8.1. 世界基数及其强化

一言以概, 世界基数就是让 $V_{\kappa }$ 为 $ZF$ 模型的基数; 然而, 这毕竟有两种形式化, 我们首先来看错误版本.

定义 8.1.0.1 (错误的版本). 在 ${\mathcal{L}}_{\in }$ 中新增常元符号 $K$, 然后考虑以下理论:

1.	$ZF$;
2.	$\exists \kappa (\mathrm{isCard}(\kappa )\wedge V_{\kappa }=K)$;
3.	$ZF$ 中每条公理相对化到 $K$ 上形成的公式.

这是错误的理论, 是因为这样形成的世界基数 $\{\alpha \in K|\mathrm{isOrd}(\alpha )\}$ 的存在性并不证明 $ZF$ 一致 (正如 1.5.2 中那个对正确基数的错误刻画), 这整套理论与 $ZF$ 等一致 (注意到 $ZF$ 一致时它有穷可满足).

定义 8.1.0.2 (正确的版本). 鉴于 $ZF$ 递归可枚举, 有一 $\omega$ 上的递归函数 (因而它 ${\Delta }_1^{T_{Ar}}$ 可定义) 举出其形式化版本 $┌ZF┐$ 作为一集合. 如果 $\forall s\in ┌ZF┐$ 都有 $V_{\kappa }\models s$, 则称 $\kappa$ 是世界 (worldly) 基数. 这样, 世界基数在 $ZF$ 中就有 ${\Pi }_1$ 定义.

显然, 存在一个世界基数就能证明 $\mathrm{Con}(ZF)$. 我们先指出最小世界基数的一个性质, 当然我们要默认所宣称的对象存在.

定理 8.1.0.3 ($ZF$). 最小的世界基数 $\omega$ 共尾.

证明. 在最小的世界基数 $\kappa$ 形成的 $V_{\kappa }$ 中, 它当然不认为自己 $\omega$ 共尾, 然而这不过是说明这共尾列在其中不可定义. 鉴于 $V_{\kappa }$ 事实上是个用 $\kappa$ 可 ${\Delta }_1$ 定义的集合, $V_{\kappa }\models$ 也是 ${\Delta }_1$ 可定义的, 因此对分层正确基数的讨论就告诉我们 $V_{\kappa }$ 下让 $V_{\alpha }{\prec }_n{V}_{\kappa }(n\in \omega )$ 的 $\alpha$ 总是闭无界的, 因此我们将这 $\omega$ 个闭无界集交起来后若得到不空集, 这集中元素就见证 $\kappa$ 并非最小基数, 因此它们交空, 进而我们可以先任取 ${\alpha }_0\in \kappa$, 然后依次取 ${\alpha }_{n+1}$ 为最小的大于 ${\alpha }_n$ 且让 $V_{{\alpha }_{n+1}}{\prec }_{n+1}{V}_{\kappa }$ 的序数, 所得到的 ${\alpha }_n$ 就见证 $\mathrm{cf}(\kappa )=\omega$.

$\square$

世界基数本身并无更有趣的性质 (它几乎仅是 “存在 $ZF$ 传递模型” 的一个实例), 但将它与正确基数的想法合起来考虑会得到一个有趣的强化.

定义 8.1.0.4. 如果 $\kappa$ 让 $V_{\kappa }$ 是某个 $\gamma >\kappa$ 形成的 $V_{\gamma }$ 的初等子模型 (注意这件事在 $ZF$ 中 ${\Sigma }_1$), 则称 $\kappa$ 是他世界 (otherworldly) 基数.

虽然定义中没指出这点, 但名称中我们其实指出:

定理 8.1.0.5 ($ZFC$). 他世界基数是世界基数.

证明. 如果 $V_{\kappa }\prec V_{\gamma }$, 我们先证明 $\kappa$ 是基数: 否则存在 $R\in V_{\kappa }$ 序型为 $\kappa$, 但 $V_{\gamma }$ 能看到它与一个序数双射, $V_{\kappa }$ 却看不到这一点, 这就矛盾了. 又显然 $\omega$ 并非他世界 ($V_{\omega }\models \mathbb{V}=\mathbb{HF}$ 将其指定), $V_{\kappa }$ 自然满足除替代公理模式外的每条 $ZFC$ 公理; 为了证明替代公理模式, 让我们考虑一个在 $V_{\kappa }$ 上定义 ($V_{\kappa }$ 认为的) 真类函数的公式; 鉴于 $V_{\kappa }\in V_{\gamma }$, 这公式在 $V_{\gamma }$ 中给出一个集合; 于是任给 $V_{\kappa }$ 中的集合, $V_{\gamma }$ 能发现它的像集仍是集合, $V_{\kappa }$ 必赞同此事.

