4.7. 广义收敛: 网

这一节介绍收敛在一般拓扑空间中的定义.

首先, 我们给出一个例子, 它指出我们在 4.7.1 节中以一列点的收敛建立的拓扑空间中的收敛理论存在相当的局限性.

命题 4.7.0.1. 考虑理论 DLO(aka. Dense Linear Ordered set, 稠密线序集) 的一个 $ℵ_{1}$ 饱和模型 $(M, \leq)$ . 对其中的点 $a$ 定义 $(a, + \infty) = {x \in M ∣ x > a}$ , 则对任意可列个点 ${b_{n} ∣ n \in ω} \subseteq (a, + \infty)$ 均存在 $b > a$ 使得 $\forall n \in ω (b < b_{n})$ . 换言之, 可列个点永远不可能收敛到 $a$ .

证明. 这是

κ

饱和性给出的

κ

紧致性的一个直接应用, 读者可参考模型论专著.

$□$

因此, 我们势必考虑一种更广义的收敛方式, 以允许谈论任意大的点集 (而非可数的点集) 的收敛性.

定义 4.7.0.2 (有向集, directed set). 有向集是配备偏序 $\leq$ 的集合 $J$ , 使得 $\forall i, j \in J \exists k \in J (i \leq k \land j \leq k)$ .

这个有向集就像是一个指标, 允许我们考虑收敛时越来越近究竟近到什么地步.

定义 4.7.0.3 (网与收敛). 从有向集 $J$ 到拓扑空间 $X$ 的函数 $f$ 称作 $X$ 中的一张网. 方便起见, 我们直接认为 $J \subseteq X$ .

称网 $J$ 收敛于点 $x \in X$ , 若 $\forall U ∋ x \exists i \in J \forall j \in J (i \leq j \to j \in U)$ .

评注. 当 $J = ω$ 并取消方便假定时, 这个定义退化成我们最开始做的定义.

正如收敛对应于列紧, 聚点对应于极限点紧. 虽然聚点的原始定义并不需要假定任何可数性, 我们仍然有它在网中的延伸概念.

定义 4.7.0.4 (共尾、子网与聚点). 我们称有向集 $J$ 的子集 $K$ 是共尾的, 若 $\forall i \in J \exists j \in K (i \leq j)$ .

共尾的子集也称作子网.

称网 $J$ 有聚点 $x \in X$ , 若 $x$ 的任何邻域 $U$ 与 $J$ 的交集都是共尾的.

我们已经熟知闭集与聚点和收敛点的关系如下.

定理 4.7.0.5. 在任何空间 $X$ 中, $x \in Cl (A)$ 当且仅当 $x \in A$ 或 $A$ 以 $x$ 为聚点, 当存在一个点列 ${x_{n}} \subseteq A$ 收敛到 $x$ ; 在空间满足 $C_{1}$ 时, 最后一个条件也仅当.

证明. $x \in Cl (A) \to x \in A \lor A$ 以 $x$ 为聚点: 只要证明若 $x \neq \in A$ 且 $x$ 不是 $A$ 的聚点, 则存在闭集 $B \supseteq A$ 不包括点 $x$ . 这时条件指出存在 $x$ 的邻域与 $A$ 的交集是空集, 于是这个邻域的补集就是所要的闭集.

$x \in A \lor A$ 以 $x$ 为聚点 $\to x \in Cl (A)$ : 同样的证明若存在闭集 $B \supseteq A$ 不包括点 $x$ , 则 $A$ 不以 $x$ 为聚点 (显然还有 $A$ 不包括点 $x$ ). 这是因为 $B$ 的补集是 $x$ 的邻域且与 $A$ 不交.

存在点列 ${x_{n}} \subseteq A$ 收敛到 $x \to x \in A \lor A$ 以 $x$ 为聚点: 显然.

在

C_{1}

空间中,

x \in A

或

A

以

x

为聚点

\to

存在点列

{x_{n}} \subseteq A

收敛到

x

: 若

x \in A

直接取

x_{n} = x

即可; 否则, 我们任取

x

的可数邻域基

U_{n}

, 不妨要求

U_{n + 1} \subseteq U_{n}

, 我们要求

x_{n}

是聚点定义从

U_{n}

中挑出的属于

A

而不是

x

的点.

$□$

在一般空间中, 我们可以利用网绕开 $C_{1}$ 的限制.

定理 4.7.0.6. 在任何空间 $X$ 中, $x \in Cl (A)$ 当且仅当存在网 $J \subseteq A$ 收敛于 $x$ ; 网 $J$ 以 $x$ 为聚点当且仅当存在子网 $K \subseteq J$ 收敛于 $x$ .

证明. $x \in Cl (A) \to$ 存在网 $J$ 收敛于 $x$ : 我们直接把整个 $A$ 都变成网, 令 $a < b \in A$ 当且仅当存在开集 $U ∋ x$ 包括 $b$ 而不包括 $a$ . 验一下定义显然.

