3.9. 初等基数算术

有了选择公理, 最重要的是有了良序原则, 每个集合都可以与至少一个序数扯上双射, 从而我们可以舒舒服服的声明以下定理.

定理 3.9.0.1. $|A|$ 现在可以看作给集合 $A$ 配上的唯一一个等势的基数.

评注. 今后我们将自然地在这个意义上混用基数与势. 特别地, 关于势比较的一切定理都可以这样移植到基数比较上来.

定义 3.9.0.2 (后继基数与极限基数). 对基数 $\kappa$ 而言, 已知 $\aleph (\kappa )$ 是比 $\kappa$ 大的最小基数, 我们把它称作 $\kappa$ 的后继基数.

如果一个基数不是任何基数的后继, 则称之为极限基数.

注意, 每个 $n\in \mathbb{N}$ 都是基数, 我们称之为有限基数; $\mathbb{N}$ 自己则是最小的极限基数, 我们在强调它是一个东西的势的时候记它为 ${\aleph }_0$, 在强调它是个基数的时候记它为 ${\omega }_0$.

$\aleph$ 这个下标令人浮想联翩, 而我们也确实可以用数数用的序数来数比大小用的基数.

定义 3.9.0.3 (Aleph 数). 我们递归地定义 ${\aleph }_{\alpha }$ 为

1.	${\aleph }_0$, 当 $\alpha =0$ 时;
2.	$\aleph ({\aleph }_{\beta })$, 当 $\alpha =\beta +1$ 时, 注意这里用的是序数加法;
3.	${\bigcup }_{\beta \in \alpha }{\aleph }_{\beta }$, 当 $\alpha$ 是个后继基数时.

在强调它是个基数的时候也记 ${\aleph }_{\alpha }$ 为 ${\omega }_{\alpha }$.

于是, 我们可以按序数数出一大堆 $\omega$. 其实它也有不动点, 但这又开始要数大序数了, 我们马上停止.

在关于实数的简单性质中, 我们不会涉及到 $|\wp \mathbb{N}|$ 以上的基数. 这是由以下定理保证的.

定理 3.9.0.4 (实数的势). $|\mathbb{R}|=|\wp \mathbb{N}|$

证明. 注意每个正实数都有唯一的连分数表示, 从而对应于非零自然数的有限或无限序列. 这些有限序列显然是可数的, 而无限序列恰好与全体自然数到自然数的函数的集等势, 后者根据基数算术可以算出势为 ${\aleph }_0^{{\aleph }_0}=2^{{\aleph }_0}$, 恰好是自然数幂集的势, 然后实数是正实数、负实数与 0 的无交并, 所以势为 $2^{{\aleph }_0}+2^{{\aleph }_0}+1=2^{{\aleph }_0}$, 这里用的是基数算术.

$\square$

可是, $|\mathbb{R}|$ 到底是 $\aleph$ 多少呢? Cantor 终其一生都相信是 ${\aleph }_1$, 这个猜想就是大名鼎鼎的连续统猜想 (CH,Continuum Hypothesis). 现代集合论已经证明, $\mathrm{CH}$ 是独立于 $\mathrm{ZFC}$ 的, 但 Woodin 等一众柏拉图主义者相信 $\mathrm{CH}$ 应当有一个真值, 只要向 $\mathrm{ZFC}$ 里再加一些条件——这个条件是什么, 据说是 V=Ultimate L, 但究竟行不行还只是个猜想.

现在, 我们来证明 $\mathrm{ZFC}$ 中能证明的一切关于基数幂运算的定理.

定义 3.9.0.5. 我们都记得 $A^B$ 指的是所有从 $B$ 到 $A$ 的函数构成的集合. 我们对两个基数 $\kappa$ 和 $\lambda$ 定义幂运算 ${\kappa }^{\lambda }=|{\kappa }^{\lambda }|$, 即算出来的结果是全体从 $\lambda$ 到 $\kappa$ 的函数构成的集的基数.

额外的令 ${\kappa }^{<\lambda }={\sup }_{\mu <\lambda }{\kappa }^{\mu }$, 这里出现的符号都是基数.

首先, 幂运算与加法、乘法的配合还是一如既往.

定理 3.9.0.6. ${\kappa }^{\lambda +\mu }={\kappa }^{\lambda }\times {\kappa }^{\mu }$; ${\kappa }^{\lambda \times \mu }=({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }$.

证明. 根据定义直接造出函数集之间的双射即可.

$\square$

然而, 虽然加法和乘法我们在上节都已经知道是平凡的了, 幂运算却远远不平凡, 因为大家很容易从 $|\wp (X)|=|2^X|$ 看出一些问题.

