5. 实数

5.1连续统的基数

记 $\mathbb{R}$ 的基数为 $\mathfrak{c}$, 称为连续统. 因为 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密, 任意实数 $r$ 等于 $\sup \{q\in \mathbb{Q}:q<r\}$, 所以 $\mathfrak{c}\le P(\mathbb{Q})=2^{{\aleph }_0}$. 又 Cantor 集的基数等于 $2^{{\aleph }_0}$, $\mathfrak{c}\ge 2^{{\aleph }_0}$. 所以由 Cantor–Bernstein 定理, $\mathfrak{c}=2^{{\aleph }_0}$.

于是 $\mathfrak{c}>{\aleph }_0$. Cantor 猜测 $\mathbb{R}$ 的任何子集要么至多可数要么与连续统等势. 在 ZFC 中每个无限基数都是一个 $\aleph$, 所以 $2^{{\aleph }_0}\ge {\aleph }_1$. 于是 Cantor 的猜想就是在说, $2^{{\aleph }_0}={\aleph }_1$. 这也被称为连续统假设.

5.2$\mathbb{R}$ 上的序

定义 5.2.1 (完备). 一个全序集 $(P,<)$ 称为完备的, 是指 $P$ 的每个非空有界子集都有上确界.

事实上, $\mathbb{R}$ 是唯一的完备有序域 (但我们在这里不关心域结构, 只谈论序的性质).

定义 5.2.2 (稠密). 一个全序集 $(P,<)$ 是稠密的, 是指对任意 $a<b$ 都存在 $c$ 使得 $a<c<b$.

称 $P$ 的子集 $D$ 稠密, 是指对任意 $a,b\in P$, 若 $a<b$, 则存在 $d\in D$ 使得 $a<d<b$.

注 5.2.3. 特别地, 稠密子集本身是稠密的. 请注意, 本身稠密的子集不一定是稠密子集.

$\mathbb{R}$ 有一个可数的稠密子集 $\mathbb{Q}$.

定义 5.2.4 (可分). 有可数的稠密子集的全序集称为可分 (separable) 的.

定义 5.2.5 (无界). 既无最大元又无最小元的序集称为无界的.

下面的定理表明了无界、可分、完备的全序集 $(\mathbb{R},<)$ 的唯一性.

定理 5.2.6 (Cantor).

1.	任意一个无界、可数、稠密的全序集同构于 $(\mathbb{Q},<)$.
2.	任意一个无界、可分、完备的全序集同构于 $(\mathbb{R},<)$.

证明.

1.	记 $P_1=\{a_n:n\in \mathbb{N}\},P_2=\{b_n:n\in \mathbb{N}\}$. 在保持序关系的前提下, 依次定义 $f(a_0),f^{-1}(b_0),f(a_1),f^{-1}(b_1),\cdots$. 这个构造的可行性由无界及稠密保证.
2.	设 $({\mathbb{R}}^{\prime },<)$ 是另一个完备全序集, 有可数稠密子集 ${\mathbb{Q}}^{\prime }$. 那么, 由前一条所构造的从 $\mathbb{Q}$ 到 ${\mathbb{Q}}^{\prime }$ 的同构 $f$ 可延拓为 $\mathbb{R}$ 到 ${\mathbb{R}}^{\prime }$ 的同构 $f^{\ast }$, 具体地说,$$f^{\ast }(x)=\sup \{f(q):q\in \mathbb{Q},q\le x\}.$$

$\square$

 

这样一个 (无界、可分、完备的全序集)$(\mathbb{R},<)$ 的存在性是由 Dedekind 分割保证的. 一般的 Dedekind 分割由如下定理给出.

定理 5.2.7. 对任意无界、稠密的全序集 $(P,<)$, 存在无界、完备的全序集 $(C,\prec )$ 使得

1.	$P\subset C$, 且 $<$ 与 $\prec$ 在 $P$ 上相容;
2.	$P$ 在 $C$ 中稠密.

证明. $P$ 的一个 Dedekind 分割定义为不交非空子集的有序对 $(A,B)$, 其中

1.	$A\cup B=P$;
2.	$a<b$ 对任意 $a\in A,b\in B$ 成立;
3.	$A$ 无最大元.

令 $C$ 是 $P$ 的所有 Dedekind 分割的集合, 并令 $(A_1,B_1)⪯(A_2,B_2)$ 当且仅当 $A_1\subset A_2$(也即 $B_1\supset B_2$).

$C$ 是完备的, 因为对任意非空有界子集 $\{(A_i,B_i):i\in I\}\subset C$, $$\left(\bigcup _{i\in I}{A}_i,\bigcap _{i\in I}{B}_i\right)$$是其上确界.

