3.3. 从 DB 到 DS

我们现在考虑 $D{B}_0$ 的一个加强.

定义 3.3.0.1. 定义 ${\Pi }_1-DB+(Found)+(Inf)+(FinSub)$ 为 $DS$.

$DS$ 有一种奇妙的自增强现象, 我们最好品鉴一番.

定义 3.3.0.2 ($T_{Ar}$). 定义以下 ${\Pi }_2$ 预函数, 称作 $y$ 是 $x$ 的有穷子集族: $y=\mathrm{FinSub}(x)\leftrightarrow \forall z\in y(\forall w\in z(w\in x)\wedge \mathrm{isFin}(z))\wedge \forall z(\forall w\in z(w\in x)\wedge \mathrm{isFin}(z)\to z\in y)$

这正是有穷子集族公理会给我们带来的那个函数符号. 我们将在 $D{B}_0$ 中造出 ${\Delta }_{0;;FS}$($FS$ 是 $\mathrm{FinSub}$ 的缩写) 公式们的一系列正规形式, 以剥离出这些 $\mathrm{FinSub}$ 量词. 所谓限制 (Limited), 即指 ${\Delta }_{0;;FS}$; 所谓受限 (Restricted), 即指 ${\Delta }_0$.

我们首先将嵌套的量词解开, 因而可以直接对约束其他约束变元的自由变元做处理.

元定理 3.3.0.3 (第一限制正规形). 若 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{n}})$ 共有 $\mathfrak{m}+1$ 个限制或受限量词, 则对每个元自然数 $\mathfrak{j}\le \mathfrak{m}$ 存在两个对应的元自然数 ${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}\le \mathfrak{n}$ 和 ${\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}$, $\mathfrak{m}+1$ 个新变元符号 $y_0,...,y_{\mathfrak{m}}$ 和一个 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 ${\psi }_1(x_0,...,x_{\mathfrak{n}},y_0,...,y_{\mathfrak{m}})$, 使得 ${\psi }_1$ 每个限制或受限量词处均有约束变元被某个 $y_{\mathfrak{j}}$ 所限, 且$$D{B}_0⊢\forall \vec{x}\forall \vec{y}(\underset{0\le \mathfrak{j}\le \mathfrak{m}}{\bigwedge }{y}_{\mathfrak{j}}=\stackrel{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}times}{\overbrace{\bigcup ...\bigcup }}{x}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}\to (\phi \leftrightarrow {\psi }_1))$$

证明. 我们考虑以下四种 $Re{S}_0$ 可证等价的规约方式.

1.	$\forall a\in x\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in x\exists b\in \bigcup x(b\in a\wedge \varphi )$
2.	$\forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in x(b\in a\wedge \varphi )$
3.	$\forall a\in x\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in x\exists b\in \mathrm{FinSub}(\bigcup x)(\forall s\in \bigcup (x)(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi )$
4.	$$\begin{gathered} \forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in \mathrm{FinSub}(x) \\ (\forall s\in x(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi ) \end{gathered}$$

将 $\phi$ 的量词全部集中于前, 然后用此归约逐步改写直到符合要求即得 ${\psi }_1$.

$\square$

我们的目标是加强分离公理模式, 因此自然希望全体自由变元受限于某个被分离的集合.

元定理 3.3.0.4 (第二限制正规形). 若 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{n}})$ 共有 $\mathfrak{m}+1$ 个限制或受限量词, 则继承第一限制正规形给出的诸 ${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}},{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}$, 我们在诸 $y_{\mathfrak{j}}$ 之外再引入 $\mathfrak{n}+1$ 个新自由变元 $w_{\mathfrak{i}}$, 然后宣称: 对任意将元自然数集合 $\{0,...,\mathfrak{n}\}$ 划分为三个不交部分 $R,S,U$ 的划分方式, 均存在一个对应的 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 ${\psi }_2(x_0,...,x_{\mathfrak{n}},y_0,...,y_{\mathfrak{m}})$, 使得 ${\psi }_2$ 每个限制或受限量词处均有约束变元被某个 $y_{\mathfrak{j}}$ 所限, 且满足

