3. 插曲: 几个有趣的命题

这一节将通过研究几个集合论中几个 “直觉性” 的命题来感性的认识我们已经构建出的体系.

命题 3.0.1. 设 $S=⟨{\alpha }_n:n<\omega ⟩$ 是严格下降的序数列, 那么 $S$ 是最终常值的. 换句话说, 从一个序数往下走, 有限步内就一定会到达 $0=\varnothing$.

证明. 只需注意到 $S$ 作为 ${\alpha }_0$ 的子集一定有最小元.

$\square$

注 3.0.2. 这个命题展示了一个很奇怪的现象, 从小到大数数的时候, $Ord$ 看起来很长, 但是当你回头的时候, 只需要很短的过程就能回到 0. 下一个命题将展示 $Ord$ 的 “长”.

命题 3.0.3. 设 $S=⟨X_{\alpha }:\alpha \in Ord⟩$ 是下标为序数的集合列, 并且有$$\alpha <\beta ⟹X_{\alpha }\supset X_{\beta }.$$那么存在序数 $\theta$ 使得对任意 $\alpha >\theta$ 都有 $X_{\alpha }=X_{\theta }$, 即序列是最终常值的.

证明. 设 $Y\subset P(X)$ 是全体在序列中的 $X$ 的子集, 分离公理表明 $Y$ 是集合. 序列 $S$ 是 $Ord\to Y$ 的函数, 对任意的 $y\in Y$ 取 ${\theta }_y=\inf S^{-1}(y)$, 令 $\theta =\sup \left\{{\theta }_y:y\in Y\right\}$ 即可.

$\square$

注 3.0.4. 这个命题说明 $Ord$ 相对于集合来说过于 “长” 了, 以至于任何无穷的过程都可以被 $Ord$ 穷尽. 接下来我们将看到相对于可数, 不可数序数也过于 “长” 了.

命题 3.0.5 (长直线). 取最小的不可数序数 ${\aleph }_1$ (其准确定义见基数一节), 给每个序数 $\alpha <{\aleph }_1$ 配备一个单位区间 $I=[0,1)$, 全体这样的序对构成集合 $L$, 在 $L$ 上定义字典序$$(\alpha ,x)<(\beta ,y)⟺\alpha <\beta \vee (\alpha =\beta \wedge x<y)$$取字典序诱导的拓扑, i.e. $\left\{x\in {\aleph }_1\times I:x<({\alpha }_0,x_0)\right\}$ 生成的拓扑. 那么 $X$ (长射线) 作为拓扑空间是列紧的但不是紧的.

证明. 注意到任何可数点列 $⟨({\alpha }_n,x_n):n<\omega ⟩$ 都有上确界$$(\sup \left\{{\alpha }_n:n<\omega \right\},\underset{n\to \omega }{\mathrm{limsup}}{x}_n)$$因此一定有极限点, 所以 $X$ 是列紧的.

$\square$

命题 3.0.6 (离谱定理). 我们使用递归构造法定义如下序列: $$\begin{array}{rl}& V_0=\varnothing ,\\ & V_{{\alpha }^{\ast }}=P(V_{\alpha }),\\ & V_{\alpha }=\bigcup \left\{V_{\beta }:\beta <\alpha \right\},\alpha \text{极限序数}。\end{array}$$那么对任意的集合 $X$, 存在序数 $\alpha$ 使得 $X\in V_{\alpha }$.

证明. 用归纳法不难证明:
(1) $\forall \alpha$, $V_{\alpha }$ 是传递集;
(2) $\forall \alpha$, $\alpha \in V_{\alpha }$;
(3) $\alpha <\beta ⟹V_{\alpha }\in V_{\beta }$.

首先我们证明, 任意非空的类 $C$ 关于 $\in$ 有极小元. 任取 $X\in C$, 如果 $S\cap C=\varnothing$, 那么 $S$ 就是极小元. 如果 $S\cap C\ne \varnothing$, 存在传递集 $T$ 使得 $S\subset T$, 构造 $T$ 如下:
$$\begin{array}{rl}& S_0=S,\\ & S_{n+1}=\bigcup S_n,\\ & T=\bigcup \left\{S_n:n<\omega \right\}.\end{array}$$容易证明 $T$ 的传递性. 取 $X=T\cap C$, 这是一个非空集合, 于是正则公理说明 $X$ 关于 $\in$ 有极小元 $x$. 我们断言 $x$ 也是 $C$ 的极小元, 否则存在 $y\in x\cap C$. 由于 $T$ 传递, 就有 $y\in T\cap C$, 这和 $x$ 的极小性矛盾.

现在取 $C=\left\{X:\nexists \alpha (X\in V_{\alpha })\right\}$, 假设 $C$ 不空, 那么 $C$ 中存在关于 $\in$ 的极小元 $x$, 因此 $z\in x$ 就存在 $\alpha$ 使得 $z\in V_{\alpha }$, 取其中最小的记为 $\phi (z)$. 由于 $x$ 是集合, 因此 $\phi (x)$ 是序数的集合. 取 $\theta =\sup \phi (x)$, 于是 $x\subset V_{\theta }$, 进而 $x\in V_{\theta \ast }$ 矛盾.

$\square$

推论 3.0.7. 取集合列 $X_0\ni X_1\ni X_2\ni \cdots$, 那么存在 $n\in \omega$ 使得 $m>n⟹X_m=\varnothing$, 即关于 $\in$ 的降链至多是有限长的.

证明. 设 ${\alpha }_n$ 是最小的序数使得 $X_n\in V_{{\alpha }_n}$, 于是 $⟨{\alpha }_n:n<\omega ⟩$ 是序数的严格降链, 因此是有限的.

$\square$

最后, 作为一个对直觉的补充, 我们说明为什么选择公理是必须的:

命题 3.0.8. 设 $X$ 是局部道路连通的第一可数空间, $f:X\to Y$ 是函数, 如果对任意的道路 $\gamma :[0,1]\to X$ 都有 $f\circ \gamma$ 连续, 那么 $f$ 连续.