1. 初等知识

我们现在来回顾一系列重要概念与构造.

定义 1.0.1. 我们称满足下述条件的 $F$ 为一个滤:

1.	$F\subseteq \wp (\bigcup F)$;
2.	$\varnothing \notin F\wedge \bigcup F\in F$;
3.	$\forall x\in F\forall y\subseteq \bigcup F(x\subseteq y\to y\in F)$;
4.	$\forall x\in F\forall y\in F(x\cap y\in F)$.

有时, 我们也称 $F$ 是 $\bigcup F$ 上的一个滤.

如果 $\forall y\subseteq \bigcup F(y\in F\vee (\bigcup F\backslash y)\in F)$, 则称 $F$ 是个超滤.

注 1.0.2. 注意, $\mathrm{isFilt}(F)$ 和 $\mathrm{isUltFilt}(F)$ 都是 ${\Pi }_1$ 谓词.

滤的反面是理想.

定义 1.0.3. 我们称满足下述条件的 $\mathcal{I}$ 为一个理想:

1.	$\mathcal{I}\subseteq \wp (\bigcup \mathcal{I})$;
2.	$\varnothing \in \mathcal{I}\wedge \bigcup \mathcal{I}\notin \mathcal{I}$;
3.	$\forall x\in \mathcal{I}\forall y\subseteq \bigcup \mathcal{I}(y\subseteq x\to y\in \mathcal{I})$;
4.	$\forall x\in \mathcal{I}\forall y\in \mathcal{I}(x\cup y\in \mathcal{I})$.

有时, 我们也称 $\mathcal{I}$ 是 $\bigcup \mathcal{I}$ 上的一个理想.

如果 $\forall y\subseteq \bigcup \mathcal{I}(y\in \mathcal{I}\vee (\bigcup \mathcal{I}\backslash y)\in \mathcal{I})$, 则称 $\mathcal{I}$ 是个极大理想.

显然, $F$ 是滤当且仅当 $\mathcal{I}=\{\bigcup F\backslash X|X\in F\}$ 是理想, 所以我们在这个意义上会混用滤和理想的概念.

我们首先指出一些常见的滤.

定义 1.0.4 (主超滤). 任给集 $x\in X$, 均可定义 $Y\in {\mathcal{P}\mathcal{F}}_x$ 当且仅当 $x\in Y$ 来得到 $x$ 生成的主超滤 ${\mathcal{P}\mathcal{F}}_x\subseteq \wp (X)$.

定理 1.0.5. 主超滤是超滤.

证明. 显然; 值得注意的是说明它是超滤需要用排中律.

$\square$

定义 1.0.6 (Frechet 滤). 任给 (标准) 无穷集 $X$, 均可用 $Y\in \mathcal{FF}$ 当且仅当 $\mathrm{isFin}(X\backslash Y)$ 来得到一个滤 $\mathcal{FF}\subseteq \wp (X)$.

证明. 显然; 值得注意的是将标准无穷换成任何无穷都能类似得到滤子.

$\square$

一个自然的希望是要求有 Frechet 超滤, 但这是选择公理的弱形式.

定义 1.0.7 (超滤引理). 我们简称以下公理为 $UL$:$$\forall F\exists U(\mathrm{isFilt}(F)\to (\mathrm{isUltFilt}(U)\wedge F\subseteq U\wedge \bigcup F=\bigcup U))$$

定理 1.0.8. $AC\to UL$.

证明. 显然集 $X$ 上全体滤子在包含关系下成一偏序集, 特别地全体包含某一滤子 $F$ 的滤子构成一偏序集. 我们证明这偏序集的链必有上确界, 然后用 Zorn 引理获得极大的包含 $F$ 的滤子 $U$, 最后证明 $U$ 是超滤.

给定一集 $X$ 上滤子 $\{F_i|i\in I\}$, 我们证明: 如果 $\forall i,j\in I(F_i\subseteq F_j\vee F_j\subseteq F_i)$, 则 ${\bigcup }_{i\in I}{F}_i$ 同样是 $X$ 上滤子. 前三条要求易于验证, 两集交用到了假设来将两个滤中元素合并到一个滤里.

接下来我们证明极大滤就是超滤: 不存在滤子 $U$ 的真扩张, 当且仅当任何不属于 $U$ 的元素加入其中都破坏它作为滤子的性质, 当且仅当任何不属于 $U$ 的元素对 $X$ 的补集都早已属于 $U$.

$\square$

今后我们将知道 $UL$ 不能推出 $AC$, 但目前让我们假定 $UL$, 这样就存在包含 Frechet 滤的超滤, 不妨统一叫它们非主超滤, 这是因为:

定理 1.0.9. 一个超滤或是主超滤, 或包含 Frechet 滤.

证明. 如果一个超滤 $U$ 不包含 Frechet 滤, 那么存在有穷集 $Y\in U$. $Y$ 只有有穷多个元素, 因此我们可以逐一询问它们构成的单点集是否属于 $U$; 如果答案均为否定, 则 $\forall y\in Y(X\backslash \{y\}\in U)$(这是因为 $U$ 是超滤), 将这有穷多个东西交起来 (这意味着这一论证不能扩展到不是标准有限的其他有限性上) 就知道 $X\backslash Y\in U$, 矛盾! 因此必有一 $y\in Y$ 让 $\{y\}\in U$, 于是 $U$ 只能是它生成的主超滤.

$\square$

进一步, 我们定义:

定义 1.0.10. 如果任给 $y\in \bigcup F$ 都有 $(\bigcup F\backslash \{y\})\in F$, 就称滤 $F$ 非主.

定理 1.0.11. 滤非主当且仅当包含 Frechet 滤, 因此超滤非主当且仅当是非主超滤. 特别的, 非主滤必有 $\bigcap F=\varnothing$.

