6.8. 解析集

Souslin 定理

定义 6.8.0.1. Polish 空间 $X$ 的子集 $A$ 若是某个连续函数 $f:Y\to X$ 的像集, 其中 $Y$ 是另一个 Polish 空间, 则称作一个解析集. 全体 $X$ 中的解析集构成的集族记为 ${\Sigma }_1^1(X)$.

这样定义的解析集全体总归不好操作, 我们用泛在集来做出一个更漂亮的解读.

定理 6.8.0.2. ${\Sigma }_1^1(\mathcal{N})$ 有 $\mathcal{N}$ 泛在集.

证明. 显然我们有 ${\Sigma }_1^0({\mathcal{N}}^2)$ 的 $\mathcal{N}$ 泛在集, 于是我们有 ${\Pi }_1^0({\mathcal{N}}^2)$ 的 $\mathcal{N}$ 泛在集 $\mathcal{U}$. 我们证明 $\mathcal{A}=\{(y,x)|\exists z((y,x,z)\in \mathcal{F})\}$ 是所要的 $\mathcal{N}$ 泛在集.

由于存在量化这个操作是连续的, $\mathcal{A}$ 以及每个 ${\mathcal{A}}_y=\{x|(x,y)\in \mathcal{A}\}$ 都是解析集. 另一方面, 由于 Polish 空间是 $\mathcal{N}$ 的闭子集的连续满像, 任给解析集 $A\subseteq \mathcal{N}$ 均不妨假定有连续满射 $f:F\to A$, 这里 $F$ 是 $\mathcal{N}$ 中的闭集. 现在 $G=\{(y,x)|y=f(x)\}$ 是 ${\mathcal{N}}^2$ 中的闭集, 因此存在 $y\in \mathcal{N}$ 使得 $G={\mathcal{U}}_y$, 这同时就是 $A={\mathcal{A}}_y$.

$\square$

推论 6.8.0.3. 不可数 Polish 空间中, Borel 集都是解析集, 且存在不是 Borel 集的解析集.

证明. 不可数 Polish 空间必包含一个 $\mathcal{N}$ 的同胚像, 后者对角线论证一下.

$\square$

当然, 解析集还有许多等价形式.

定理 6.8.0.4. $A$ 是解析集与一下条件均等价:

1.	存在 Polish 空间 $Y$ 和 $X\times Y$ 的 Borel 子集 $B$ 使得 $A=\{x|\exists y((x,y)\in B)\}$
2.	存在闭集 $F\subseteq X\times \mathcal{N}$ 使得 $A=\{x|\exists y((x,y)\in F)\}$
3.	存在 $G_{\delta }$ 集 $G\subseteq X\times \mathcal{C}$ 使得 $A=\{x|\exists y((x,y)\in G)\}$

证明. 用 $\mathcal{N}$ 泛在集.

$\square$

不难发现解析集的一些简单性质.

定理 6.8.0.5. 解析集的可列交、可列并、Borel 像和 Borel 逆像都是解析集.

证明. 简单的.

$\square$

我们要用解析集来界定 Borel 集, 其依据是以下重要定理.

定理 6.8.0.6 (Luzin 分离定理). 任给可列个两两不交的解析集 $A_n$, 存在可列个两两不交的 Borel 集 $B_n\supseteq A_n$.

证明.

$\square$

定理 6.8.0.7 (Souslin 定理). 一个集合是 Borel 集, 当且仅当它与它的补集都解析.

证明.

$\square$