5.1. 树性质与不可描述

定义 5.1.0.1. 一个携带良基关系 $<$ 的集 $T$ 如果让每个 $t\in T$ 对应的集 $t{\downarrow }_T=\{s\in T|s<t\}$ 上 $<$ 都是良序, 就称这结构 $(T,<)$ 是一棵树. 这显然给出一个保序函数 ${\mathrm{rank}}_{<}:T\to \mathbf{Ord},s\mapsto \mathrm{otp}(s{\downarrow }_T,<)$, 称之为元素 $s$ 的秩; 我们进一步记 $T(\alpha )=\{s\in T|{\mathrm{rank}}_{<}(s)=\alpha \}$ 为 $T$ 的第 $\alpha$ 层, $T(<\alpha )={\bigcup }_{\beta \in \alpha }T(\beta )$ 为 $T$ 的前 $\alpha$ 层, $T$ 的秩 ${\mathrm{rank}}_{\in }(T)={\bigcup }_{s\in T}{\mathrm{rank}}_{<}(s)$. 特别地, 我们称树的一个极大子链为这棵树的一个枝.

对正则基数 $\kappa$, 如果 ${\mathrm{rank}}_{<}(T)=\kappa$, 且 $\forall \alpha \in \kappa (|T(\alpha )|<\kappa )$, 则称 $T$ 是一棵 $\kappa$ 树. 对基数 $\lambda$, 如果 $\forall s\in T(|\{t\in T|s<t\wedge {\mathrm{rank}}_{<}(t)={\mathrm{rank}}_{<}(s)+1\}|<\lambda )$, 就称 $T$ 是 $\lambda$ 分叉的. $\omega$ 分叉的树又称有穷分叉树. 显然, $\kappa$ 树一定是 $\kappa$ 分叉的.

用树描述的 $\omega$ 的性质莫过于以下定理.

定理 5.1.0.2 ($ZF$). 以下陈述两两等价.

1.	Konig 引理: 任何 $\omega$ 树均有无穷枝.
2.	$AC(\omega ,<\omega )$: 任何 (标准) 有限集构成的可数集族都有选择函数.
3.	$UT(\omega ,<\omega ,\omega )$: 可数多个两两不交的有穷集的并仍可数.
4.	一阶逻辑的 $\omega$ 完备性: 可数理论可满足当且仅当其无矛盾.
5.	一阶逻辑的 $\omega ,\omega$ 紧致性: 可数理论可满足当且仅当其有穷子理论皆可满足.

注意 Konig 引理的陈述不能弱化到为有穷分叉的可数树均有无穷枝, 因为 $\omega$ 树必可数需要用等价条件中的第二条. 类似的, 一阶逻辑的紧致性 ($\omega$ 紧致性)/完备性也比 $\omega ,\omega$ 紧致性/$\omega$ 完备性更强, 这算是一阶逻辑的特色.

证明. $1\to 2$ 是简单的: 考虑标准有限集构成的可数集族 $A=\{A_n|n\in \omega \}$, 不妨记 $|A_n|=a_n\in \omega$, 我们考虑全体前段选择函数构成的集合 $F=\{f:m\to \bigcup A|m\in \omega \wedge \forall n\in m(f(n)\in A_n)\}$ 上自然的关系 $⊊$, 我们宣称 $(F,⊊)$ 是 $\omega$ 树, 这是因为:

1.	对每个 $m\in \omega$, 集合 $F(m)=\{f:m\to \bigcup A|\forall n\in m(f(n)\in A_n)\}$ 与 ${\prod }_{n\in m}{a}_n$ 双射, 故有穷.
2.	一方面每个 $m\in \omega$ 对应的 $F(m)$ 都不空, 所以 ${\mathrm{rank}}_{⊊}(F)\ge \omega$; 另一方面, 如果 ${\mathrm{rank}}_{⊊}(F)>\omega$, 则有 $f\in F$ 让 ${\mathrm{rank}}_{⊊}(f)=\omega$, 但显然 ${\mathrm{rank}}_{⊊}(f)=\mathrm{dom}(f)$, 这与 $\mathrm{dom}(f)\in \omega$ 矛盾.

