6.2. 标准 Borel 空间

可测函数

这一小节, 我们来对一般的可测空间之间的函数做像对拓扑空间曾做的论述. 此前, 我们已经知道 $σ$ 代数可以由集族生成, 而可测空间的结构自然遗传给出子可测空间.

定义 6.2.0.1 (可测函数). 对两个可测空间 $(X, S)$ 与 $(Y, A)$ 之间的函数 $f : X \to Y$ , 若 $\forall A \in A (f^{- 1} (A) \in S)$ , 则称 $f$ 是可测函数.

如果双射 $f : X \to Y$ 满足 $f$ 与 $f^{- 1}$ 均可测, 则称 $f$ 见证一个可测同构. 如果 $f$ 仅仅是单射, 则称 $f$ 见证一个可测嵌入.

我们现在重点关注积可测空间.

定义 6.2.0.2. 考虑一族可测空间 $(X_{i}, S_{i})$ , 指标 $i \in I$ .

如果有一族函数 $f_{i} : Y \to X_{i}$ , 则在 $Y$ 上由 ${f_{i}^{- 1} (S) ∣ S \in S_{i}}$ 生成的 $σ$ 代数是最小的使得每个 $f_{i}$ 都可测的 $σ$ 代数, 我们称之为 ${f_{i} ∣ i \in I}$ 在 $Y$ 上生成的 $σ$ 代数.

特别的, 在 $\prod_{i} X_{i}$ 装配上投射函数 $π_{i} : x \mapsto x (i)$ 生成的 $σ$ 代数形成的可测空间称为积可测空间.

对于一般可测空间, 我们最想关注的无非是能不能将它同构为一个装配 Borel 集族的拓扑空间变成的可测空间, 而其中最高贵的无疑是波兰的拓扑空间变成的可测空间.

定义 6.2.0.3. 如果可测空间 $(X, S)$ 可测同构于一个 $(Y, B (Y))$ , 这里 $Y$ 是个波兰空间, 则称 $X$ 是标准 Borel 空间.

评注. 它显然也等价于存在 $X$ 上的一个波兰空间的结构 $(X, τ)$ 使得它生成的 Borel 集族恰好是 $S$ .

我们先考虑弱一点的刻画, 例如可分度量空间.

定理 6.2.0.4. 对于可测空间 $(X, S)$ , 以下论述等价.

1.	存在可分度量空间 $Y$ , $(X, S)$ 与 $(Y, B (Y))$ 可测同构.
2.	存在可分度量空间 $Y \subseteq C$ , $(X, S)$ 与 $(Y, B (Y))$ 可测同构.
3.	$S$ 由一个可数的集族生成, 且分离点, 即 $x \neq = y \in X \to \exists S \in S (x \in S \land y \neq \in S)$ .

证明.

2 \to 1 \to 3

显然, 所以只需证明

3 \to 2

. 我们假定

S

由可数集族

{A_{n}}

生成, 我们做嵌入

f : X \to C, x \mapsto x_{n}

, 这里

x_{n}

在

x \in A_{n}

时取

1

, 否则取

0

. 它显然可测, 且由于

S

分离点, 它还是单射. 现在

Y = f (X) \subseteq C

就是我们所需的子空间.

$□$

可数生成的 $σ$ 代数有一个重要的特征.

定义 6.2.0.5. 可测空间 $(X, S)$ 中的可测集 $A$ 称作一个原子, 若它的非空真子集均不可测. 若 $X$ 是它的全体原子的并, 则称它是原子化的.

定理 6.2.0.6. 可数生成的可测空间是原子化的.

证明. 我们来看上面刻画中分离点这一要求的意义.

定理 6.2.0.7. 假定可测空间 $(X, S)$ 由 $G$ 生成, 则两点被 $G$ 分离当且仅当它们被 $S$ 分离. 换言之, 任给两个 $x, y \in X$ , $\forall G \in G (x \in G \leftrightarrow y \in G)$ 当且仅当 $\forall S \in S (x \in S \leftrightarrow y \in S)$ .

证明. 当显然; 仅当只要注意

B = {A \subseteq X ∣ x \in A \leftrightarrow y \in A}

是一个包含

G

的

σ

代数, 从而必须也包含

S

.

$□$

现在, 我们固定 $S$ 被可数生成的一族证据 ${A_{n}}$ . 对 $B \subseteq X$ , 我们定义 $0 (B) = B$ 和 $1 (B) = X \ B$ . 对 $α \in C$ , 我们做 $A (α) = ⋂_{n} α_{n} (A_{n})$ , 显然它们都必须是可测集. 又注意到 $X$ 是全体 $A (α)$ 的并, 我们自然想要证明每个 $A (α)$ 都是原子.