$$\begin{gathered} D{B}_0⊢\forall \vec{w}\forall \vec{x}\forall \vec{y}( \\ \underset{\mathfrak{i}inR}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}\in w_{\mathfrak{i}}\wedge \underset{\mathfrak{i}inS}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}\subseteq w_{\mathfrak{i}}\wedge \underset{\mathfrak{i}inU}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}=w_{\mathfrak{i}} \\ \wedge \underset{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}inR}{\bigwedge }{y}_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}+1}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}\wedge \underset{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}notinR}{\bigwedge }{y}_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}} \\ \to (\phi \leftrightarrow {\psi }_2)) \end{gathered}$$

证明. 直接从第一限制正规性上动手是不行的, 我们要改整个转写过程. 注意 $R$ 增厚一层 $\in$ 关系, $S$ 对应的 $x\subseteq w$ 其实是 $\forall a\in x(a\in w)$, 而 $U$ 只是变元替换, 我们只处理前两种. 我们同样只给出四个规约方式现在发生的变化.

1.

${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}inR$, 此时前提从 $y_{\mathfrak{j}}={\bigcup }^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{x}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}$ 变成了 $y_{\mathfrak{j}}={\bigcup }^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}+1}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}$, 注意 $x_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}\in w_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}$. 1. $\forall a\in x\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \bigcup w(a\in x\to \exists b\in {\bigcup }^{2}w(b\in a\wedge \varphi ))$ 2. $\forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(\bigcup w)(\forall b\in {\bigcup }^{2}w(b\in a\to b\in x)\to \exists b\in \bigcup w(b\in a\wedge \varphi ))$ 3. $$\begin{gathered} \forall a\in x\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \bigcup w(a\in x\to \exists b\in \mathrm{FinSub} \\ ({\bigcup }^{2}w)(\forall s\in {\bigcup }^{2}w(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi )) \end{gathered}$$ 4. $\forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(\bigcup w)(\forall b\in {\bigcup }^{2}w(b\in a\to b\in x)\to \exists b\in \mathrm{FinSub}(\bigcup w)(\forall s\in \bigcup w(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi ))$

2.

${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}notinR$, 此时前提还是 $y_{\mathfrak{j}}={\bigcup }^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}$, 注意 $x_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}\subseteq w_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}$. 1. $\forall a\in x\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in w(a\in x\to \exists b\in \bigcup w(b\in a\wedge \varphi ))$ 2. $\forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in a(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(w)(\forall b\in \bigcup w(b\in a\to b\in x)\to \exists b\in w(b\in a\wedge \varphi ))$ 3. $$\begin{gathered} \forall a\in x\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in w(a\in x\to \exists b\in \mathrm{FinSub}(\bigcup w) \\ (\forall s\in \bigcup w(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi )) \end{gathered}$$ 4. $\forall a\in \mathrm{FinSub}(x)\exists b\in \mathrm{FinSub}(a)(\varphi )\leftrightarrow \forall a\in \mathrm{FinSub}(w)(\forall b\in \bigcup w(b\in a\to b\in x)\to \exists b\in \mathrm{FinSub}(w)(\forall s\in w(s\in b\to s\in a)\wedge \varphi ))$

将 $\phi$ 的量词全部集中于前, 然后用此归约逐步改写直到符合要求即得 ${\psi }_2$.

$\square$

接下来, 我们把 ${\Delta }_{0;;FS}$ 改进为 ${\Delta }_0$. 首先延续第一限制正规形的思路.