定义 3.9.0.7 (Beth 数). 我们定义 $\beth (\kappa )=2^{\kappa }$, 它又被称作连续统然函数; 然后对 $\alpha \in \mathbf{On}$ 做递归定义:

1.	${\beth }_0={\aleph }_0$
2.	${\beth }_{\alpha +1}=\beth ({\beth }_{\alpha })$
3.	${\beth }_{\alpha }={\bigcup }_{\beta \in \alpha }{\beth }_{\beta }$, 当 $\alpha$ 是个后继基数时.

这看起来很搞笑, 但 $\mathrm{ZFC}$ 真的几乎无法对 $\aleph$ 们和 $\beth$ 们做出任何比较.

定义 3.9.0.8. 连续统猜想 $\mathrm{CH}$ 就是命题: ${\beth }_1={\aleph }_1$

广义连续统猜想 $\mathrm{GCH}$ 就是命题: ${\beth }_{\alpha }={\aleph }_{\alpha }$ 对任何 $\alpha \in \mathbf{On}$ 成立.

评注. $\mathrm{ZFC}$ 不能证明 $\mathrm{CH}$ 也不能证否 $\mathrm{CH}$, 也不能证明 $\mathrm{GCH}$ 也不能证否 $\mathrm{GCH}$.

我们还是看看 $\mathrm{ZFC}$ 能干什么吧.

定义 3.9.0.9 (共尾). 对序数 $\alpha$, 我们定义它的共尾数 $\mathrm{cf}(\alpha )$ 为最小的 $\beta \in \mathrm{On}$, 使得存在一个序数族 $\{A_{\gamma }|\gamma <\beta \}\subseteq \alpha$ 满足 ${\bigcup }_{\gamma <\beta }{A}_{\gamma }=\alpha$. 这个序数族也被称作共尾序列.

评注. 显然, 共尾数一定是基数.

定义 3.9.0.10. 称 $\mathrm{cf}\kappa =\kappa$ 的基数为正则基数, 不正则的基数为奇异基数.

稍后会看到, 正则基数与奇异基数的性质非常不同. 正则基数的算术不受它下面的基数算术影响, 但奇异基数的算术则几乎由它下面的基数算术决定. 最简单的奇异基数的例子是 ${\aleph }_{\omega }$, 它的共尾数显然是 ${\aleph }_0$, 共尾序列就是 $\{{\aleph }_n\}$. 它的共尾数明显比它自己远远小.

我们来定义基数的无穷和与无穷积.

定义 3.9.0.11. 一族基数 $\{{\kappa }_{\beta }|\beta <\alpha \}$ 的无穷和定义为 ${\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }=|{\coprod }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }|$, 这里不交并是必要的, 因为基数本来是相互包含的. 无穷积定义为 $$\begin{gathered} {\prod }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta } \\ =|{\prod }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }| \end{gathered}$$.

它们虽然无穷了, 但还是很平凡.

定理 3.9.0.12. 非零基数的和 ${\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }=|\alpha |\times {\sup }_{\beta <\alpha }\{{\kappa }_{\beta }\}$, 这里的上确界是上确界基数而非上确界序数, 下同.

证明. 我们不妨设 $\alpha$ 是基数, 并记 $\kappa ={\sup }_{\beta <\alpha }\{{\kappa }_{\beta }\}$ 以及 $\sigma ={\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }$, 显然全部放大就给出 $\sigma \le \alpha \times \kappa$, 所以只要证明它倒过来的不等式就好. 首先, 显然 $\sigma \ge {\kappa }_{\beta }$, 所以 $\sigma \ge \kappa$; 又注意 ${\kappa }_{\beta }\ge 1$ 给出 $\sigma \ge {\sum }_{\beta <\alpha }1=\alpha$, 而基数乘法是平凡的, 我们就证明完了.

$\square$

定理 3.9.0.13. 若有非零基数的无穷族 ${\kappa }_{\beta }$, 则 ${\prod }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }=({\sup }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }{)}^{|\alpha |}$.

证明. 我们还是设 $\alpha$ 是基数, 并记 $\kappa ={\sup }_{\beta <\alpha }\{{\kappa }_{\beta }\}$ 以及 $\pi ={\prod }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }$. $\pi \le {\kappa }^{\alpha }$ 仍然是显然的, 因此我们来看另一个方向的不等式.

由于 $\alpha$ 是无穷基数, 我们早就知道 $\alpha \times \alpha =\alpha$, 因此我们可以将 $\alpha$ 分为 $\alpha$ 个不交的集 $A_{\beta }$, 且每个 $A_{\beta }$ 的基数都是 $\alpha$. 现在, 注意到 $\pi ={\prod }_{\beta <\alpha }|{\prod }_{i\in A_{\beta }}{\kappa }_i|\le {\prod }_{\beta <\alpha }\kappa ={\kappa }^{\alpha }$, 我们就完成了证明.