反证, 如果某个

A (α)

有非空可测真子集

S

, 任选两个

x \in S

和

y \in A (α) \ S

, 它们在

S

中分离, 却不在

A = {A_{n}}

中分离, 矛盾.

$□$

推论 6.2.0.8. $σ$ 代数或者是有限的, 或者具有不小于 $ℶ_{1}$ 的基数.

现在, 我们来给出标准 Borel 空间的刻画.

定义 6.2.0.9. 两个拓扑空间是 Borel 同构的, 若它们作为装配 Borel 代数的可测空间是可测同构的. 类似地我们定义 Borel 嵌入.

评注. 显然, Borel 同构比同胚要求更弱.

定理 6.2.0.10. 对可分度量空间 $X$ , 以下条件等价:

1.	$X$ 连同其上的 Borel 代数是标准 Borel 空间.
2.	$X$ 连同其上的 Borel 代数可测同构于一个 Polish 空间中的一个 Borel 集.
3.	$X$ 同胚于一个 Polish 空间中的一个 Borel 集.
4.	$X$ 在它的完备化中是 Borel 集.

证明. $4 \to 3 \to 1 \to 2$ 是显然的, 我们只需证明 $2 \to 4$ .

定理 6.2.0.11 (Kuratowski). 可测空间 $X$ 的子空间 $Z$ 到 Polish 空间 $Y$ 的可测函数 $f : Z \to Y$ 可以提升为全局可测函数 $f^{*} : X \to Y$ .

证明. 显然只需把定义域扩展到一个可测集 $Z^{*} \subseteq X$ 上. 考虑 $Y$ 的可数基 $V_{n}$ , 由定义存在 $X$ 的可测集 $B_{n}$ 满足 $f^{- 1} (V_{n}) = Z \cap B_{n}$ . 令 $Z^{*} = {x \in X ∣\exists y \in Y \forall n (x \in B_{n} \leftrightarrow y \in V_{n})}$ , 然后做 $f^{*} : Z^{*} \to Y, x \mapsto y$ , 这里 ${y} = ⋂_{n : x \in B_{n}} V_{n}$ .

我们只验证最困难的

Z^{*}

可测. 定义谓词

C (k, l, m, n) := Cl (V_{l}) \subseteq V_{n} \cap V_{m} \land diam V_{l} < \frac{1}{k + 1}

和

D (m, n) := V_{m} \subseteq V_{n}

, 我们注意到

x \in Z^{*}

正是以下句子:

\exists n (x \in B_{n}) \land

\forall k \forall n \forall m (x \in B_{n} \cap B_{m} \to \exists l (x \in B_{l} \land C (k, l, m, n)) \land

\forall n \forall m (x \in B_{m} \land D (m, n) \to x \in B_{n}))

, 简单的翻译指出

Z^{*}

可测.

$□$

推论 6.2.0.12. 给定波兰空间 $X, Y$ 的子空间 $A, B$ 之间的 Borel 同构 $f : A \to B$ , 存在两个 Borel 集 $A^{*} \supseteq A$ 和 $B^{*} \supseteq B$ , $f^{*} : A^{*} \to B^{*}$ 是 $f$ 延拓出的 Borel 同构.

证明. 定理给出

f

的延拓

g : A^{'} \to Y

与

f^{- 1}

的延拓

h : B^{'} \to X

, 这里

A^{'} \supseteq A

和

B^{'} \supseteq B

是俩可测集. 我们考虑

h^{T} = {(x, y) \in X \times Y ∣ (y, x) \in h}

与

g \subseteq X \times Y

的交集

G \subseteq X \times Y

, 令

A^{*} = G_{X} = {x \in X ∣\exists y ((x, y) \in G)}

和

B^{*} = G_{Y}

.

$□$

假定我们已知

f : X \to Y \subseteq Z

把

X

Borel 同构为 Polish 空间

Z

中的 Borel 集

Y

. 如果我们可以把

f

提升为一个 Borel 同构

g : X^{'} \to Y^{'}

, 这里

X^{'}

是

X

的完备化的一个 Borel 集, 则

X = g^{- 1} (Y)

是

X^{'}

的 Borel 集, 自然也就是

X

的完备化的一个 Borel 集了.