对 $p\in P$, 将 $p$ 对应到 Dedekind 分割 $(A_p,B_p)=(\{x\in P:x<p\},\{x\in P:x\ge p\})$. 则 $P^{\prime }=\{(A_p,B_p)\}$ 同构于 $P$.

下证 $P^{\prime }$ 在 $C$ 中稠密. 对任意 Dedekind 分割 $(A_1,B_1)\prec (A_2,B_2)$, 因为 $A_1⊊A_2$, 存在 $p\in A_2-A_1$, 则 $A_1\subseteq A_p⊊A_2$. 若 $A_1\ne A_p$, 结论成立; 若 $A_1=A_p$, 因为 $A_2$ 无最大元, 所以存在 $q\in A_2$, $p<q$. 此时便有 $A_1⊊A_q⊊A_2$.

$\square$

注 5.2.8. 请读者思考, 在上述证明中, $P$ 的稠密性用在了哪里.

5.3Suslin 问题 $\boxed{†}$

我们现在知道了 $(\mathbb{R},<)$ 是 (同构意义下) 唯一的无界、可分、完备的全序集.

$\mathbb{R}$ 可分的一个有趣的推论是, 任何一族互不相交的开区间至多有可数个.

对稠密全序集 $P$, 若其中任何一族互不相交的开区间至多可数, 我们称 $P$ 满足可数链条件 (countable chain condition). 因此, 可数链条件是比可分弱的条件.

注 5.3.1. 可数链条件这个名字可能会引起困惑. 其中的 " 链 " 是指一些开区间构成了 $P$ 的所有开区间在 $\subset$ 下构成的偏序集的反链, 即任意两个元素的相遇 (meet) 为空集. (偏序集中两个元素 $x,y$ 的相遇是指不超过二者的最大元 [参考 https://ncatlab.org/nlab/show/meet]. 对于集合的情形, 相遇即是相交.)

Suslin 问题说的是: 设 $P$ 是无界的完备稠密全序集, 满足可数链条件, 那么 $P$ 是否同构于 $\mathbb{R}$?

这个问题不能在 ZFC 中解决.

5.4实数轴的拓扑

一个度量空间称为完备 (complete) 的, 是指每个 Cauchy 列收敛. $\mathbb{R}$ 就是一个可分的完备度量空间.

$\mathbb{R}$ 中的开集是开区间的并; 事实上它是以有理数为端点的开区间的并. 这意味着 $\mathbb{R}$ 中开集的数目与闭集的数目都是连续统.

无孤立点的非空闭集称作完美集 (perfect set).

定理 5.4.1. 完美集的基数为 $\mathfrak{c}$.

证明. (略证) 对任何完美集 $P$, 存在两个不相交的闭区间 $I_0$ 与 $I_1$, $P\cap I_0$ 与 $P\cap I_1$ 都是完美集. 对每个小完美集重复这个过程, 我们最终得到 $\{0,1{\}}^{\omega }$ 到 $P$ 的单射. (其中可能要使用闭区间套原理, 为此需要让所使用的闭区间长度趋于 $0$.)

$\square$

使用上面的方法可以得到更一般的结论: 可分完备度量空间中的每个完美集都有一个闭的 Cantor 集的身影.

定理 5.4.2 (Cantor–Bendixson). 设 $F$ 为 $\mathbb{R}$ 的不可数闭集, 则 $F=P\cup S$, 其中 $P$ 是完美集, $S$ 至多可数.

证明. 对 $\mathbb{R}$ 的每个子集 $A$, 令 $A^{\prime }$ 为 $A$ 的所有极限点的集合. (称 $a$ 为 $A$ 的极限点是指 $a$ 的任意邻域包含 $A$ 中无穷多个点.) 容易看到 $A^{\prime }$ 是闭集, 且当 $A$ 闭时, $A^{\prime }\subset A$.

令$$\begin{array}{rl}& F_0=F,\\ & F_{\alpha +1}=F_{\alpha }^{\prime },\\ & F_{\alpha }=\bigcup _{\gamma <\alpha }{F}_{\gamma }\text{对于极限序数}\alpha .\end{array}$$则$$F_0\supset F_1\supset \cdots \supset F_{\alpha }\supset \cdots$$存在序数 $\theta$ 使得 $\alpha \ge \theta$ 时 $F_{\alpha }=F_{\theta }$. 令 $P=F_{\theta }$, 则要么 $P$ 是空集要么 $P^{\prime }=P$.

现在只需证明 $F-P$ 至多可数. 将以有理数为端点的开区间 (这种区间有可数个) 列为 $⟨J_k:k\in \mathbb{N}⟩$. 注意到 $F-P$ 是所有形如 $F_{\alpha }-F_{\alpha }^{\prime }(\alpha <\theta )$ 的子集的无交并, 所以对每个 $a\in F-P$, 存在唯一的序数 $\alpha <\theta$ 使得 $a$ 是 $F_{\alpha }$ 的孤立点. 因此, 存在 $k$ 使得 $J_k\cap F_{\alpha }=\{a\}$. 取最小的这样的 $k$, 这给出了 $F-P$ 到 $\mathbb{N}$ 的单射.

