\det (A)=0$, 且 $r>1$, 则 $\mathrm{adj}(A)$ 没有行列式非零的 $r$ 级子阵 (见 “古伴的性质 (2)”). 则 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))⩽1$. 另一方面, 既然 $\mathrm{rank}(A)=n-1$, 则 $A$ 的某 $n-1$ 级子阵的行列式 $\det (A(v|u))\ne 0$. 则 $[\mathrm{adj}(A){]}_{u,v}=(-1{)}^{v+u}\det (A(v|u))\ne 0$. 则 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))⩾1$.

证完.

注意, 倍加不改变秩. 于是, 我们也可考虑用倍加.

证 2. 我们知道, 存在若干个形如 $E(n;p,q;s)$ 的阵 $E_1$, $F_1$, $E_2$, $F_2$, $\dots$, $E_u$, $F_u$, 与若干个形如 $M(n;q^{\prime };s^{\prime })$ 的阵 $M_1$, $M_2$, $\dots$, $M_n$, 使$$\begin{array}{rl}A=& F_1{F}_2\dots F_u{M}_1{M}_2\dots M_n{E}_u\dots E_2{E}_1\\ =& F_1{F}_2\dots F_u(M_1{M}_2\dots M_n)E_u\dots E_2{E}_1.\end{array}$$则$$\begin{array}{rl}\mathrm{adj}(A)=& \mathrm{adj}(E_1)\dots \mathrm{adj}(E_u)\mathrm{adj}(M_n)\dots \mathrm{adj}(M_1)\mathrm{adj}(F_u)\dots \mathrm{adj}(F_1)\\ =& \mathrm{adj}(E_1)\dots \mathrm{adj}(E_u)(\mathrm{adj}(M_n)\dots \mathrm{adj}(M_1))\mathrm{adj}(F_u)\dots \mathrm{adj}(F_1)\\ =& \mathrm{adj}(E_1)\dots \mathrm{adj}(E_u)\mathrm{adj}(M_1\dots M_n)\mathrm{adj}(F_u)\dots \mathrm{adj}(F_1).\end{array}$$记 $D=M_1{M}_2\dots M_n$. 则当 $i\ne j$ 时, $[D{]}_{i,j}=0$. 则当 $i\ne j$ 时, $[\mathrm{adj}(D){]}_{i,j}=0$. 注意, $\mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(D)$. 注意, $\mathrm{adj}(E(n;p,q;s))=E(n;p,q;-s)$, 故 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))=\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(D))$.

设 $\mathrm{rank}(A)=n-1$. 则 $\mathrm{rank}(D)=n-1$. 设在 $[D{]}_{1,1}$, $[D{]}_{2,2}$, $\dots$, $[D{]}_{n,n}$, 恰有 $r$ 个数不是 $0$. 则 $\mathrm{rank}(D)=r$. 则在 $[D{]}_{1,1}$, $[D{]}_{2,2}$, $\dots$, $[D{]}_{n,n}$, 恰有 $n-1$ 个数不是 $0$. 设 $[D{]}_{k,k}=0$. 则当 $i\ne k$ 时, $[D{]}_{i,i}\ne 0$. 则在 $[\mathrm{adj}(D){]}_{1,1}$, $[\mathrm{adj}(D){]}_{2,2}$, $\dots$, $[\mathrm{adj}(D){]}_{n,n}$, 有一个数不是 $0$, 因为$$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(D){]}_{k,k}=(-1{)}^{k+k}\det (D(k|k))=\prod _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne k\end{array}}[D{]}_{\ell ,\ell }\ne 0.\end{array}$$并且, 当 $i\ne k$ 时, $$\begin{array}{r}[\mathrm{adj}(D){]}_{i,i}=(-1{)}^{i+i}\det (D(i|i))=\prod _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i\end{array}}[D{]}_{\ell ,\ell }=[D{]}_{k,k}\prod _{\begin{array}{c}1⩽\ell ⩽n\\ \ell \ne i,k\end{array}}[D{]}_{\ell ,\ell }=0.\end{array}$$则 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(D))=1$. 则 $\mathrm{rank}(\mathrm{adj}(A))=1$.

证完.