$□$

Baire 层级

这一节, 我们来考虑 Borel 层级对应到函数上给出的 Baire 层级.

定义 6.2.0.13 (Borel 可测函数). 对函数 $f : X \to Y$ , 若对每个开集 $U \subseteq Y$ 都有 $f^{- 1} (U) \in Σ_{α}^{0} (X)$ , 则称 $f$ 是 $Σ_{α}^{0}$ 可测函数.

全体 $Σ_{α}^{0}$ 可测函数 ( $α$ 取遍 $ω_{1}$ ) 称为 Borel 可测函数.

定理 6.2.0.14. Borel 可测函数就是把拓扑空间当成带对应 Borel 集族的可测空间后得到的可测函数.

证明. 这是因为开集族有可数基, 可数个可数序数以某个可数序数为上确界.

$□$

这个定义直截了当, 但我们另有构造.

定义 6.2.0.15 (Baire 函数类). 若 $f$ 是 $Σ_{2}^{0}$ 可测函数, 则称 $f$ 是 $1$ 类 Baire 函数. 我们接着递归地定义 $α$ 类 Baire 函数:

1.	$α + 1$ 类 Baire 函数是全体可以被一列 $f_{n}$ 点点收敛到的函数, 这些 $f_{n}$ 都是 $α$ 类 Baire 函数.
2.	$α$ 类 Baire 函数是全体可以被一列 $f_{n}$ 点点收敛到的函数, 这些 $f_{n}$ 每一个都是 $β_{n}$ 类 Baire 函数, 每个 $β_{n}$ 都小于 $α$ , 这里 $α$ 是极限序数.

全体 $α$ 类 Baire 函数的集记为 $B_{α} (X, Y)$ .

现在, 我们指出这两个函数类其实可以合并在一起.

定理 6.2.0.16 (Lebesgue,Hausdorff,Banach). 若 $X$ 是度量空间, $Y$ 是局部紧可分度量空间, 则 $f$ 是 $Σ_{α + 1}^{0}$ 可测函数当且仅当 $f \in B_{α} (X, Y)$ , 这里 $α \leq 1$ .

证明. 对 $α$ 归纳, 奠基的 $α = 1$ 就是定义. 现假定对 $β < α$ 均已证实.

仅当是简单的. 如果 $f$ 被一列 $f_{n}$ 点点收敛到, 这些 $f_{n}$ 均在 $B_{β_{n}} (X, Y)$ 之中, $β_{n} < α$ . 对任意开集 $U \subseteq Y$ , 由于 $Y$ 可分, 存在一列闭球 $B_{m}$ 使得 $U = ⋃_{m} B_{m}$ . 现在 $f^{- 1} (U) = ⋃_{m, n} ⋂_{k \geq n} f_{k}^{- 1} (B_{m})$ , 而 $f_{K}^{- 1} (B_{m}) \in Π_{β_{n} + 1}^{0} \subseteq Π_{α}^{0}$ , 因此 $f^{- 1} (U) \in Σ_{α + 1}^{0}$ .

当则是相当不简单的. 我们先考虑 $Y$ 很简单的情况.

若 $Y = {0, 1}$ , 则 $f : X \to Y$ 其实就是一个集合 $A = f^{- 1} ({1}) \subseteq X$ 的特征函数 $χ_{A}$ . $f$ 是 $α + 1$ 类 Borel 可测函数当且仅当 $A \in Δ_{α + 1}^{0}$ , 我们分 $α = β + 1$ 与 $α$ 是极限序数两个情况讨论. 若 $α = β + 1$ , 我们知道 $A$ 一定是一列 $A_{n} \in Δ_{β + 1}^{0}$ 的极限, 因而 $χ_{A} = lim_{n} χ_{A_{n}}$ . 若 $α$ 是极限序数, 则 $A$ 是一列 $A_{n} \in Δ_{β_{n}}^{0}$ 的极限, $β_{n} < α$ , 我们继续有 $χ_{A} = lim_{n} χ_{A_{n}}$ .

现在我们考虑 $Y$ 是有限集 $n$ 的情况. 我们对 $n$ 归纳, 每一次都只需要考虑 $f : X \to n$ 对应的 $A = f^{- 1} ({n - 1})$ , 具体细节和上面一样.

我们来建立一个引理.

引理 6.2.0.17. 如果 $f_{n}$ 点点收敛到 $f$ , $g_{n}$ 点点收敛到 $g$ , 且 $d (f, g) \leq a$ , 则存在 $g_{n}^{'}$ 点点收敛到 $g$ , 满足 $d (f_{n}, g_{n}) \leq a$ .

