超限归纳法

超限归纳法, 又称超穷归纳法是一种在序数 (任意良序集) 上使用的归纳法. 可以认为是数学归纳法在更大的数类上的扩展.

1叙述

对于序数 $\beta$, 只要对于所有比它小的序数 $\alpha$, 命题 $P(\alpha )$ 都为真, 可以推出 $P(\beta )$ 也为真. 那么 $P$ 对于所有序数都为真.

超限归纳法与序数的良序性相关, 可以考虑所有不满足的 $P$ 的序数, 存在一个最小者. 该最小者满足所有比它小的序数都满足 $P$ 为真, 故它也为真. (更一般的良基关系也可以应用归纳法)

一般应用超限归纳法有三种类型:

•	零情况: 即证明 $P(0)$ 为真.
•	后继序数情况: 如果 $\alpha +1$ 是后继序数, 在 $P(\alpha )$ 为真的假设之下也为真.
•	极限序数情况: 对于所有极限序数 $\lambda$ 证明: 根据 $P$ 对所有的小于 $\lambda$ 的序数成立, 推出 $P(\lambda )$ 成立.(这一步通常采用并集公理来证明)

在理论上, 三种情况是一样的, 但在实践过程中可能会产生比较大的区别. 零情况有时也可以归为极限序数情况考虑.

2同选择公理的关系

在应用超限归纳法时实际上不需要用到选择公理, 但我们可能需要用到与之等价的 Zermelo 良序定理来将集合良序化以应用超限归纳法.

3相关概念

•	归纳法
•	归纳构造
•	Noether 归纳法
•	Epsilon 归纳法
•	良序集
•	良基关系
•	结构归纳法

术语翻译

超限归纳法 • 英文 transfinite induction • 德文 transfinite Induktion • 法文 récurrence transfinie