$\square$

 

称 $\mathbb{R}$ 的一个子集无处稠密, 是指它的闭包的内部为空.

注 5.4.3. 一个子集无处稠密的等价定义是它不在任何一个开区间中稠密; 这解释了 " 无处稠密 " 的含义.

另外, 无处稠密集的补集是稠密的开集. 这解释了如下的 Baire 纲定理的叙述.

$\mathbb{R}$ 中的第一纲集是指至多可数个无处稠密集的并. 如下的定理表明 $\mathbb{R}$ 不是第一纲集.

定理 5.4.4 (Baire 纲定理). 若 $D_0,D_1,\cdots$ 是 $\mathbb{R}$ 中稠密的开集, 则 $D={\bigcap }_{n\in \mathbb{N}}{D}_n$ 稠密.

证明. 任取开区间 $I$, 我们证明 $D\cap I\ne \varnothing$. 将以有理数为端点的开区间列为 $⟨J_k:k\in \mathbb{N}⟩$.

令 $I_0=I$, 对每个 $n\in \mathbb{N}$, 令区间 $I_{n+1}=J_k=(q_k,r_k)$, 使得其闭包 $[q_k,r_k]$ 包含于 $I_n\cap D_n$(因为 $D_n$ 是稠密的开集, 这总是能做到的) 且 $k$ 尽可能小. 由闭区间套定理, 存在 $a\in {\bigcap }_{k\in \mathbb{N}}[q_k,r_k]$, 故 $a\in D\cap I$.

$\square$

5.5Borel 集

定义 5.5.1. 集合的一个代数是某个集合 $S$ 的一族子集 $\mathcal{S}$, 满足

1.	$S\in \mathcal{S}$;
2.	若 $X,Y\in \mathcal{S}$ 则 $X\cup Y\in \mathcal{S}$;
3.	若 $X\in \mathcal{S}$ 则 $S-X\in \mathcal{S}$. 若还允许可数的并, 即
4.	若 $X_n\in \mathcal{S}\forall n\in \mathbb{N}$, 则 ${\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}{X}_n\in \mathcal{S}$, 就称为 $\sigma$-代数.

任给 $S$ 的一族子集 $\mathcal{X}$, 存在最小的一族子集 $\mathcal{S}\supset \mathcal{X}$ 构成一个代数, 即全体包含 $\mathcal{X}$ 的代数的交.

定义 5.5.2. $\mathbb{R}$ 的 Borel 集是包含所有开区间的最小的 $\sigma$-代数的成员.

Borel 集是 Lebesgue 可测的.

5.6Baire 空间

Baire 空间 $\mathcal{N}={\omega }^{\omega }$ 是自然数的可数序列组成的空间.

对有限序列 $s=⟨a_k:k<n⟩$, 令$$O_s=\{f\in \mathcal{N}:f\text{的第}n\text{项之前与}s\text{相同}\}.$$这些集合作为基定义了 $\mathcal{N}$ 上的一个拓扑. 有趣的是, $O_s$ 既开又闭.

事实上, Baire 空间是可度量化的: 对序列 $f,g$ 定义 $d(f,g)=2^{-n-1}$, 其中 $n$ 是使得 $f(n)\ne g(n)$ 的最小自然数. 所有最终常值的序列构成 $\mathcal{N}$ 中的稠密集. 另外, $\mathcal{N}$ 还是完备的, 每个 Cauchy 列收敛.

一个正整数的可数序列 $⟨a_n:n\in \mathbb{N}⟩$ 确定了一个连分数$$\frac{1}{a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\cdots }}},$$它是 $(0,1)$ 中的一个无理数. 反之, $(0,1)$ 中的每个无理数都可以表示为连分数.

进一步, 这个对应是一个同胚. 直观上, " 当两个无理数非常接近时, 它们的连分数展开前几项是相同的; 反之亦然 ". 有时我们甚至把 ${\omega }^{\omega }$ 的元素叫做实数.

下面我们研究 $\mathcal{N}$ 的闭集的形状. 我们会用一棵树去描述它.

定义 5.6.1. 一颗树 $T$ 是由自然数的有限序列构成的一个集合, 满足对任意 $t\in T$ 与 $n\in \mathbb{N}$, $t\upharpoonright n\in T$.

注 5.6.2. 因为自然数的有限序列有可数个, 所以一棵树是至多可数的.

下图是一棵树的样子.

图 4.1

命题 5.6.3. 对于树 $T$, $$[T]:=\{f\in \mathcal{N}:f\upharpoonright n\in T\forall n\in \mathbb{N}\}$$是 $\mathcal{N}$ 的闭集. $[T]$ 中的元素称作 $T$ 的无穷路径 (infinite path).