于是我们有 $F$ 的无穷枝 $B\subseteq F$. 由于它是链, 对每个 $n$ 至多有一个 $f\in B$ 使得 $\mathrm{dom}(f)=n$; 由于它极大, 对每个 $n$ 至少有一个 $f\in B$ 使得 $\mathrm{dom}(f)=n$. 于是对每个 $n$ 存在唯一的 $f_n\in B$ 使得 $\mathrm{dom}(f)=n$, 令 $f={\bigcup }_{n\in \omega }{f}_n$, 不难验证 $A_n\mapsto f(n)$ 就是 $A$ 上的一个选择函数.

$2\to 3$ 也是简单的: 给定可数多个两两不交的有限集 $A_n$, 一方面这集族的选择函数 $F:A_n\mapsto a_n$ 指出从 $\omega$ 到 ${\bigcup }_{n\in \omega }{A}_n$ 的单射 $n\mapsto a_n$; 另一方面, 我们有显然的满射 ${\bigcup }_{n\in \omega }{A}_n\to \omega ,a\mapsto n$ 当且仅当 $a\in A_n$.

$1\to 4$ 的证明中, 最优雅的莫过于运用一阶逻辑序列演算的典范证明搜索来造一个无穷的 (至多) 二叉树, 它的 $\omega$ 前段给出的 $\omega$ 树的无穷枝足以造出见证模型. 这一证明的细节可参考任何证明论教材, 例如 Toshiyasu Arai 的 Ordinal Analysis with an Introduction to Proof Theory 的 2.1.1 小节. $\omega$ 完备和 $\omega$ 紧致等价, 也就是 $4\leftrightarrow 5$ 是显然的, 因为弱完备性/有穷完备性 (有穷理论可满足当且仅当无矛盾) 无需任何选择公理类似物.

现在用 $5$ 和 $3$ 证明 $1$. 给定 $\omega$ 树 $(T,<)$, 我们考虑语言 $\mathcal{L}$, 它有二元谓词 $<$、一元谓词 $B$ 和对 $T$ 里每个元素 $t$ 一个对应的常元 $\dot{t}$. 我们考虑理论 $\Sigma$, 其中含有这些话: $\dot{t}<\dot{s}$, 当且仅当真的有 $t<s$; $\neg (\dot{t}<\dot{s})$, 当且仅当真的有 $\neg (t<s)$; $\forall x\forall y((B(x)\wedge B(y))\to (x=y\vee x<y\vee y<x))$, 这句话说 $B$ 是链; ${\bigvee }_{t\in T(n)}B(\dot{t})$. 由于 $UT(\omega ,<\omega ,\omega )$, $T$ 是可数的, 进而这个语言是可数的, 而且我们造出来的这个 $\Sigma$ 也是可数的. 显然 $\Sigma$ 的有穷子集都可满足: 只需要在 $(T,<)$ 上面粘一个足够长 (但有穷) 的链就好了. 于是 $\Sigma$ 可满足, 我们提取这模型里的全体常元的翻译, 它们显然与 $(T,<)$ 同构, 于是 $B$ 的翻译就同构到 $(T,<)$ 的一个链上面, 验证其极大是简单的.

用 $5$ 推 $2$ 将说明 $1\leftrightarrow 5$. 给定有限集构成的可数集族 $A=\{A_n|n\in \omega \}$, 我们考虑语言 $\mathcal{L}$, 它有可数多个谓词 ${\dot{A}}_n$ 和一个特别的谓词 $F$, 再对每个 $A_n$ 中的元素 $a$ 添加一个对应的常元符号 ${\dot{a}}_n$(注意一个 $a$ 可能同时属于多个 $A_n$, 我们也要造对应的多个 ${\dot{a}}_n$ 出来). 理论 $\Sigma$ 含有这些话: ${\bigwedge }_{a\in A_n}{\dot{A}}_n({\dot{a}}_n)$, ${\bigvee }_{a\in A_n}(F(a)\wedge \neg {\bigvee }_{b\in A_n\backslash \{a\}}(F(b)))$. 它有穷可满足是因为有穷集构成的有穷集族显然有选择函数, 于是它可满足, 类似地翻译即得到选择函数, 它从 $A_n$ 中拿出那个让 $F({\dot{a}}_n)$ 对的 $a\in A_n$.

用 $3$ 推 $4$ 是经典的 Henkin 构造法, 而它连同以上一切完成了证明.

$\square$

观察 Konig 引理并加以推广, 我们不妨考虑以下定义.