证明.

g_{n}^{'}

在

d (f_{n} (x), g_{n} (x)) \leq a

时取

g_{n}

, 在别的时候取

f_{n}

.

$□$

现在我们考虑一般的

Y

. 注意到局部紧可以单点紧化, 且紧致化后对应的提升

\overset{ˉ}{f} : X \to Y \cup {\infty} = f : X \to Y

的层级并不改变, 我们不妨假定

Y

就是紧致的, 因而

Y

上有一个完全有界完备度量

d

. 对每个

k

, 完全有界性指出存在有限点集

Y_{k} = {y_{k}^{i} ∣ i \in n_{k} \in ω}

, 满足

{B_{2^{- k}} (y_{k}^{i}) ∣ i \in n_{k}}

覆盖整个

Y

. 我们再不妨要求

Y_{k} \subseteq Y_{k + 1}

. 现在,

f

是

α + 1

类 Borel 可测函数指出

f^{- 1} (B_{2^{- k}} (y_{k}^{i})) \in Σ_{α + 1}^{0} (X)

, 而由开球们并起来覆盖

Y

我们知道这些

Σ_{α + 1}^{0} (X)

集覆盖

X

, 由它们补集的分离性质我们知道存在对应的

A_{k}^{i} \in Δ_{α + 1}^{0} (X)

, 满足

A_{k}^{i} \subseteq f^{- 1} (B_{2^{- k}} (y_{k}^{i}))

且

X = ⋃_{i \in n_{k}} A_{k}^{i}

. 我们取

f^{k} : X \to Y_{k}, x \mapsto y_{i} \leftrightarrow x \in A_{k}^{i}

, 它显然还是

Σ_{α + 1}^{0}

可测的. 上面

Y

有限时的证明现在指出这每个

f^{k}

都被一列

f_{n}^{k}

点点收敛到, 这

f_{n}^{k} \in B_{β_{n, k}} (X, Y)

, 其中

β_{n, k} < α

. 由

d (f, f^{k}) \leq 2^{- k}

知

d (f^{k}, f^{k + 1}) \leq 2^{1 - k}

, 因此不妨令

d (f_{n}^{k}, f_{n}^{k + 1}) \leq 2^{1 - k}

(这里用到引理), 我们取

f_{k} = f_{k}^{k}

即得一列点点收敛到

f

的函数.

$□$

但是, $Σ_{1}^{0}$ 可测函数, 也就是连续函数, 并没有对应的 $0$ 类 Baire 函数的概念, 这是因为以上假定还不够.

定理 6.2.0.18 (Lebesgue,Hausdorff,Banach). 若 $X$ 和 $Y$ 是可分度量空间, 则 $X$ 零维或 $Y = R$ 时, $Σ_{2}^{0}$ 可测函数由一列连续函数点点收敛到.

证明. $X$ 零维时的证明和上一个差不多, 我们只来证明 $Y = R$ 的情况.

引理 6.2.0.19. $A \in Δ_{2}^{0}$ , 则 $χ_{A}$ 被一列连续函数点点收敛到.

证明. 假定

A = \cup_{n} F_{n}

是一列递升闭集的并,

X \ A = \cup_{n} H_{n}

也是一列递升闭集的并, 则由 Urysohn 引理存在连续函数

h_{n} : X \to [0, 1]

, 它在

F_{n}

上取

1

, 在

H_{n}

上取

0

. 这列

h_{n}

点点收敛到

χ_{A}

.

$□$

引理 6.2.0.20. 若 $p_{n} : X \to R$ 都是连续函数的点态极限, 它们一致收敛到 $p$ , 则 $p$ 也是连续函数的点态极限.

证明. 我们通过做差可以不妨假定

\forall x (p_{n} (x) \leq 2^{- n})

和

p = \sum_{n} p_{n}

. 我们假定

p_{n}^{i}

收敛到

p_{n}

, 且不妨假定

\forall x (p_{n}^{i} (x) \leq 2^{- n})

. 令

p^{i} = \sum_{n} p_{n}^{i}

, 它显然是个连续函数, 我们证明

p^{i}

点点收敛到

p

即可.