$\square$

关于无穷和与无穷积最重要的定理是如下的 K$\ddot{\mathrm{o}}$nig 不等式, 它和选择公理等价.

定理 3.9.0.14. 如果 $\forall \beta <\alpha ({\kappa }_{\beta }<{\lambda }_{\beta })$, 则 ${\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }<{\prod }_{\beta <\alpha }{\lambda }_{\beta }$.

证明. 显然在不等式中 ${\kappa }_{\beta }$ 全部取零就得到选择公理, 我们这里用选择公理来证明它. 由于上面给出的两个定理, 显然这个和是不大于这个积的. 现在我们证明不存在它们之间的双射, 换言之任给单射 $F:{\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta }\hookrightarrow {\prod }_{\beta <\alpha }{\lambda }_{\beta }$, 它必然不是满射.

我们考虑每个 ${\kappa }_{\beta }$ 的像集 $K_{\beta }\subseteq {\prod }_{\beta <\alpha }{\lambda }_{\beta }$, 我们的条件指出投影映射 ${\pi }_{\beta }:{\prod }_{\beta <\alpha }{\lambda }_{\beta }\twoheadrightarrow {\lambda }_{\beta }$ 给出的 ${\pi }_{\beta }(K_{\beta })$ 的基数小于 ${\lambda }_{\beta }$, 从而存在 $x_{\beta }\in {\lambda }_{\beta }$ 使得 $x\notin {\pi }_{\beta }(K_{\beta })$. 现在选择公理给出一个 $f\in {\prod }_{\beta <\alpha }{\lambda }_{\beta }$ 使得 $f(\beta )=x_{\beta }$, 则由 $x_{\beta }$ 的定义必须有 $f\notin F({\sum }_{\beta <\alpha }{\kappa }_{\beta })={\bigcup }_{\beta <\alpha }{K}_{\beta }$, 换言之 $F$ 不是满射.

$\square$

推论 3.9.0.15. $\mathrm{cf}({\kappa }^{\lambda })>\lambda$

证明. 这就是说不存在满足 $\forall \alpha <\lambda ({\kappa }_{\alpha }<{\kappa }^{\lambda })$ 的共尾序列, 使得 ${\sum }_{\alpha <\lambda }{\kappa }_{\alpha }={\kappa }^{\lambda }$. 这只需要发现 ${\sum }_{\alpha <\lambda }{\kappa }_{\alpha }<{\prod }_{\alpha <\lambda }({\kappa }^{\lambda })=({\kappa }^{\lambda }{)}^{\lambda }={\kappa }^{\lambda \times \lambda }={\kappa }^{\lambda }$.

$\square$

推论 3.9.0.16. ${\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }>\kappa$

证明. 假定有共尾序列满足 $\forall \alpha <\mathrm{cf}\kappa ({\kappa }_{\alpha }<\kappa )$ 而 ${\sum }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }{\kappa }_{\alpha }=\kappa$, 运用不等式可知 $\kappa ={\sum }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }{\kappa }_{\alpha }<{\prod }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }\kappa ={\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }$.

$\square$

这样, 我们又得到了一种构造基数的方式.

定义 3.9.0.17 (Gimel 函数). 定义 $\gimel (\kappa )={\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }$.

现在, 我们可以完整地序数基数幂运算的运算规律了.

定理 3.9.0.18. 给定无穷基数 $\lambda$, 我们可以递归地对无穷基数 $\kappa$ 计算 ${\kappa }^{\lambda }$ 如下:

1.	$\kappa \le \lambda$ 时: ${\kappa }^{\lambda }=\beth (\lambda )$
2.	$\kappa >\lambda$, 但存在 $\mu <\lambda$ 使得 ${\mu }^{\lambda }\ge \kappa$ 时: ${\kappa }^{\lambda }={\mu }^{\lambda }$
3.	$\kappa >\lambda$, 且对任意 $\mu <\lambda$ 都有 ${\mu }^{\lambda }<\kappa$ 时, 若 $\mathrm{cf}\kappa >\lambda$: ${\kappa }^{\lambda }=\kappa$
4.	$\kappa >\lambda$, 且对任意 $\mu <\lambda$ 都有 ${\mu }^{\lambda }<\kappa$ 时, 若 $\mathrm{cf}\kappa \le \lambda$: ${\kappa }^{\lambda }=\gimel (\kappa )$

证明. 对每个情况证明.