存在网 $J$ 收敛于 $x \to x \in Cl (A)$ : 若 $x \neq \in Cl (A)$ , 则有 $x$ 的邻域与 $A$ 无交, 这与存在网收敛到 $x$ 直接矛盾.

以 $x$ 为聚点 $\to$ 存在子网收敛: 我们来构造这个子网. 考虑有向集 $\overset{ˉ}{K} = {(j, U) ∣ j \in J \land j \in U \land x \in U}$ , 其中令 $(j, U) \leq (k, V)$ 当且仅当 $j \leq k \land V \subseteq U$ . 现在, 用每个 $x$ 的邻域 $U$ 在 $\overset{ˉ}{K}$ 中选出一个 $(j, U)$ , 然后把这个 $j$ 加到子网 $K$ 中, 证明这个子网恰好收敛到 $x$ 即可.

存在子网收敛

\to

以

x

为聚点: 子网见证共尾性.

$□$

评注. 换言之, 如果用网的语言重新定义列紧致和极限点紧致, 则它们相互等价 (而非一个严格强于另一个).

自然的, 我们想看看紧致性这时变成了什么.

定理 4.7.0.7 (网紧致). $X$ 紧致当且仅当其中每个网都有收敛的子网.

证明. 紧致则网皆有收敛子网: 集 $A_{j} = {k ∣ j \leq k}$ 构成的族 ${A_{j} ∣ j \in J}$ 显然满足有限交条件, 因此滤子紧致指出所有人的闭包交不空, 这闭包交中的点显然是聚点, 因此它给出一个收敛子网.

网皆有收敛子网则紧致: 对一族满足有限交性质的闭集

A_{j}

, 我们考察全体

(k, {A_{j_{k}}})

, 这里

k \in ⋂_{j_{k}} A_{j_{k}}

, 右侧是有限个集合的交, 左边的

k

见证它不空. 现在令

(k, {A_{j_{k}}}) \leq (k^{'}, {A_{j_{k^{'}}}})

当且仅当

{A_{j_{k}}} \subseteq {A_{j_{k^{'}}}}

, 然后通过取

k

把这个有向集变成空间中的网. 这网的收敛子网收敛到的点是所有

A_{j}

的交点.

$□$

评注. 因此, 在网的语言下, 紧致、列紧致和极限点紧致直接变成了同一个性质. 或许, 我们之前分开它们正是因为默认的可数性限制了极限的表达能力.

这样, 我们也可以运用网给出 Tychonoff 定理的另一个证明.

定理 4.7.0.8 (Tychonoff). 选择公理等价于任意紧致空间的积空间仍然紧致.

证明. 我们给出过滤子语言下的证明, 我们这里用网做选择公理推出积空间紧致的工作, 另一个方向的证明那时早已给出了.

我们现在要来考虑积空间 $\prod_{i \in I} X_{i}$ 中的网 $J$ , 我们希望找到它的一个收敛子网, 换言之取出一个聚点. 注意对每个 $i \in I$ , 我们都可以把网 $J$ 投影到紧空间 $X_{i}$ 上得到一个网 $J_{i}$ , 它自然有许多聚点. 进一步, 我们考虑 $I^{'} \subseteq I$ , 我们可以把网 $J$ 投影到空间 $\prod_{i \in I^{'}} X_{i}$ 上得到网 $J_{I^{'}}$ , 但它有没有聚点我们还不知道.

我们收集所有 $J_{I^{'}}$ 的聚点 $(p, I^{'})$ , 这里还带着 $I^{'}$ 来标记 $p$ 的信息. 由于 $I^{'} = {i}$ 时这样的 $(p, {i})$ 一定存在, 我们确实能收集到一些点. 现在定义一个偏序关系: $(p_{1}, I_{1}) \leq (p_{2}, I_{2})$ 当且仅当 $I_{1} \subseteq I_{2}$ 且 $p_{2} \in \prod_{i \in I_{2}} X_{i}$ 投影到 $\prod_{i \in I_{1}} X_{i}$ 上恰好是 $p_{1}$ .

我们来施展 Zorn 引理, 因此需要先考虑全序链

(p_{k}, I_{k})

, 而它们确实有上界

(⋃_{k} p_{k}, ⋃_{k} I_{k})

, 所以我们确实可以取极大元

(q, K)

; 现在唯一的问题是证明

I = K

, 而由于 ZF 知道有限个紧致空间的积还是紧致的, 证明因此完成.

$□$

最后, 我们给出一个有趣的例子, 它指出即使网允许我们谈论任意空间中的紧致性与闭包的各类性质, 我们仍无法在更弱的分离性假定下断言紧集与闭包的关系.

定理 4.7.0.9. 紧集的闭包不一定紧致, 即使已知在 $T_{2}$ 空间中紧集是闭集.

证明. 考虑一个有趣的 $N$ 上的拓扑, 它由开集族 ${\emptyset} \cup {A \subseteq N ∣0 \in A}$ 构成.

其中任意含零的有限集都是开的紧集, 但其闭包必须是

N

, 只要考虑开覆盖

U_{n} = {0, n}

就可见它不是紧致的.

$□$

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