定义 5.1.0.3. 对正则基数 $\kappa$,

1.	如果 $\kappa$ 树均有基数 $\kappa$ 的枝, 则称 $\kappa$ 具有树性质.
2.	一个没有基数为 $\kappa$ 的枝的 $\kappa$ 树将称为一个 $\kappa -$Aronszajn 树.
3.	如果一个 $\kappa$ 树有至少 ${\kappa }^{+}$ 个 $\kappa$ 枝, 就称这是一个 $\kappa -$Kurepa 树.

因此, 宣称 $\kappa$ 有树性质就是宣称没有 $\kappa -$Aronszajn 树.

我们已经说明了 $ZFC$ 里 $\omega$ 具有树性质, 但显然这种好事不多.

定理 5.1.0.4 (Aronszajn, $ZFC$). 存在 ${\omega }_1-$Aronszajn 树.

证明.

$\square$

那么, ${\omega }_2$ 如何呢? 这就是接下来要处理的内容, 但在此之前我们先来把 Kurepa 树处理掉: 它正是上一节中那个命题叫 Kurepa 猜想的原因.

定理 5.1.0.5 ($ZFC$). 对不可数正则基数 $\kappa$, 以下要求等价:

1.	存在 $\kappa -$Kurepa 树;
2.	$K{H}_{\kappa }$: 存在 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$ 使得 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$ 但 $\forall \alpha \in \kappa (|\{\alpha \cap A|A\in \mathcal{A}\}|\le |\alpha |)$;
3.	$K{H}_{\kappa }^{\prime }$: 存在 $\mathcal{A}\subseteq \wp (\kappa )$ 使得 $|\mathcal{A}|\ge {\kappa }^{+}$ 但 $\forall \alpha \in \kappa (|\{\alpha \cap A|A\in \mathcal{A}\}|\le \kappa )$.

证明.

$\square$

现在我们来研究树性质.

定理 5.1.0.6 ($ZFC$). 对不可达基数 $\kappa$, 下列要求等价:

1.	$\kappa$ 有 Keisler 扩张性质: 任给 $A\subseteq V_{\kappa }$, 都有初等真扩张 $(V_{\kappa },\in ,A)\prec (M,\in ,B)$.
2.	$\kappa$ 是 ${\Pi }_1^1$ 不可描述的: 任给 $A\subseteq V_{\kappa }$ 和 ${\Pi }_1^1$ 句子 $\phi$, 如果 $(V_{\kappa },\in ,A)\models \phi$, 则有 $\alpha \in \kappa$ 让 $(V_{\alpha },\in ,A\cap V_{\alpha })\models \phi$.
3.	$\kappa$ 不可数, 且有滤性质: 每个基数不超过 $\kappa$ 的子集族 $X\subseteq \wp (\kappa )$ 都被一个 $\kappa$ 完备一致部分滤子 $F$ 测度. (这顺便说明不可言说则弱紧, 因为正规会自动推出 $\kappa$ 完备)
4.	${\mathcal{L}}_{\kappa ,\kappa }$ 的 $\kappa$ 紧致性: 基数为 $\kappa$ 的语言 ${\mathcal{L}}_{\kappa ,\kappa }$ 下的某个理论可满足当且仅当其基数小于 $\kappa$ 的子理论皆可满足.
5.	${\mathcal{L}}_{\kappa ,\omega }$ 的 $\kappa$ 紧致性: 基数为 $\kappa$ 的语言 ${\mathcal{L}}_{\kappa ,\omega }$ 下的某个理论可满足当且仅当其基数小于 $\kappa$ 的子理论皆可满足.
6.	$\kappa$ 有嵌入性质: 任给基数为 $\kappa$ 的传递集 $M\ni \kappa$, 存在它到另一个传递集 $N$ 的初等嵌入 $j:M\to N$ 以 $\kappa$ 为关键点.
7.	$\kappa$ 有 Hamkins 扩张性质: 任给 $A\subseteq M\subseteq H_{\kappa }$, 其中 $M$ 传递且基数为 $\kappa$, 均有初等真扩张 $(M,\in ,A)\prec (N,\in ,B)$.
8.	${\mathcal{L}}_{\kappa ,\kappa }$ 的 $\kappa ,\kappa$ 紧致性: ${\mathcal{L}}_{\kappa ,\kappa }$ 的基数 $\kappa$ 的理论可满足当且仅当其基数小于 $\kappa$ 的子理论皆可满足. (注意, 理论的基数是 $\kappa$ 意味着这个语言的基数肯定是 $\kappa$, 下同)
9.	${\mathcal{L}}_{\kappa ,\omega }$ 的 $\kappa ,\kappa$ 紧致性: ${\mathcal{L}}_{\kappa ,\omega }$ 的基数 $\kappa$ 的理论可满足当且仅当其基数小于 $\kappa$ 的子理论皆可满足.
10.	$\kappa$ 具有树性质.