1.	$2<\kappa \le \lambda <2^{\lambda }\to \beth (\lambda )=2^{\lambda }\le {\kappa }^{\lambda }\le {\lambda }^{\lambda }\le (2^{\lambda }{)}^{\lambda }=2^{\lambda \times \lambda }=2^{\lambda }=\beth (\lambda )$
2.	${\mu }^{\lambda }\le {\kappa }^{\lambda }\le ({\mu }^{\lambda }{)}^{\lambda }={\mu }^{\lambda \times \lambda }={\mu }^{\lambda }$
3.	如果 $\kappa$ 是后继基数 (从而是正则基数, 从而一定是这个情况), 显然有 Hausdorff 公式 ${\aleph }_{\alpha +1}^{{\aleph }_{\beta }}={\aleph }_{\alpha }^{{\aleph }_{\beta }}\times {\aleph }_{\alpha +1}$; 如果 $\kappa$ 是极限基数, $\mathrm{cf}\kappa >\lambda$ 指出每个 $f:\lambda \to \kappa$ 都是有界的 (即存在 $\mu <\kappa$ 使得 $f(\lambda )\subseteq \mu$), 从而 ${\kappa }^{\lambda }\le {\sup }_{\mu <\kappa }{\mu }^{\lambda }\le \kappa$.
4.	这个情况下 $\kappa$ 一定是极限基数, 我们假定有共尾序列 ${\kappa }_{\alpha }$, 这里 $\alpha <\mathrm{cf}\kappa$. 我们有 ${\kappa }^{\lambda }\le ({\prod }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }{\kappa }_{\alpha }{)}^{\lambda }={\prod }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }{\kappa }_{\alpha }^{\lambda }\le {\prod }_{\alpha <\mathrm{cf}\kappa }{\sup }_{\mu <\kappa }{\mu }^{\lambda }\le {\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }$, 又有 ${\kappa }^{\mathrm{cf}\kappa }\le ({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mathrm{cf}\kappa }={\kappa }^{\lambda \times \mathrm{cf}\kappa }={\kappa }^{\lambda }$, 即证毕.

$\square$

最后, 我们指出: 显然的单调性 $\kappa \le \lambda \to 2^{\kappa }\le 2^{\lambda }$, Cantor 发现的 $2^{\kappa }>\kappa$ 和 K$\ddot{\mathrm{o}}$nig 不等式推出的 $\mathrm{cf}(2^{\kappa })>\kappa$ 就是 $\mathrm{ZFC}$ 对正则基数上的 $\beth$ 函数所知的一切.

定理 3.9.0.19 (Easton). 假定存在 $\mathrm{ZFC}+\mathrm{GCH}$ 的传递模型 $\mathcal{M}$, 在 $\mathcal{M}$ 上有一个从它的全体正则基数到它的全体基数的一个真类函数 $F$, 满足 $F(\kappa )>\kappa$、$\kappa \le \lambda \to F(\kappa )\le F(\lambda )$ 和 $\mathrm{cf}F(\kappa )>\kappa$, 则存在它的脱殊扩张 $\mathcal{M}[G]$ 与它拥有相同的基数和相同的共尾数 (从而有相同的正则基数), 且是 $\mathrm{ZFC}$ 的模型, 满足任给正则基数 $\kappa$ 都有 $\mathcal{M}[G]\models F(\kappa )=\beth (\kappa )$.

对于奇异基数, 我们则有一些对 GCH 的近似刻画. 首先是它的一个弱化形式.

定义 3.9.0.20. 奇异基数假设 $\mathrm{SCH}$ 指的是: 对任何奇异基数 $\kappa$, 若 $\beth (\mathrm{cf}\kappa )<\kappa$, 则 $\gimel (\kappa )=\aleph (\kappa )$.

评注. 显然 $\beth (\mathrm{cf}\kappa )\ge \kappa$ 时 $\beth (\mathrm{cf}\kappa )=\gimel (\kappa )$, 而 $\beth (\mathrm{cf}\kappa )<\kappa$ 时 $\aleph (\kappa )$ 是 $\gimel (\kappa )$ 的最小可能取值.

评注. $\mathrm{SCH}$ 与某个大基数不存在等价, 因此一般大家都不相信它.

Silver 在 $\mathrm{ZFC}$ 中为我们提供了看待 $\mathrm{SCH}$ 的一个视角.

定理 3.9.0.21. 若 $\mathrm{SCH}$ 对所有共尾数为 $\omega$ 的奇异基数都成立, 则 $\mathrm{SCH}$ 成立.

他还给出看待奇异基数的 $\mathrm{GCH}$ 的一个视角.

定理 3.9.0.22. 若一奇异基数的共尾数大于 $\omega$, 且在它的下方 $\mathrm{GCH}$ 成立, 则在它这里 $\mathrm{GCH}$ 也成立.

然而, 这两个定理的证明并不容易, 它需要一些额外的概念, 我们将在后面继续讨论.