$□$

现在, 我们把

f \in B_{1} (X, R)

的

R

同胚到

(0, 1)

, 显然只需证明对应的提升

f \in B_{1} (X, (0, 1))

被一列连续函数点点收敛到. 对

N \geq 2

, 取

A_{N}^{i} = f^{- 1} ((\frac{i}{N}, \frac{i + 2}{N}))

, 这里

i \in N - 1

, 则

A_{N}^{i} \in Σ_{2}^{0}

, 且

⋃_{i \in N - 1} A_{N}^{i} = X

. 我们继续对它们的补集用分离性质, 得到

B_{N}^{i} \subseteq A_{N}^{i}

且

B_{N}^{i} \in Δ_{2}^{0}

,

X = ⋃_{i \in N - 1} B_{N}^{i}

. 现在

g_{N} = \sum_{i \in N - 1} \frac{i}{N} χ_{B_{N}^{i}}

一致收敛到

f

, 运用上面两个引理证毕.

$□$

评注. 仿制这个证明可以得出 $Y = R^{n}$ 和 $Y = (a, b) \subseteq R$ 时相同定理的证明.

我们已知, 逐点收敛将把层级 $+ 1$ ; 接下来我们则证明, 一致收敛不改变层级.

定理 6.2.0.21. 度量空间之间的一列一致收敛的 $α$ 类可测函数 ${f_{n}}$ 仍收敛到 $α$ 类可测函数 $f$ .

证明. 由于一致收敛, 我们不妨假设

d (f_{n}, f) \leq \frac{1}{n}

. 这指出

x \in f^{- 1} (F) \leftrightarrow x \in ⋂_{n} f_{n}^{- 1} (Cl (B_{\frac{1}{n}} (F)))

, 右边的开集

B_{\frac{1}{n}} (F)

是把

F

中每个点处的

\frac{1}{n}

半径开球并在一起所得的开集. 这个观察又指出

f^{- 1} (F)

是一列

f_{n}^{- 1} (F_{n})

的交, 右边由定义是一列

Π_{α}^{0}

集, 因此

f^{- 1} (F)

是

Π_{α}^{0}

集.

$□$

此外, 为表完整, 我们也证明以下 $α$ 类可测函数都可以被不同的 $α$ 类可测函数一致收敛到.

定理 6.2.0.22. 如果像空间可分, 则度量空间之间的一致收敛的 $α$ 类可测函数 $f : X \to Y$ 均可被一列 $α$ 类可测函数 ${f_{n}}$ 一致收敛到, 且 $f_{n} (X)$ 均可数, 其上的拓扑离散.

证明. 可分指出 Lindelof, 于是对任意

ϵ

而言

Y

均可以变成可列个半径

ϵ

的开球的并. 我们指定一个

ϵ

, 让这可列个开球的球心排列为

{y_{n}} \subseteq Y

, 然后考察两列集, 一列是

A_{k} = {x \in X ∣∣ f (x) - y_{k} ∣ \leq ϵ}

, 一列是

B_{k} = {x \in X ∣∣ f (x) - y_{k} ∣ \geq 2 ϵ}

, 显然

A_{k} \cap B_{k} = \emptyset

且均为

Π_{α}^{0} (X)

集. 运用分离性质, 我们找一个

F_{k} \in Δ_{α}^{0} (X)

使得

A_{k} \subseteq F_{k}

且

F_{k} \cap B_{k} = \emptyset

, 而

X = ⋃_{k} A_{k}

也指出

X = ⋃_{k} F_{k}

. 我们令

g (x) = y_{t}

, 这里

t

是最小的使得

x \in F_{t}

的指标. 显然

g

是

α

类可测函数. 现在令

ϵ = \frac{1}{n}

就给出

f_{n}

.

$□$

评注. 这指出, $Y$ 可分时, 对一列点点收敛的 $α$ 类可测函数 ${f_{n}}$ 而言, 它们收敛到的 $f$ 仍然是 $α$ 类可测函数的充分但不必要条件是它们一致收敛. 事实上, 充要条件是 $\forall ϵ > 0\exists n ({x ∣∣ f (x) - f_{n} (x) ∣ < ϵ} \in Σ_{α}^{0} (X))$ .

Borel 同构定理

这一小节, 我们证明一个令人惊奇的定理, 它指出标准 Borel 空间的理论某种意义下是完全范畴的.

定理 6.2.0.23 (Borel 同构定理). 两个标准 Borel 空间是 Borel 同构的, 当且仅当它们具有相同的基数.

我们先建立一个重要的引理.

定理 6.2.0.24 (可测空间的 Cantor-Bernstein 定理). 如果 $f : X \to Y$ 与 $g : Y \to X$ 是可测嵌入, 则 $X$ 与 $Y$ 可测同构.