此时, 我们将称 $\kappa$ 为弱紧基数.

证明. 我们先来证明 $1\sim 5$ 和 $10+\kappa$ 不可达都等价.

1.	先来证明 $1\to 2$. 如果 $\kappa$ 是 ${\Pi }_1^1$ 可描述的, 也就是有 ${\Pi }_1^1$ 性质 $\forall X\phi$ 使得 $(V_{\kappa },\in ,A)\models \forall X(\phi )$ 且任何 $\alpha \in \kappa$ 都有 $(V_{\alpha },\in ,A\cap V_{\alpha })/\models \forall X(\phi )$, 我们来证明 $(V_{\kappa },\in ,A)$ 不可能有初等真扩张. 注意我们可以将后一条件翻译为 $\forall \alpha \in \kappa ((V_{\alpha +1},\in ,A\cap V_{\alpha })\models \exists x(x\subseteq V_{\alpha }\wedge \neg \tilde{\phi }))$, 其中 $\tilde{\phi }$ 是将 $\phi$ 中全体量词改成受限于 $V_{\alpha }$ 形成的新公式, 注意 $V_{\alpha }$ 是 $V_{\alpha +1}$ 中无参可定义的. 换言之, 我们有 $(V_{\kappa },\in ,A)\models \forall \alpha (\mathrm{isOrd}(\alpha )\to ((V_{\alpha +1},\in ,A\cap V_{\alpha })\models \exists x(x\subseteq V_{\alpha }\wedge \neg \tilde{\phi })))$. 如果 $(V_{\kappa },\in ,A)$ 初等真扩张为 $(M,\in ,B)$, 由于 $M$ 真的传递且是真扩张, 必然有 $\kappa \in M$, 所以 $M$ 满足这句话说明 $M$ 认为 $(V_{\kappa +1},\in ,A)\models \exists A^{\prime }\subseteq V_{\kappa }\wedge \neg \tilde{\phi }$, 而满足关系绝对, 所以这件事确实和我们一开始的假设矛盾.
2.	现在证明 $2\to 10$ 和 $2$ 推出 $\kappa$ 不可达, 首先注意以下定理. 定理 5.1.0.7 ($ZFC$). ${\Pi }_0^0$ 不可描述和 ${\Pi }_1^0$ 不可描述都是平凡的性质 (对每个不空基数成立). ${\Pi }_2^0$ 等价于每个 ${\Pi }_n^0$ 不可描述 ($n\ge 2$), 故等价于 ${\Pi }_0^1$ 不可描述, 且进一步等价于 ${\Sigma }_1^1$ 不可描述, 最后等价于不可达. 证明. ${\Pi }_1^0$ 不可描述相当于说对每个扩张语言 ${\mathcal{L}}_A$ 中的单变元 ${\Delta }_0$ 公式 $\phi (x)$, 在 $(V_{\kappa },\in ,A)\models \forall x\phi$ 时总有 $\alpha \in \kappa$ 让 $(V_{\alpha },\in ,A\cap V_{\alpha })\models \forall x\phi$, 但这显然是因为 $\forall x\phi$ 向下绝对, 所以每个 $\alpha \in \kappa$ 都觉得这是对的. 现在只需证实 ${\Pi }_2^0$ 不可描述推出不可达, 而不可达推出 ${\Sigma }_1^1$ 不可描述. 对前一个命题, 不可达就是不可数正则强极限, 不可数显然, 而不正则与不强极限都是含参 ${\Pi }_2$ 可定义的, 前者含参是二阶参共尾映射 $F:\mu \to \kappa$ 和一阶参 $\mu <\kappa$, 句子是 $\mathrm{isFun}(F)\wedge \forall \alpha \exists \beta (\mathrm{isOrd}(\alpha )\to \alpha \in F(\beta ))$; 后者含参是二阶参单射 $F:\kappa \to \wp (\lambda )$ 和一阶参 $\lambda <\kappa$, 句子是 $\mathrm{isFun}(F)\wedge \forall \alpha \forall \beta (\alpha \ne \beta \wedge \mathrm{isOrd}(\alpha )\wedge \mathrm{isOrd}(\beta )\to F(\alpha )\ne F(\beta ))$. 