$\square$

在 $V_{\kappa }$ 中并无一句子可言说 $\kappa$ 他世界, $V_{\gamma }$ 也不知道 $\kappa$ 他世界, 但 $V_{\gamma }$ 至少知道 $\kappa$ 世界, 这一论证持续下去就指出:

定理 8.1.0.6 ($ZFC$). 他世界基数之下的世界基数无界.

证明. 假定 $\kappa$ 是他世界基数, 我们对 $\alpha \in \kappa$ 归纳地证明总能在 $V_{\kappa }$ 中找到一长 $\alpha$ 的世界基数列. $\alpha =\varnothing$ 自不必多说; $\alpha =\beta +1$ 时, 鉴于 $V_{\kappa }$ 知道存在长 $\beta$ 的世界基数列, 将 $\kappa$ 塞进去后 $V_{\gamma }$ 就知道存在长 $\beta +1$ 的世界基数列, 因此 $V_{\kappa }$ 也知道这件事; 在极限步, $V_{\kappa }$ 知道对任何 $\beta <\alpha$ 都存在长 $\beta$ 的世界基数列, 于是可以对每个 $\beta$ 选取这样一列东西, 将它们全部并在一起后就有至少 $\alpha$ 个世界基数.

$\square$

我们还可以继续加强他世界基数.

定义 8.1.0.7. 如果 $\kappa$ 让任何 $\theta >\kappa$ 都继续有 $\gamma >\theta$ 使得 $V_{\kappa }\prec V_{\gamma }$(这句话 ${\Pi }_2$ 了), 则称 $\kappa$ 是彻底 (totally) 他世界基数.

显然彻底他世界基数一定他世界, 进而 (在 $ZFC$ 里) 一定世界; 而正如世界基数在他世界基数之下无界, 我们也有:

定理 8.1.0.8 ($ZFC$). 彻底他世界基数之下的他世界基数无界.

证明. 我们首先指出, 彻底他世界基数自带一定的正确性.

定理 8.1.0.9 ($ZFC$). 彻底他世界基数 ${\Sigma }_2$ 正确.

证明. 这是因为 ${\Sigma }_2$ 句子都不妨被考虑为 $\exists \theta (V_{\theta }\models \psi )$ 这样的句子, 而这句子对当且仅当某个 $\gamma >\theta$ 对应的 $V_{\gamma }$ 认为它对, 又鉴于一定有 $\gamma >\theta$ 让 $V_{\kappa }\prec V_{\gamma }$, 这句子对就当且仅当 $V_{\gamma }$ 认为它对, 当且仅当 $V_{\kappa }$ 认为它对.

$\square$

这里的常数 $2$ 显然不可改进, 因为:

推论 8.1.0.10 ($ZFC$). 最小的彻底他世界基数小于最小的 ${\Sigma }_3$ 正确基数.

证明. “存在彻底他世界基数” 是 ${\Sigma }_3$ 句子.

$\square$

另一方面, 这指出:

推论 8.1.0.11 ($ZFC$). 他世界基数不被同类误解; 这是说如果 $\kappa <\lambda$ 均为彻底他世界基数, 则 $V_{\lambda }$ 认为 $\kappa$ 是彻底他世界基数.

证明. 这是因为 $\kappa \in V_{\lambda }$ 而 $\kappa$ 是彻底他世界基数这句话 ${\Pi }_2$.

$\square$

本定理的证明类似给出: 任给 $\alpha <\kappa$, $\kappa$ 自己是他世界基数, 而 “存在 $\alpha$ 之上的他世界基数” 这件事不过 ${\Sigma }_1$, $\kappa$ 的 ${\Sigma }_2$ 正确性指出 $V_{\kappa }$ 知道这件事, 因此有 $\lambda$ 夹在 $\alpha$ 和 $\kappa$ 之间, $V_{\kappa }$ 认为 $\lambda$ 是他世界基数; 再次鉴于 $\kappa$ 的 ${\Sigma }_2$ 正确性, $\lambda$ 确实就是个他世界基数.

$\square$

总结起来, 我们有:

定理 8.1.0.12 ($ZFC$). 以下理论依次推出后一个理论一致:

1.	$ZFC+$ 彻底他世界基数无界多;
2.	$ZFC+$ 存在彻底他世界基数;
3.	$ZFC+$ 他世界基数无界多;
4.	$ZFC+$ 存在他世界基数;
5.	$ZFC+$ 世界基数无界多;
6.	$ZFC+$ 存在世界基数;
7.	$ZFC+$ 存在 $┌ZFC┐$ 的传递模型;
8.	$ZFC$.