5.4. 初探定驻集反射

我们还没证明弱紧推出 Mahlo, 这是因为就像上面的论述一样, 在 ${\Pi }_1^1$ 不可描述和 ${\Pi }_0^1$ 不可描述之间没有空隙可以插一个大基数性质了; 我们须得考虑两款和定驻集联系更紧密的反射原理.

定义 5.4.0.1. 任给不可数正则基数 $\kappa$ 的定驻集 $S$. 如果 $S\cap \alpha$ 在序数 $\alpha \cap \kappa$ 上仍定驻, 就称 $S$ 在 $\alpha$ 处反射.

定理 5.4.0.2 (Jensen). 给定不可数正则基数 $\kappa$,

1.	如果 $\kappa$ 弱紧, 则 $\kappa$ 的每个定驻集都在某个 $\alpha \in \kappa$ 处反射;
2.	如果 $\mathbf{V}=\mathbf{L}$ 且 $\kappa$ 每个定驻集都在某个 $\alpha \in \kappa$ 处反射, 则 $\kappa$ 弱紧.

因此, 我们用 “$\kappa$ 的每个定驻集都在某个 $\alpha \in \kappa$ 处反射” 定义 “$\kappa$ 是反射基数”, 它与弱紧基数等一致.

证明. 先来用弱紧证明反射, 我们将其强化一下.

$\square$

我们用这观察指明弱紧基数 Mahlo.

定理 5.4.0.3 (Hanf,$ZFC$). 弱紧基数巨大 Mahlo.

证明.

$\square$

反射基数仅仅是等一致, 我们希望能有类似条件给出弱紧的等价定义.

定义 5.4.0.4. 回忆第二小节中定义的 $o$, 我们对 Mahlo 基数 $\kappa$ 定义以下要求, 称作 (定驻集) 全反射: 任给定驻集 $S,T$, 若 $T$ 中仅含正则基数, 则 $o(S)<o(T)$ 总推出 $S<T$.

定理 5.4.0.5 (Jech-Shelah,$ZFC$). Mahlo 基数定驻集全反射当且仅当弱紧.

证明.

$\square$