对后一个命题, 这就是定理 1.8.15. $\square$ 评注. 这也说明如果我们直接考虑不可描述性, 就没办法在弱紧和不可达之间插入别的大基数性质了. 现在回到 $2\to 10$ 的证明. 不妨设 $\kappa$ 树就是 $(\kappa ,{\le }_T)$, 且让 $\alpha {\le }_T\beta \to \alpha \le \beta$(就是一层一层地去数 $\kappa$ 树), 进而有每个 $\alpha \in \kappa$ 造的 $p_{\alpha }=\{\beta \in \kappa |\beta {\le }^T\alpha \}$ 都 $\subseteq \alpha$, 我们用显然的字典序 ${\le }_{lex}$ 将 $p_{\alpha }$ 们排为线序. 我们来递归地对每个 $\alpha \in \kappa$ 递归地定义一列 $⟨s_{\xi }^{\alpha }{⟩}_{\xi \in {\delta }_{\alpha }}$: 假定对 $\eta <\alpha$ 的 $⟨s_{\xi }^{\alpha }{⟩}_{\xi \in \eta }$ 已经定好, 令 $s_{\eta }^{\alpha }$ 为最小的 $\alpha$ 元素, 它大于此前每个 $s_{\xi }^{\alpha }$, 且 $p_{s_{\xi }^{\alpha }}{<}_{lex}{p}_{s_{\eta }^{\alpha }}{<}_{lex}{p}_{\alpha }$ 也对每个 $\xi \in \eta$ 成立; 若不存在这样的 $s_{\xi }^{\alpha }$, 就让 ${\delta }_{\alpha }=\eta$, 终止递归构造过程. 令 $h:\kappa \to \kappa ,\alpha \mapsto {\sup }_{\xi \in {\delta }_{\alpha }}{s}_{\xi }^{\alpha }$. 1. $\{\alpha \in \kappa |h(\alpha )<\alpha \}$ 定驻. 于是 $h$ 是其上累退函数, 由 Fodor 引理不妨取其定驻子集 $S$ 和一个 $\theta \in \kappa$ 使得任给 $\alpha \in S$ 都有 $\theta =h(\alpha )<\alpha$. 这说明 ${\sup }_{\xi \in {\delta }_{\alpha }}{s}_{\xi }^{\alpha }=\theta$, 但 $\kappa$ 不可达, $\theta$ 的共尾列无论如何一定只有 $<\kappa$ 个, 于是又有 $S$ 的定驻子集 $S^{\prime }$ 使得所有 $\alpha \in S^{\prime }$ 都共享相同的一套 $⟨s_{\xi }{⟩}_{\xi \in \delta }=⟨s_{\xi }^{\alpha }{⟩}_{\xi \in {\delta }_{\alpha }}$. 从小到大枚举 $S^{\prime }=⟨{\gamma }_{\alpha }{⟩}_{\alpha \in \kappa }$, 如果 $\alpha <\beta$, 则 ${\gamma }_{\alpha }<{\gamma }_{\beta }$, 由 $⟨s_{\xi }^{{\gamma }_{\beta }}{⟩}_{\xi \in {\delta }_{{\gamma }_{\beta }}}$ 的构造过程可知 ${\gamma }_{\alpha }$ 不能加到它们后面, 但由于 $⟨s_{\xi }^{{\gamma }_{\alpha }}{⟩}_{\xi \in {\delta }_{{\gamma }_{\alpha }}}$ 确实成功地构造了出来, ${\gamma }_{\alpha }$ 不能加到它们后面的原因只能是 $p_{{\gamma }_{\beta }}{<}_{lex}{p}_{{\gamma }_{\alpha }}$. 