元定理 3.3.0.5 (第一受限正规形). 若 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{n}})$ 共有 $\mathfrak{m}+1$ 个限制或受限量词, 则继承第一限制正规形给出的诸 ${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}},{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}$, 我们在诸 $y_{\mathfrak{j}}$ 之外再引入 $\mathfrak{m}+1$ 个新自由变元 $z_{\mathfrak{j}}$, 然后宣称: 有一个将元自然数集合 $\{0,...,\mathfrak{n}\}$ 划分为两个不交部分 $R_{\psi },L_{\psi }$ 的划分方式, 使得存在一个对应的 ${\Delta }_{0,}$ 公式 ${\psi }_3(x_0,...,x_{\mathfrak{n}},z_0,...,z_{\mathfrak{m}})$, 使得 ${\psi }_3$ 每个受限量词处均有约束变元被某个 $z_{\mathfrak{j}}$ 所限, 且满足

$$\begin{gathered} D{B}_0⊢\forall \vec{x}\forall \vec{y}\forall \vec{z}( \\ \underset{\mathfrak{j}\in R_{\psi }}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=y_{\mathfrak{j}}\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{x}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}})\wedge \underset{\mathfrak{j}\in L_{\psi }}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=\mathrm{FinSub}(y_{\mathfrak{j}})\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{x}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}) \\ \to (\phi \leftrightarrow {\psi }_3)) \end{gathered}$$

证明. 我们只不过是把那些 $\mathrm{FinSub}$ 出现的地方全部提取到了公式 ${\varphi }_1$ 之外.

$\square$

现在, 我们延续第二限制正规形的思路, 把第一受限正规形改成更好用的形式.

元定理 3.3.0.6 (第二受限正规形). 若 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{n}})$ 共有 $\mathfrak{m}+1$ 个限制或受限量词, 则继承第一限制正规形给出的诸 ${\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}},{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}$, 我们在诸 $y_{\mathfrak{j}}$ 之外再引入 $\mathfrak{n}+1$ 个新自由变元 $w_{\mathfrak{i}}$ 和 $\mathfrak{m}+1$ 个新自由变元 $z_{\mathfrak{j}}$, 然后宣称: 有一个将元自然数集合 $\{0,...,\mathfrak{n}\}$ 划分为两个不交部分 $R_{\psi },L_{\psi }$ 的划分方式, 使得对任意将元自然数集合 $\{0,...,\mathfrak{n}\}$ 划分为三个不交部分 $R,S,U$ 的划分方式, 均存在一个对应的 ${\Delta }_0$ 公式 ${\psi }_4(x_0,...,x_{\mathfrak{n}},z_0,...,z_{\mathfrak{m}})$, 使得 ${\psi }_4$ 每个受限量词处均有约束变元被某个 $z_{\mathfrak{j}}$ 所限, 且满足

$$\begin{gathered} D{B}_0⊢\forall \vec{w}\forall \vec{x}\forall \vec{y}\forall \vec{z}( \\ \underset{\mathfrak{i}inR}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}\in w_{\mathfrak{i}}\wedge \underset{\mathfrak{i}inS}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}\subseteq w_{\mathfrak{i}}\wedge \underset{\mathfrak{i}inU}{\bigwedge }{x}_{\mathfrak{i}}=w_{\mathfrak{i}} \\ \wedge \underset{\mathfrak{j}\in R_{\psi }and{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}inR}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=y_{\mathfrak{j}}\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}+1}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}) \\ \wedge \underset{\mathfrak{j}\in L_{\psi }and{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}inR}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=\mathrm{FinSub}(y_{\mathfrak{j}})\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}+1}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}) \\ \wedge \underset{\mathfrak{j}\in R_{\psi }and{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}notinR}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=y_{\mathfrak{j}}\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}) \\ \wedge \underset{\mathfrak{j}\in L_{\psi }and{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}notinR}{\bigwedge }(z_{\mathfrak{j}}=\mathrm{FinSub}(y_{\mathfrak{j}})\wedge y_{\mathfrak{j}}=\bigcup ^{{\mathfrak{l}}_{\mathfrak{j}}}{w}_{{\mathfrak{k}}_{\mathfrak{j}}}) \\ \to (\phi \leftrightarrow {\psi }_4)) \end{gathered}$$

证明. 我们只不过是把那些 $\mathrm{FinSub}$ 出现的地方全部提取到了公式 ${\varphi }_2$ 之外.

$\square$

第二受限正规形最终告诉我们如下事实.

元定理 3.3.0.7. $DS$ 有 ${\Delta }_{0;;FS}$ 分离公理模式.