证明. Cantor-Bernstein 定理构造的

h

此时恰好见证可测同构.

$□$

评注. 拓扑空间并没有这种好事发生.

我们都知道 Polish 空间的基数最多是

ℶ_{1}

, 所以标准 Borel 空间的基数最多是

ℶ_{1}

. 我们来分别讨论有限、可数和不可数的情况.

定理 6.2.0.25. 有限的标准 Borel 空间必 Borel 同构于某个 $n \in ω$ , 其上赋离散拓扑.

证明. 我们考虑任意 Polish 空间中的有限 Borel 集, 显然它自己就是个闭集, 它里面每个单点集当然也是闭集, 所以它上面自然是离散拓扑, 上面的全体 Borel 集就是它的幂集.

$□$

定理 6.2.0.26. 可数的标准 Borel 空间必 Borel 同构于 $N$ , 其上赋离散拓扑.

证明. 我们知道可数波兰空间就是可数完美度量空间无交并一个可数开集, 后者里面全都是孤立点, 所以我们只需要考虑 $Q$ 无交并上 $n$ 或者 $N$ 的情况, 因为如果完美核是空的证明就已经完成了.

只需意识到可数拓扑空间的 Borel 层级只有前两层, 而且整个 Borel 集族就是它的幂集, 这个 Borel 同构仍然是显然的.

$□$

定理 6.2.0.27. 不可数的标准 Borel 空间必 Borel 同构于 $C$ .

证明. 这是整个 Borel 同构定理唯一不平凡的部分. 我们先证明它 Borel 同构于 $C$ 的一个 Borel 子集.

引理 6.2.0.28. $[0, 1]$ 与 $C$ 之间有 Borel 同构.

证明. 我们把

I

分成有理数部分和无理数部分,

C

分成终常部分和不终常部分. 有理数和终常部分都是可数的, 随便指派一个双射; 无理数和不终常部分通过二进制小数给出双射. 把这两个双射拼在一起就可以了.

$□$

推论 6.2.0.29. $[0, 1]^{ω}$ 与 $C$ 之间有 Borel 同构.

证明.

[0, 1]^{ω}

与

C^{ω}

之间有 Borel 同构, 但后者同胚于

C

.

$□$

现在, 不可数的标准 Borel 空间就是一个 Polish 空间的 Borel 子集, Polish 空间可以嵌入

[0, 1]^{ω}

, 因此 Borel 同构于一个

C

的 Borel 集, 因此标准 Borel 空间也在这个同构下变成

C

的一个 Borel 集. 换言之, 它可以 Borel 嵌入到

C

之中.

又由它不可数, 它里面有一个

C

的同胚像, 因此

C

Borel 嵌入其中. 由可测空间的 Cantor-Bernstein 定理, 他俩 Borel 同构.

$□$

我们介绍这个定理的一些应用.

定理 6.2.0.30. 无穷的标准 Borel 空间的 Borel 集族的基数均为 $ℶ_{1}$ .

证明. 可数的标准 Borel 空间的 Borel 集族就是它的幂集, 所以基数是

ℶ_{1}

. 不可数的标准 Borel 空间的 Borel 集族显然与

C

的 Borel 集族等势, 由定理也与

R

的 Borel 集族等势, 后者已知基数是

ℶ_{1}

.

$□$

定理 6.2.0.31 (Ramsey-Mackey). 如果有标准 Borel 空间 $(X, S)$ 的 Borel 自同构 $f : X \to X$ , 我们可以在 $X$ 上取一个 Polish 空间的结构 $τ$ , 使得 $S = B (τ)$ 且 $f$ 是 $(X, τ)$ 的自同胚.

证明. 如果这个空间有限或可数, 直接令 $τ$ 为离散拓扑就好了, 所以我们来考虑它不可数的情况, 这时我们由 Borel 同构定理把 $C$ 的拓扑移动到 $X$ 上, 得到一个 Polish 空间 $τ_{0}$ , 且 $S = B (τ_{0})$ .

我们来进行可数次 Borel 坍塌. 假定已有 $τ_{n}$ , 我们取其可数基 ${B_{n}^{i} ∣ i \in ω}$ , 然后考虑可数个 Borel 集 $D_{n} = {f (B_{n}^{i}) ∣ i \in ω} \cup {f^{- 1} (B_{n}^{i}) ∣ i \in ω}$ , 我们熟知存在 $τ_{n}$ 的 Polish 加细 $τ_{n + 1}$ 不改变 Borel 集族, 且将 $D_{n}$ 全部坍塌到 $Σ_{1}^{0}$ 里.