现在来递归定义一列 $(S_{\alpha },f_{\alpha }{)}_{\alpha \in \kappa }$, 让 $S_{\alpha }$ 都是定驻集, $f_{\alpha }$ 构成我们要的 $\kappa$ 枝, 且所有 $\gamma \in S_{\alpha }$ 都让 $f_0,...,f_{\alpha }$ 是 $p_{\gamma }$ 的前 $\alpha +1$ 小的元素们. 先令 $(S_0,f_0)=(S^{\prime },0)$, 显然 $0{\le }_T$ 每个东西, 所以我们宣称的事情没问题. 我们来指出后继步怎么做: 假定已有 $(S_{\alpha },f_{\alpha })$, 于是每个 $\gamma \in S_{\alpha }$ 的 $p_{\gamma }$ 在 $0,...,\alpha$ 处的取值均已经给定; 至多丢掉一个点, 不影响 $S_{\alpha }$ 的定驻性, 我们不妨让 $p_{\gamma }$ 在 $\alpha +1$ 处也有取值, 记为 $F_{\alpha }(\gamma )$, 这按定义小于 $\gamma$, 于是 $F_{\alpha }$ 是 $S_{\alpha }$ 上的累退函数, Fodor 指出有 $S_{\alpha +1}\subseteq S_{\alpha }$ 定驻让 $F_{\alpha }$ 在其上取定值 $f_{\alpha +1}$. 注意 $<\kappa$ 个递降定驻集的交仍然定驻, 极限步的操作是类似的. 2. $\{\alpha \in \kappa |\alpha \le h(\alpha )\}$ 有闭无界子集, 换言之 $\{\alpha \in \kappa |\alpha =h(\alpha )\}$ 有闭无界子集. 我们断言存在 $\kappa$ 的共尾子集 $C$ 使得 $\alpha \mapsto p_{\alpha }$ 限制在其上时是保序映射, 进而能从其中直接读取出 $\kappa$ 枝. 反设不然, 这句话将是任意 $\kappa$ 的共尾子集都有两个元素见证 $\alpha \mapsto p_{\alpha }$ 在此处反序, 这是一个 $(V_{\kappa },\in ,{\le }_T)$ 的 ${\Pi }_1^1$ 性质, 于是 $2$ 允许我们找一个 $\alpha \in C$ 使得 $(V_{\alpha },\in ,{\le }_T\upharpoonright V_{\alpha })$ 也认为此事成立 (这里小小加强了 $2$, 但证明是容易的), 但 $h(\alpha )=\alpha$ 带来的 $\alpha$ 的共尾子集 $⟨s_{\xi }^{\alpha }{⟩}_{\xi \in {\delta }_{\alpha }}$ 已经说明此事不成立.
3.	一个更快的 $2\to 10$ 的证明: 仍将 ${\le }_T$ 编码为一个 $\kappa$ 的子集, 它没有树性质是在结构 $(V_{\kappa },\in ,{\le }_T)$ 里说所有的共尾的 $\kappa$ 子集都不是 $\kappa$ 枝, 这是 ${\Pi }_1^1$ 性质, 所以有 $\alpha \in \kappa$ 使得 $(V_{\alpha },\in ,{\le }_T\upharpoonright \alpha )$ 也觉得这件事情对, 但这和这个树是 $\kappa$ 树 (从而有任意 $<\kappa$ 长的枝条) 矛盾.
4.	现在用 $10+\kappa$ 不可达证明 $3$. 取 $\kappa$ 个 $\kappa$ 的子集 $x_{\alpha }(\alpha \in \kappa )$, 不妨设 $x_0=\kappa$, 我们额外做 $x_{\alpha }^0=x_{\alpha }$ 和 $x_{\alpha }^1=\kappa \backslash x_{\alpha }$. 由于 $\kappa$ 不可达, 我们考虑 $\kappa$ 树 $2^{<\kappa }$ 的子树 $T$, $t\in 2^{<\kappa }$ 进入 $T$ 当且仅当 ${\bigcap }_{\mu \in \mathrm{dom}(t)}{x}_{\mu }^{t(\mu )}$ 的基数是 $\kappa$; 显然 $T$ 的 $\kappa$ 枝指明我们要的 $\kappa$ 完备一致部分滤子, 于是只需验证 $T$ 是 $\kappa$ 树, 显然 $T$ 每层基数都小于 $\kappa$, 于是验证 $T$ 的高度是 $\kappa$, 这是因为后继步我们在 $\kappa$ 大的集分成两个集而极限步我们在把递降的 $<\kappa$ 个大小为 $\kappa$ 的集交起来, $\kappa$ 正则就说明每次都至少留下一个 $\kappa$ 大的集.