证明. 显然.

$\square$

一个自然的要求便是统计超滤子的数量, 显然我们要假定 $AC$.

定义 1.0.12. 若 $S\in \mathcal{S}\to |S|=\kappa$, 就称基数 $\kappa$ 上的超滤 $\mathcal{S}$ 一致 (uniform).

定理 1.0.13 (Pospisil,$ZFC$). 对每个无穷基数 $\kappa$, 其上所有的一致超滤构成的集合的势是 $\beth (\beth (\kappa ))$, 因此 $\kappa$ 上的全体 (非主) 超滤也都有这么多个.

证明. 我们来考虑一致超滤的滤子基们. 引入以下定义.

定义 1.0.14 (独立集). 称 $\mathcal{A}\subseteq \wp (X)$ 是独立的, 若从中任取不同的 $n\in \omega$ 个元素 $X_i$ 与 $m\in \omega$ 个元素 $Y_i$, 均有 $|({\bigcap }_i{X}_i)\cap ({\bigcap }_j(X\backslash Y_j))|=|X|$.

显然独立集的基数最大也不过是 $\beth (|X|)$.

引理 1.0.15. 对每个无穷基数 $\kappa$, 均存在其上的基数为 $\beth (\kappa )$ 的独立集.

证明. 我们考虑全体 $(F,F)$ 构成的集 $P$, 这里 $F$ 是 $\kappa$ 的有限子集, $F$ 是有限个 $\kappa$ 的有限子集构成的集族. 显然 $|P|=\kappa$, 我们只要找一个 $P$ 上的基数 $\beth (\kappa )$ 的独立集.

对每个 $u\subseteq \kappa$, 我们做 $X_u=\{(F,F)\in P|F\cap u\in F\}$, 然后令 $\mathcal{A}=\{X_u|u\subseteq \kappa \}$. 显然 $|\mathcal{A}|=\beth (\kappa )$, 我们证明它是独立集.

考虑 $n$ 个 $u_i$ 和 $m$ 个 $v_j$, 我们需要 $|({\bigcap }_i{X}_{u_i})\cap ({\bigcap }_j(P\backslash X_{v_j}))|=\kappa$. 从每个 $u_i△v_j$ 中选取一个元素 $a_{i,j}$, 则可得到一有限集 $A=\{a_{i,j}\}$; 全体包含 $A$ 的有限集 $F\subseteq \kappa$ 共有 $\kappa$ 个.

现在对每个 $F\supseteq A$ 做有限的有限集族 $F=\{F\cap u_i\}$, 则每一对 $(F,F)$ 均在 $({\bigcap }_i{X}_{u_i})\cap ({\bigcap }_j(P\backslash X_{v_j}))$ 之中, 而 $F$ 共有 $\kappa$ 个, 这就证完了.

$\square$

现在, 对无穷基数 $\kappa$ 考虑我们引理给出的基数 $\beth (\kappa )$ 的独立集 $\mathcal{A}$. 对每个函数 $f:\mathcal{A}\to 2$, 我们考虑 $G_f=\{X\subseteq \kappa ||\kappa \backslash X|<\kappa \vee f(X)=1\vee f(\kappa \backslash X)=0\}$, 则它显然是一个滤子基 (即满足有限交性质). 现在它扩张出的超滤 $D_f\supseteq G_f$ 是一个一致超滤, 而 $f$ 显然有 $\beth (\kappa )$ 个.

$\square$

注 1.0.16. Pospisil 的原始证明是拓扑的, 这个证明来自于 Hajnal 与 Juhasz.

最后, 我们指出用基数刻画的四种滤的性质.

定义 1.0.17 ($ZFC$). 对非主滤 $F$, 我们定义以下四个特征基数:

1.	可加数 $\mathrm{add}(F)$ 是最小的存在 $A\subseteq F$ 与之等势且 $\bigcap A\notin F$ 的基数.
2.	覆盖数 $\mathrm{cov}(F)$ 是最小的存在 $A\subseteq F$ 与之等势且 $\bigcap A=\varnothing$ 的基数.
3.	一致数 $\mathrm{non}(F)$ 是最小的存在 $y\subseteq \bigcup F$ 与之等势且 $(\bigcup F\backslash y)\notin F$ 的基数. 显然一致超滤的一致数取最大可能值 $|\bigcup F|$.
4.	共尾数 $\mathrm{cof}(F)$ 是最小的存在 $A\subseteq F$ 与之等势且在 $F$ 中共尾的基数, 这意味着 $A$ 要让 $\forall y\in F\exists z\in A(z\subseteq y)$.

这四个特征基数有天然的不等式.

定理 1.0.18 ($ZFC$). 覆盖数和一致数均不大于共尾数, 不小于加性数.

证明. 换言之, 给定 $x$ 上滤 $F$, 我们要证明以下四个不等式:

1.	$\mathrm{add}\le \mathrm{cov}$: 这是因为 $\varnothing \notin F$.
2.	$\mathrm{add}\le \mathrm{non}$: 这是因为 $\bigcup F\backslash y={\bigcap }_{z\in y}(\bigcup F\backslash \{z\})$.
3.	$\mathrm{cov}\le \mathrm{cof}$: 这是因为 $A$ 在 $F$ 中共尾说明 $\bigcap A\subseteq \bigcap F$.
4.	$\mathrm{non}\le \mathrm{cof}$: 如果 $A$ 在 $F$ 中共尾, 从 $A$ 每个元素里取一个元素凑成一个 $y$, 必然有 $(\bigcup F\backslash y)\notin F$.

$\square$

力迫法的应用将告诉我们 $ZFC$ 对它们之间更精密的关系无能为力.