现在用

τ_{n}

生成

τ = τ_{\infty}

, 它自然仍然是 Polish 空间, 且不改变 Borel 集族, 而由我们逐步加细的过程可知

f

是它的自同胚.

$□$

扩张定理

我们在谈到 Urysohn 引理时提到过 Tietz 扩张引理, 它允许我们把闭集上的连续函数延拓到全空间. 我们现在介绍更多类似的扩张具备指定性质的函数的定义域的定理.

首先是一个简单的完备度量空间之间的定理, 我们在 Polish 空间一节中已经证明过这个定理了.

定理 6.2.0.32 (Kuratowski). 若有度量空间 $X$ 的子空间 $A$ 到完备度量空间 $Y$ 的连续函数 $f$ , 则存在 $X$ 中的 $G_{δ}$ 集 $G$ 满足 $A \subseteq G \subseteq Cl (A)$ , 且我们可以将 $f$ 的定义域延拓到 $G$ 上.

它有一个比较重要的应用.

定理 6.2.0.33 (Lavrentiev). 如果有完备度量空间 $X$ 与 $Y$ 的子空间 $A$ 与 $B$ 之间的同胚, 则它可以延拓为 $G_{δ}$ 子空间之间的同胚.

证明. 假定

f : A \to B

是同胚, Kuratowski 定理指出

f

可以延拓为

g : G \to Y

, 而

f^{- 1}

可以延拓为

h : H \to X

. 我们把

h = {(y, x) ∣ x = h (y)} \subseteq Y \times X

变成

h^{T} = {(x, y) ∣ x = h (y)} \subseteq X \times Y

, 则

g \cap h^{T}

就是我们所要的延拓的同胚函数.

$□$

注意到 $G_{δ}$ 就是 $Π_{2}^{0}$ , 而闭集就是 $Π_{1}^{0}$ , 我们可以在 Baire 层级中的函数这样一般地进行延拓.

定理 6.2.0.34 (Kuratowski). 若有度量空间 $X$ 的子空间 $A$ 到完备度量空间 $Y$ 的 $α$ 类可测函数 $f$ , 则存在 $X$ 中的 $Π_{α + 1}$ 集 $G$ 满足 $A \subseteq G$ , 且我们可以将 $f$ 的定义域延拓到 $G$ 上而不增加其层级.

特别地, 如果 $A$ 自己就是 $Π_{α}^{0}$ 集, 则 $G$ 可以是整个 $X$ . 如果我们允许延拓后的函数加深一层, 则 $G$ 也可以是整个 $X$ .

证明. 我们先讨论一般的情形. $α = 1$ 时上面已经证明过, 我们现在对 $α > 1$ 讨论. 我们知道 $α$ 类可测函数 $f : A \to Y$ 都被一列 $α$ 类可测函数 $f_{n} : A \to Y$ 一致收敛到, 且 $f_{n} (A)$ 是可列集, 其上的拓扑是离散拓扑, 不妨列举为 $f_{n} (A) = {y_{n}^{i} ∣ i \in ω}$ . 我们不妨要求 $\forall n \forall k \forall x (∣ f_{n} (x) - f_{n + k} (x) ∣ < \frac{1}{2 ^{n}})$ .

对每个 $σ \in ω^{< ω} = i_{0} i_{1} ... i_{m - 1}$ , 我们令 $B_{σ} = ⋂_{i \in m} f_{i}^{- 1} (y_{i}^{σ (i)})$ . 这是有限个 $Δ_{α}^{0} (A)$ 集的交, 因此也是 $Δ_{α}^{0} (A)$ 集.

断言. 存在一列 ${C_{σ} ∣ σ \in ω^{< ω}} \subseteq Δ_{α}^{0} (X)$ , 使得 $C_{σ} \cap A = B_{σ}$ , 且 $σ_{1} ⊥ σ_{2} \to C_{σ_{1}} \cap C_{σ_{2}} = \emptyset$ .