5.	现在证明 $3\to 1$. 我们还是先来证明 $3$ 推出 $\kappa$ 不可达, 只需分别验证正则和强极限. 为了验证 $\kappa$ 正则, 反设 $\kappa$ 有大小为 $\mu <\kappa$ 的闭无界集 $C$, 按要求假设一致部分滤子 $F$ 测度 $C$, 则要不然 $C\subseteq F$, 要不然 $\{\kappa \backslash \alpha |\alpha \in C\}\subseteq F$, 但无论如何左边这 $\mu <\kappa$ 个东西的交的基数都不是 $\kappa$, 这就矛盾. 为了验证 $\kappa$ 强极限, 我们更强地来证明任给 $\mu ,\lambda <\kappa$ 必有 ${\lambda }^{\mu }<\kappa$(因此 $\kappa$ 强正则, 也就是说 ${\kappa }^{<\kappa }=\kappa$): 若不然, 取 $\kappa$ 个两两不同的函数 $x_{\alpha }:\mu \to \lambda (\alpha \in \kappa )$, 我们对每组 $\beta \in \mu ,\gamma \in \lambda$ 定义 $X_{\beta ,\gamma }=\{\alpha \in \kappa |x_{\alpha }(\beta )=\gamma \}\subseteq \kappa$, 则按定义我们对每个 $\beta \in \mu$ 都有 $X_{\beta ,\gamma }(\gamma \in \lambda )$ 给出一个 $\kappa$ 的基数 $\lambda <\kappa$ 的划分方案; 取一个 $F$ 测度诸 $X_{\beta ,\gamma }$, 则对每个 $\beta \in \mu$ 都至少有一个 ${\gamma }_{\beta }\in \lambda$ 使得 $X_{\beta ,{\gamma }_{\beta }}\in F$, 进而将这 $\mu <\kappa$ 个 $X_{\beta ,{\gamma }_{\beta }}$ 全交起来得到的 $X$ 还是属于 $F$, 但这就矛盾了, 因为 $X$ 最多是单点集 (这个 $\alpha \in X$ 对应的 $x_{\alpha }$ 在每个 $\beta$ 处的取值都被固定为 ${\gamma }_{\beta }$ 了). 现在回到 $3\to 1$ 的证明, 这是所谓的 “可定义超幂” 的例子. 给定 $(V_{\kappa },\in ,A)$, 我们扩充之为结构 $(V_{\kappa },\in ,{<}_1,A)$, 这个 ${<}_1$ 是 $V_{\kappa }$ 的某个良序. 我们考虑后面这个结构中全体 (含参) 可定义的 $f:\kappa \to V_{\kappa }$ 构成集 $F$, 可定义的 $x\subseteq \kappa$ 构成集 $X$, 则 $X$ 是一个大小为 $\kappa$ 的 $\kappa$ 的子集族, 假定 $\kappa$ 完备一致部分滤子 $U$ 测度 $X$, 我们考察用 $f{=}_{U}g\leftrightarrow \{\alpha \in \kappa |f(\alpha )=g(\alpha )\}\in U$ 和 $f{E}_{U}g\leftrightarrow \{\alpha \in \kappa |f(\alpha )\in g(\alpha )\}$ 做成的超幂结构. 由于右侧集由 $f,g$ 可定义可知同样可定义, 且 ${<}_1$ 让 Skolem 函数也都可定义, 我们不难仍得到 Los 超幂定理, 用 $\kappa$ 完备性不难验证新结构良基, 故而不妨将其坍塌为 $(M,\in ,{<}_2,B)$; $\kappa$ 完备性说明常值函数的等价类坍塌为其值也就说明是初等扩张, $\mathrm{id}$ 见证真扩张.
6.	现在证明 $1\to 4$.
7.	$4\to 5$ 是显然的, 所以我们来证明 $5$ 证明 $\kappa$ 不可达, 这样由同样显然的 $5$ 推出 $9$ 和后面要做的 $9$ 推出 $10$, 最后 $10$ 加上 $\kappa$ 不可达就能推回 $1$, 换言之 $5\to 1$.