证明. 这里当然也可以增强地证明: 对于 ${\Delta }_{0;;FS}$ 公式 $\phi (x_0,...,x_{\mathfrak{m}},v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})$ 和集合 $D,v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$, 总能分离出集合 $$\begin{gathered} S=\{(x_0,...,x_{\mathfrak{m}})\in D^{(\mathfrak{m}+1)}|\phi (x_0,..., \\ {x}_{\mathfrak{m}},v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1})\} \end{gathered}$$. 将 $x_0,...,x_{\mathfrak{m}}$ 设置为 $R$, $v_0,...,v_{\mathfrak{n}-1}$ 设置为 $U$, 取第二受限正规形 ${\psi }_4$, 则诸参数均 $DS$ 可证存在, 所以用 ${\psi }_4$ 分离即得所要的 $S$.

$\square$

推论 3.3.0.8. $DS$ 可证每个递归函数的表示都从宇宙中分离出一个集合.

证明. 这是因为我们已经可证每个递归函数都有表示, 而查考其生成过程可发现它们都是 ${\Delta }_{0;;FS}$ 可定义的, 从对应的 ${\omega }^{(\mathfrak{n})}$ 上分离即可.

$\square$

评注. 这意味着我们不再需要 ${\Sigma }_2$ 基础公理模式来获得自然数加法了.

当然, 这个正规形还有别的妙用, 我们这里举一个例子.

元定理 3.3.0.9. 每个 ${\Pi }_{1,FS}$ 公式都是 $DS$ 可证 ${\Pi }_1$ 的.

证明. 取第二受限正规形, 然后把 $z=\mathrm{isFin}(y)$ 调为其 ${\Sigma }_1$ 形式.

$\square$

我们现在来看 ${\Delta }_{0;;FS}$ 分离会给我们什么. 我们先证明有穷性是 ${\Delta }_1^{DS}$ 的.

定义 3.3.0.10 (Kuratowski 有限). 做谓词 $\mathrm{isKFin}(x)\leftrightarrow \forall s(\forall t\in s(t\subseteq x)\wedge \varnothing \in s\wedge \forall t\in s\forall a\in x\exists r\in s(r=t\cup \{a\})\to s=\wp (x))$, 此谓词 ${\Pi }_1$.

定理 3.3.0.11 ($DS$). Kuratowski 有限等价于标准有限.

证明. 先证明 Kuratowski 有限蕴含标准有限. 直接查考知 $\mathrm{FinSub}(x)=\wp (x)$, 特别地 $x\in \mathrm{FinSub}(x)$ 指出 $\mathrm{isFin}(x)$, 立即证毕.

还需要证明标准有限则 Kuratowski 有限. 我们先证明每个自然数的子集都是有穷集, 假定 $x\subseteq n$, 我们需要证明 $$\begin{gathered} \exists m\in \mathrm{Succ}(n)\exists f\in \mathrm{FinSub}({\omega }^{(2)}) \\ (\mathrm{isBijOn}(f,x,m)) \end{gathered}$$. 用 ${\Delta }_{0;;FS}$ 分离得 $$\begin{gathered} \{m\in \mathrm{Succ}(n)|\exists f\in \mathrm{FinSub}({\omega }^{(2)})\mathrm{isInjOn} \\ (f,x,m)\} \end{gathered}$$, 由于 $n$ 显然属于之此集不空, 故得其最小元 $m$ 及对应 $f$, 只需论证 $f$ 是双射, 后略.

于是自然数的子集都有穷, 于是自然数总有幂集. 现在考虑通过函数 $f$ 双射于自然数 $n$ 的集合 $x$, 如果集合 $s$ 中元素均为 $x$ 子集, 且 $\varnothing \in s$, 且 $s$ 中元素并一个 $x$ 单点子集仍为 $s$ 元素, 要证明 $x$ 的子集必属于 $s$. 注意到 $f$ 同样将 $x$ 子集双射为自然数 $n$ 子集, 故对每个 $x$ 子集均有自然数 $m$ 与之双射, 于是 $\mathrm{FinSub}(x)$ 就是 $\wp (x)$ 且 $s$ 是其子集, 只需验证 $s=\mathrm{FinSub}(x)$. 假定存在不属于 $s$ 的 $x$ 子集 $t$, 从 $\mathrm{FinSub}(x)$ 中分离出所有不属于 $s$ 的 $t$ 子集, 然后取这不空集族的交集得到 $t$ 的一个子集 $r$. 如果 $r$ 不属于 $s$, 则 $r$ 的一切子集均属于 $s$ 且 $r$ 不空, 显然由 $s$ 定义立即矛盾, 因此必有 $r$ 属于 $s$.