证明. 我们只能假定每个 $B_{σ} \in Δ_{α}^{0} (A)$ 是由一个 $D_{σ} \in Σ_{α}^{0} (X)$ 交 $A$ 得到的而不能假定 $D_{σ} \in Δ_{α}^{0} (X)$ , 反例请读者自行构造. 我们现在做 $V_{n} = ⋃_{σ : n \to ω, δ : k \to ω, k \leq n, σ ⊥ δ} (D_{σ} \cap D_{δ})$ , 然后对每个 $σ$ 令 $C_{σ} = D_{σ} \ V_{dom (σ)}$ . 我们记 $A_{n} = ⋃_{σ : n \to ω} C_{σ}$ , 也就是 $⋃_{σ : n \to ω} D_{σ} \ V_{n}$ .

显然 $A_{n}$ 是两个 $Σ_{α}^{0} (X)$ 集的差, 因此是 $Δ_{α + 1}^{0} (X)$ 集. 注意 $C_{σ} = D_{σ} \cap A_{dom σ}$ , 我们有 $C_{σ} \in Σ_{α}^{0} (A_{dom σ})$ , 而 $σ ⊥ δ$ 指出 $C_{σ} \cap C_{δ} = \emptyset$ , 于是事实上有 $C_{σ} \in Δ_{α}^{0} (A_{dom σ})$ .

最后,

σ ⊥ δ \to A \cap D_{σ} \cap D_{δ} = B_{σ} \cap B_{δ} = \emptyset

, 因此

A \cap V_{n} = \emptyset

, 因此

A \cap C_{σ} = A \cap D_{σ} = B_{σ}

.

$□$

现在令 $A^{*} = ⋂_{n} A_{n}$ , 这里 $A_{n} = ⋃_{σ : n \to ω} C_{σ}$ , 则 $A^{*} \in Π_{α + 1}^{0} (X)$ . 显然我们只要把 $f_{n}$ 延拓到 $A_{n}$ 上, 方法是对 $x \in C_{σ}$ 令 $f_{n} (x) = y_{n}^{σ (n)}$ , 现在它自然是 $α$ 类可测函数, 我们只要验证 $f_{n}$ 一致收敛, 则它们一致收敛到 $f$ 的延拓.

现在来讨论两个特殊情况. 对 $A \in Π_{α}^{0} (X)$ , 不难得知 $⋃_{σ : n \to ω} B_{σ} = A$ 对每个 $n$ 都成立, 我们只要继续改进前面的断言.

断言. 此时, $⋃_{σ : n \to ω} C_{σ} = X$ 对每个 $n$ 都成立.

证明. 我们不需要像上面那样构造 $C_{σ}$ , 因为我们可以直接运用分离性质. 注意到条件事实上给出 $B_{σ} = ⋃_{k \in ω} B_{σ □ k} \subseteq ⋃_{k \in ω} D_{σ □ k}$ , 这是一个 $Π_{α}^{0} (X)$ 包含于 $Σ_{α}^{0}$ , 因此存在 $E_{σ} \in Δ_{α^{0}}$ 夹在它们中间. 我们递归地定义 $C_{σ}$ 如下:

1.	$C = C_{\emptyset} = X$
2.	如果已经给定 $σ : n \to ω$ , 我们考虑最小的 $l \in ω$ 使得 $B_{σ □ l} \neq = \emptyset$ . 我们令 $n < l$ 时的 $B_{σ □ n} = \emptyset$ , 令 $B_{σ □ l} = (C_{σ} \cap D_{σ □ l}) \cup (C_{σ} \ E_{σ})$ , 令 $k > l$ 时的 $C_{σ □ k} = (C_{σ} \cap D_{σ □ k}) \ ⋃_{m < k} (C_{σ □ m})$ .

验证所要性质不难.

$□$

于是

A^{*} = ⋂_{n} A_{n} = X

, 余下证明照旧.

对第二个特殊情况, 只要先延拓到

Π_{α + 1}^{0}

集的

α

类函数, 当然也是

α + 1

类函数, 由第一个特殊情况断言即得一个全空间的

α + 1

类函数.

$□$

Lavrentiev 定理也有类似的推广.

定理 6.2.0.35 (Kuratowski). 如果有完备度量空间 $X$ 与 $Y$ 的子空间 $A$ 与 $B$ 之间的 Borel 同构 $f$ , $f$ 是 $α$ 类可测函数, $f^{- 1}$ 是 $β$ 类可测函数, 则 $f$ 可以延拓为 $Π_{α + β + 1}^{0} (X)$ 中的子空间到 $Π_{β + α + 1}^{0} (Y)$ 中的子空间之间的 Borel 同构.

证明. 完全仿造 Lavrentiev 定理.

$□$

名字空间

视图

6.2. 标准 Borel 空间

可测函数

Baire 层级

Borel 同构定理

扩张定理