我们接着不用不可达条件证明 $6\sim 9$ 都等价.

1.	现在证明 $6\to 7$.
2.	现在证明 $7\to 8$.
3.	显然 $8\to 9$, 所以我们来证明 $9\to 6$.

显然 $5\to 9$, 所以我们只需要最后证明 $9\to 10$.

这三个团块 ($1\sim 5,6\sim 9,10$) 之间反向的蕴含都是不能脱离 $\kappa$ 不可达来做的, 但这个论证需要用力迫法, 我们这里不再展开, 并推荐有兴趣的读者直接阅读 Hankins 原文中的论证.

$\square$

显然 ${\omega }_2$ 并不是不可达的, 所以即便它有树性质, 它也不会是弱紧基数. 然而, 下列定理指出, 它的一致性强度与存在一个弱紧基数是一样的.

定理 5.1.0.8 (Silver,$ZFC$). 正则基数的后继 $\kappa$ 若有树性质则在 $\mathbf{L}$ 中弱紧.

证明. 假定 $\kappa ={\lambda }^{+}$, $\lambda$ 正则. 我们首先验证 $\neg K{H}_{\lambda }$, 这样就有 $\kappa$ 在 $\mathbf{L}$ 中不可达.

$\square$

对于奇异基数的后继, 要求树性质要困难得多, 单靠一个弱紧基数办不下来; 不过要求性质 $6\sim 9$ 在某处成立是能办下来的.

定理 5.1.0.9 (Hamkins,$ZFC$). 如果 $\kappa$ 具备嵌入性质, 则 $\kappa$ 是弱 Mahlo 基数, 且 $\kappa$ 在 $\mathbf{L}$ 中是弱紧基数.

我们接下来讨论最强版本的不可描述性.

定义 5.1.0.10. 如果对任何自然数 $m,n$, $\kappa$ 都是 ${\Pi }_m^n$ 不可描述的, 我们就称 $\kappa$ 是全然不可描述基数.

这看起来很厉害, 但是在下一个大基数上它同样被杀爆了.

定理 5.1.0.11 ($ZFC$). 不可言说基数是 ${\Pi }_2^1$ 不可描述的, 且其下的全然不可描述基数无界多.

证明.

$\square$

当然, 可测基数只会更加强大.

定理 5.1.0.12 ($ZFC$). 可测基数是 ${\Pi }_1^2$ 不可描述的, 且其下的全然不可描述基数构成的集属于 $\kappa$ 的任何一个见证其可测的超滤子. 不过, 最小的可测基数不是 ${\Sigma }_1^2$ 不可描述的.

证明.

$\square$

一个有趣的问题是: 我们之前提到过, 三阶反射原理是错的, 但是不可描述性其实也是一种反射原理, 为什么我们能容忍 ${\Pi }_m^n(n\ge 2)$ 的不可描述基数呢? 这是因为我们的陈述中, $(V_{\kappa },\in ,A)\models \phi$ 带有的这个 $A$ 只能是二阶参数 (一个真类/一个一阶对象上的谓词, 当然一阶对象就是 $V_{\kappa }$ 的元素, 或者那些 $V_{\kappa }$ 认为是集合的东西), 这才是三阶反射原理不一致的内核. 我们过一下这个论证.

定理 5.1.0.13. 如果在结构 $(V_{\kappa },\in ,\kappa )$ 中将 $\kappa$ 视为三阶对象, 则有三阶句子 $\phi$ 使得 $(V_{\kappa },\in ,\kappa )\models \phi$, 但不存在 $\alpha \in \kappa$ 让 $(V_{\alpha },\in ,\mathrm{Succ}(\alpha ))\models \phi$.

证明. 注意是 $(V_{\alpha },\in ,\mathrm{Succ}(\alpha ))$ 不满足 $\phi$ 而非 $(V_{\alpha },\in ,\alpha )$ 不满足 $\phi$, 因为后者的 $\alpha$ 是 $\kappa$ 作为二阶参数的相对化 $\kappa \cap V_{\alpha }$; $\kappa$ 作为三阶参数的相对化是 $\kappa \cap V_{\alpha +1}=\mathrm{Succ}(\alpha )$. 这个句子 $\phi$ 其实就是 $\forall X(X\in \dot{\kappa }\to \exists a\forall x\in X(x\in a))$, 这里甚至只使用了二阶量词.

$\square$