不妨令 $t$ 通过函数 $f$ 双射于自然数 $m$, 且 $f$ 将 $r$ 双射为 $k\subseteq m$. 显然 $k\ne m$, 于是不妨设 $m\backslash k$ 通过 $g$ 双射于自然数 $l$. 我们证明: $\forall a\in \mathrm{Succ}(l)\exists b\subseteq t(b\in s\wedge \forall c\in b(c\in r\vee g(f(c))\in a))$. 同样用 ${\Delta }_0$ 分离加集合基础来模拟这个 $\mathrm{Succ}(l)$ 上的归纳法, 然后在 $l\in \mathrm{Succ}(l)$ 处我们就知道了 $t\in s$, 产生矛盾.

$\square$

推论 3.3.0.12. $\mathrm{isFin}$ 是 ${\Delta }_1^{DS}$ 谓词.

评注. 注意, 如果没有有穷子集族公理, 则需要幂集公理和 ${\Sigma }_1$ 分离公理模式来得到有穷子集族.

最后, 我们证明 $\mathrm{FinSub}$ 相关的论断全都是 ${\Delta }_1^{DS}$ 的.

元定理 3.3.0.13. $x\in \mathrm{FinSub}(y)$, $x\subseteq \mathrm{FinSub}(y)$ 和 $x=\mathrm{FinSub}(y)$ 都 ${\Delta }_1^{DS}$.

证明. 由于 $\mathrm{isFin}$ 是 ${\Delta }_1^{DS}$ 的, 我们给出的定义已经直接说明 $$\begin{gathered} x\in \mathrm{FinSub}(y) \\ \leftrightarrow x\subseteq y\wedge \mathrm{isFin}(x) \end{gathered}$$ 是 ${\Delta }_1^{DS}$ 的, $x=\mathrm{FinSub}(y)$ 是 ${\Pi }_1$ 的, $x\subseteq \mathrm{FinSub}(y)\leftrightarrow \forall z\in x(z\subseteq y\wedge \mathrm{isFin}(z))$ 是 ${\Pi }_1^{DS}$ 的. 为了证明他俩 ${\Sigma }_1^{DS}$, 我们给出一个新的谓词.

定义 3.3.0.14. 记 ${\Delta }_0$ 公式 ${\Psi }_{FS}(q,y)\leftrightarrow \varnothing \in q\wedge \forall w\in q\forall x\in y(w\cup \{x\}\in q)$.

断言. $$\begin{gathered} x\subseteq \mathrm{FinSub}(y)\leftrightarrow \exists c(\forall z\in x(z\subseteq y)\wedge \forall z\in x\exists f\in c\exists n\in \omega (\mathrm{isBijOn} \\ (f,z,n))) \end{gathered}$$

证明. $c=\mathrm{FinSub}(y\times \omega )$.

$\square$

断言. $x=\mathrm{FinSub}(y)\leftrightarrow x\subseteq \mathrm{FinSub}(y)\wedge {\Psi }_{FS}(x,y)$

证明. 这是因为 ${\Psi }_{FS}(x,y)\to \forall z(z\in \mathrm{FinSub}(y)\to z\in x)$. 反证, 假定 $z\in \mathrm{FinSub}(y)$ 不属于 $x$, 则由于 $\mathrm{FinSub}(z)=\wp (z)\subseteq \mathrm{FinSub}(y)$ 我们可以查考所有不属于 $x$ 的 $z$ 子集构成的集族, 下同我们之前证明标准有穷则 Kuratowski 有穷的方案.

$\square$

这就是我们所要的两个 ${\Sigma }_1$ 等价形式.

$\square$