选择公理

选择公理集合论中的一条公理, 其内容是说, 给定任意一族非空集合, 能同时从每个集合中选出一个元素.

选择公理是 ZFC 集合论的一部分, 但独立于 ZF 集合论, 也就是说只要后者相容, 选择公理就既不能被其证明, 也不能被其证否.

选择公理的两个最主要的推论是良序定理Zorn 引理, 选择公理常常以这两个结论的形式被使用.

1叙述

定义 1.1 (选择函数).集合. 上的选择函数是一映射其中 的所有元素之, 使得对任意 , 有

定义 1.2 (选择公理). 选择公理是指下面的命题:

集合. 假设 的所有元素都非空, 即那么 上存在选择函数. 形式地写就是

注 1.3.数学归纳法, 可以证明如果定义 1.2 中的 有限集, 那么 上一定有选择函数. 因此, 选择公理不平凡的部分在于 是无限集的情况.

定义 1.4 (全局选择公理). 全局选择公理更强一些, 要求存在一个函数, 定义域为全体非空集合的, 在每个非空集合上的值是其一个元素. 由于 ZF 集合论的语言不能量化类, 故它并不能写成一条公理. 我们有两种方法陈述之:

往集合论语言中添加一个一元函数符号 , 然后提出公理

只有两个自由变元, 满足 是个函数, 且把每个集合映射到其一个元素. 形式地写即

2相容性

相容性由 Gödel 用其可构造宇宙证明, 见该条目. 在可构造宇宙中甚至有全局良序, 从而可以写出具体的全局选择语句, 如定义 1.4 的第二种陈述所言.

3独立性

4推论

良序定理

Zorn 引理

Kőnig 定理

5其它版本

逻辑截断类型中给出了选择公理的类型论形式, 见选择公理 (类型论).

术语翻译

选择公理英文 axiom of choice德文 Auswahlaxiom (n)法文 axiome du choix (m)拉丁文 axioma de electione (n)古希腊文 ἀξίωμα ἐπιλογῆς (n)日文 選択公理