另一方面, 对 $\mathcal{N}$ 的闭集 $F$, $$T_F:=\{f\upharpoonright n:f\in F,n\in \mathbb{N}\}$$是一棵树, 且 $[T_F]=F$.

注 5.6.4. 按如上的定义, 并不是每一棵树都是某个 $T_F$, 因为一棵树可能有 " 死路 ".

既然如此, 请思考为什么不在树的定义中加一条: 对任意 $t\in T$, 存在 $s\in T$, $t⊊s$. (原因在后文.)

设 $T$ 是一颗树. 若对任意 $t\in T$ 存在 $s_1,s_2\in T$ 满足 $t\subset s_1$, $t\subset s_2$ 且 $s_1,s_2$ 互不包含, 则称 $T$ 为完美的.

引理 5.6.5. $\mathcal{N}$ 的闭集 $F$ 为完美集当且仅当 $T_F$ 是完美的树.

我们现在在 Baire 空间上做类似于 Cantor–Bendixson 定理的事情: 对于树 $T$, 若 $[T]$ 不可数, 则它是一个完美集与一个至多可数的集合的并.

对一棵树 $T$, 定义$$T^{\prime }=\{t\in T:\text{存在}{s}_1,s_2\in T\text{互不包含},t\subset s_1,t\subset s_2\}.$$$T$ 完美等价于 $T=T^{\prime }$.

我们证明 $[T]-[T^{\prime }]$ 至多可数: 对每个 $f\in [T]-[T^{\prime }]$, 取最小的 $n$ 使得 $f\upharpoonright n\notin T^{\prime }$. 此时若有 $g\in [T]-[T^{\prime }]$ 满足 $g\upharpoonright n=f\upharpoonright n$, 则必有 $g=f$. 这样我们建立了从 $[T]-[T^{\prime }]$ 到自然数的有限序列的集合的单射.

现在令

$$\begin{array}{rl}& T_0=T,\\ & T_{\alpha +1}=T_{\alpha }^{\prime },\\ & T_{\alpha }=\bigcap _{\gamma <\alpha }{T}_{\gamma }\text{对于极限序数}\alpha .\end{array}$$

则 $T_0\supset T_1\supset \cdots \supset T_{\alpha }\supset \cdots$.

因为 $T_0$ 至多可数, 存在序数 $\theta <{\omega }_1$ 使得 $T_{\theta +1}=T_{\theta }$. 则 $T_{\theta }$ 或为空集或为完美集. 而容易看到$$[T]-[T_{\theta }]=\bigcup _{\alpha <\theta }([T_{\alpha }]-[T_{\alpha }^{\prime }])$$从而是至多可数的.

 

5.7波兰空间

定义 5.7.1. 若一个拓扑空间同胚于一个完备可分的度量空间, 则称其为波兰空间.

注 5.7.2. 波兰空间得名于最早对它进行详细研究的波兰数学家 Sierpiński, Kuratowski, Tarski 等人 [参见 https://infogalactic.com/info/Polish_space].

$\mathbb{R}$, $\mathcal{N}$, Cantor 集, Hilbert 方块 $[0,1{]}^{\omega }$ 都是波兰空间. 一般地,

命题 5.7.3.

1.	波兰空间中的闭集是波兰空间.
2.	有限个 (甚至可数个) 波兰空间的乘积是波兰空间.

定理 5.7.4. 每个完美的波兰空间包含 Cantor 集的一个同胚像.

定理 5.7.5. 每个波兰空间都是 Baire 空间 $\mathcal{N}$ 的连续像.

证明. 设波兰空间 $X$ 有度量 $d$, 且有可数稠密子集 $\{x_i:i\in \mathbb{N}\}$.

对自然数的序列 $\alpha \in \mathcal{N}$, 一个天真的想法是, 定义$$f(\alpha )=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_{\alpha (n)}.$$但是这个映射不一定连续 (甚至不一定良定义).

我们不会轻易放弃, 转而定义$$\begin{array}{rl}{y}_0^{\alpha }& =x_{\alpha (0)},\\ y_{n+1}^{\alpha }& =\{\begin{array}{ll}{x}_{\alpha (n+1)}& d(y_n^{\alpha },x_{\alpha (n+1)})<2^{-n},\\ y_n^{\alpha }& d(y_n^{\alpha },x_{\alpha (n+1)})\ge 2^{-n}.\end{array}\end{array}$$

这个定义保证了 $d(y_n^{\alpha },y_{n+1}^{\alpha })<2^{-n}$, 从而由 $X$ 的完备性, $$f(\alpha ):=\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n^{\alpha }$$一定存在.

容易证明 $f$ 是连续的, 且是满射.

$\square$